1 / 9

Wie lö sen wir ILPs exakt?

Branch-and- Cut. Wie lö sen wir ILPs exakt?. Branch-and- Bound. Schnittebenen- verfahren. Acyclic Subgraph. TSP. Optimum der LP Relaxierung. IP Optimum. Zulässige Lösungen. Abrunden der optimalen Lösung der LP-Relaxierung. Zielfunktion. y. x. Ganzzahliges Lineares Programm.

eros
Download Presentation

Wie lö sen wir ILPs exakt?

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Branch-and-Cut Wie lösen wir ILPs exakt? Branch-and-Bound Schnittebenen-verfahren AcyclicSubgraph TSP 1

  2. Optimum der LP Relaxierung IP Optimum Zulässige Lösungen Abrunden der optimalen Lösung der LP-Relaxierung Zielfunktion y x Ganzzahliges Lineares Programm 2

  3. Branch-and-Bound • Zerlegung in Teilprobleme • Berechnung oberer und unterer Schranken • Löse erste Relaxierung ! obere Schrankezulässig? ! optimal • Sonst: Partitioniere in Teilprobleme • Löse Relaxierung! Lsg. (a) ganzzahlig oder (b) unzulässigoder (c) neue, evtl. schärfere, obere Schranke • Fall (c) ! eventuell rekursive Aufteilung 3

  4. Branch-and-Bound • Vernünftige Aufteilungsstrategie und endliche Lösungsmenge! endliche Anzahl Schritte • Ergibt Branch-and-Bound-Baum • Knoten = Teilproblem • Söhne = Partitionierung des Vaterproblems • Intelligente Enumeration • Permanent Gütegarantie, bei Termination beweisbar optimal 4

  5. Branch-and-Bound Betrachte das folgende ILP: (IP0) Max x + y + 2z Subject to 7x + 2y + 3z  36 5x + 4y + 7z  42 2x + 3y + 5z  28 x, y, z  0, ganzzahlig LP-Relaxierung 5

  6. IP0 / / 10 11 IP2 IP1 Integral IP4 IP3 Unzulässig IP6 IP5 Integral IP8 IP7 Obj. · bestem gefundenen Wert Obj. · bestem gefundenem Wert Branch-and-Bound für ILPs: Beispiel Löse LP- Relaxierung Bester IP-Wert Beste IP-Lösung Garantie 87,3% 98,2% 100% 87,7% 88,2% Max x + y + 2z Subject to 7x + 2y + 3z  36 5x + 4y + 7z  42 2x + 3y + 5z  28 x, y, z  0, ganzzahlig 6

  7. Branch-and-Bound • Eingabe: Gemischt-ganzzahliges lineares Programm (A, b, c, N1) • Ausgabe: Lösung von (MIP=) oder Beweis der Unlösbarkeit 7

  8. K = ;? U = -1! MIP= hat keine Lösung U ¸-1!x ist Optimallösung mit Wert U ja nein Wähle Pj2 K,K = K – {Pj}(Branching) Löse Relaxierung von (MIPj=)(Bounding) x* ist Optimallö-sung mit Wert c* U = c*, x = x* Wähle i 2 N1 mit x*iZK += (PjÅ {x j xi·bx*ic}) + (PjÅ {x j xi¸dx*ie}) xi*2Z8 i 2 N1? c*· U? nein ja nein P0 = {x j Ax = b, x ¸ 0, xi ganzzahlig 8 i 2 N1} U = -1 K := {P0} (Liste der offenen Probleme) x = NIL (beste Lösung) ja 8

  9. Branch-and-Bound • Analyse: • (LMIP=) unzulässig oder unbeschränkt !B&B bricht ab mit korrektem Ergebnis • (LMIP=) hat endliches Optimum und P0;! endlich viele Schritte zur Optimallösung • (LMIP=) hat endliches Optimum und P0 = ;! Abbruch durch Zusatzrestriktionen • Praxis: • Beschränkung der Baumgröße meist notwendig • !Branch-and-Cut ! später 9

More Related