電気回路第 1 　第 9 回

電気回路第1　第9回 電気回路第1スライド9-1 ー第4章ベクトル記号法ー目次２位相のずれた電圧（イントロ）３ベクトル記号法４オイラーの公式５複素電圧、複素電流６簡略化－交流100Vと呼んで－７指数関数を微積分して８今日のまとめ

ベクトル記号法 ベクトル記号法時間の関数電圧、電流、（抵抗ではなく）インピーダンスを複素数位相の合った部分と90°ずれた部分で表現する。正弦波の電圧、電流を直流同様(定常解）に扱う。 ⇒実数 e＝ERmsin(ωt+θ) +ELmcos(ωt+θ) ⇒虚数 i＝Imsin(ωt+θ) 電圧時間電流００時間電気回路第1　第9回位相のずれた電圧（イントロ）ーベクトル記号法ー電気回路第1スライド9-2-1 たとえばRL直列回路では、同相の電圧と90°進んだ電圧を加える。電圧と電流の位相がずれたケースということで、例をあげて考えましょう。 ①RL直列回路を考える。 ②位相の合った電圧と合わない電圧の波形の合成。 ③電圧は実際に効く電圧と効かない電圧の和。 ④二つの要素からなるので複素数を用いる。 ⑤実際に効く電圧を１Vと実数で、効かない方をjV。 ⑥この電圧は合計１＋j V。

ベクトル記号法 ベクトル記号法時間の関数電圧、電流、（抵抗ではなく）インピーダンスを複素数位相の合った部分と90°ずれた部分で表現する。正弦波の電圧、電流を直流同様(定常解）に扱う。 ⇒実数 e＝ERmsin(ωt+θ) +ELmcos(ωt+θ) ⇒虚数 i＝Imsin(ωt+θ) 電圧電圧時間時間図では、電流電流００００時間時間電気回路第1　第9回位相のずれた電圧（イントロ）ーベクトル記号法ー電気回路第1スライド9-2-2 たとえばRL直列回路では、同相の電圧と90°進んだ電圧を加える。 ①RL直列回路を考える。 ②位相の合った電圧と合わない電圧の波形の合成。 ③電圧は実際に効く電圧と効かない電圧の和。 ④二つの要素からなるので複素数を用いる。 ⑤実際に効く電圧を１Vと実数で、効かない方をjV。 ⑥この電圧は合計１＋j V。

ベクトル記号法 ベクトル記号法時間の関数電圧、電流、（抵抗ではなく）インピーダンスを複素数位相の合った部分と90°ずれた部分で表現する。正弦波の電圧、電流を直流同様(定常解）に扱う。 ⇒実数 e＝ERmsin(ωt+θ) +ELmcos(ωt+θ) ⇒虚数 i＝Imsin(ωt+θ) 電圧電圧時間時間電流電流００００時間時間電気回路第1　第9回位相のずれた電圧（イントロ）ーベクトル記号法ー電気回路第1スライド9-2-3 たとえばRL直列回路では、同相の電圧と90°進んだ電圧を加える。このとき、と実際に(電力になる)効く電圧がかかる。実際には効かない電圧 ①RL直列回路を考える。 ②位相の合った電圧と合わない電圧の波形の合成。 ③電圧は実際に効く電圧と効かない電圧の和。 ④二つの要素からなるので複素数を用いる。 ⑤実際に効く電圧を１Vと実数で、効かない方をjV。 ⑥この電圧は合計１＋j V。

ベクトル記号法 ベクトル記号法時間の関数電圧、電流、（抵抗ではなく）インピーダンスを複素数位相の合った部分と90°ずれた部分で表現する。正弦波の電圧、電流を直流同様(定常解）に扱う。 ⇒実数 e＝ERmsin(ωt+θ) +ELmcos(ωt+θ) ⇒虚数 i＝Imsin(ωt+θ) 電圧電圧時間時間電流電流００００時間時間電気回路第1　第9回位相のずれた電圧（イントロ）ーベクトル記号法ー電気回路第1スライド9-2-4 たとえばRL直列回路では、同相の電圧と90°進んだ電圧を加える。このとき、と実際に(電力になる)効く電圧がかかる。実際には効かない電圧なので、 2つの要素からなる電圧 2つの要素 2つの要素 2つの素複素複素 → 複素数で表現しよう。 ①RL直列回路を考える。 ②位相の合った電圧と合わない電圧の波形の合成。 ③電圧は実際に効く電圧と効かない電圧の和。 ④二つの要素からなるので複素数を用いる。 ⑤実際に効く電圧を１Vと実数で、効かない方をjV。 ⑥この電圧は合計１＋j V。

ベクトル記号法 ベクトル記号法時間の関数電圧、電流、（抵抗ではなく）インピーダンスを複素数位相の合った部分と90°ずれた部分で表現する。正弦波の電圧、電流を直流同様(定常解）に扱う。 ⇒実数 e＝ERmsin(ωt+θ) +ELmcos(ωt+θ) ⇒虚数 i＝Imsin(ωt+θ) 電圧電圧時間時間電流電流００００虚数単位を j とします。時間時間 2つの要素からなる電圧 → 複素数で表現しよう。電気回路第1　第9回位相のずれた電圧（イントロ）ーベクトル記号法ー電気回路第1スライド9-2-5 たとえばRL直列回路では、同相の電圧と90°進んだ電圧を加える。すなわち、すなわち、このとき、 ←1V と実際に(電力になる)効く電圧こちらを実数のこちらを実数の　　←j V こちらを虚数のがかかる。実際には効かない電圧こちらを虚数のなので、 ①RL直列回路を考える。 ②位相の合った電圧と合わない電圧の波形の合成。 ③電圧は実際に効く電圧と効かない電圧の和。 ④二つの要素からなるので複素数を用いる。 ⑤実際に効く電圧を１Vと実数で、効かない方をjV。 ⑥この電圧は合計１＋j V。

ベクトル記号法 ベクトル記号法時間の関数電圧、電流、（抵抗ではなく）インピーダンスを複素数位相の合った部分と90°ずれた部分で表現する。正弦波の電圧、電流を直流同様(定常解）に扱う。 ⇒実数 e＝ERmsin(ωt+θ) +ELmcos(ωt+θ) ⇒虚数 i＝Imsin(ωt+θ) 電圧電圧時間時間 ←1V 電流電流００　　←j V ００虚数単位を j とします。時間時間 2つの要素からなる電圧 → 複素数で表現しよう。電気回路第1　第9回位相のずれた電圧（イントロ）ーベクトル記号法ー電気回路第1スライド9-2-6 たとえばRL直列回路では、同相の電圧と90°進んだ電圧を加える。このとき、と実際に(電力になる)効く電圧がかかる。実際には効かない電圧なので、 ←1+j V たとえば、 ①RL直列回路を考える。 ②位相の合った電圧と合わない電圧の波形の合成。 ③電圧は実際に効く電圧と効かない電圧の和。 ④二つの要素からなるので複素数を用いる。 ⑤実際に効く電圧を１Vと実数で、効かない方をjV。 ⑥この電圧は合計１＋j V。

位相のずれた電圧（イントロ） オイラーの公式 εjθ sinθ たとえばRＬ直列回路では、同相の電圧と90°進んだ電圧を加える。オイラーの公式虚軸 εjθ＝cosθ＋jsinθ ←１V 実際に(電力になる)効く電圧１ εは自然対数の底（2.71828182845）ですが、この科目ではeを使わないでεとしました。 ←j V 実際には効かない電圧 θ cosθ 虚数単位を jとします。 2つの要素からなる電圧虚数の指数関数ですが、cosとsinが出てくるので正弦波を表わすのに用います。０ → 複素数で表現しよう。 ←1+j V 実軸電圧電圧時間時間電流電流００００時間時間ベクトル記号法電気回路第1スライド9-3-1 もう1度グラフから出しますね。！ ①電圧、電流のグラフ。 ②時間の関数で表現する。 ③今度は位相の合った部分と90°ずれた部分とする。 ④ベクトル記号法では実部と虚部でそれを表現。 ⑤正弦波の電圧、電流を定常として扱います。複素数を用いてなぜベクトルなの？？なぜ、記号法で扱うか？

位相のずれた電圧（イントロ） オイラーの公式 εjθ sinθ たとえばRＬ直列回路では、同相の電圧と90°進んだ電圧を加える。オイラーの公式虚軸 εjθ＝cosθ＋jsinθ ←１V 実際に(電力になる)効く電圧１ εは自然対数の底（2.71828182845）ですが、この科目ではeを使わないでεとしました。 ←j V 実際には効かない電圧 θ cosθ 虚数単位を jとします。 2つの要素からなる電圧虚数の指数関数ですが、cosとsinが出てくるので正弦波を表わすのに用います。０ → 複素数で表現しよう。 ←1+j V 実軸電圧電圧時間時間電流電流００００時間時間ベクトル記号法電気回路第1スライド9-3-2 時間の関数として表わすと、として表わすと、 e＝ERmsin(ωt+θ) +ELmcos(ωt+θ) などとなります。 i＝Imsin(ωt+θ) のとき、！ ①電圧、電流のグラフ。 ②時間の関数で表現する。 ③今度は位相の合った部分と90°ずれた部分とする。 ④ベクトル記号法では実部と虚部でそれを表現。 ⑤正弦波の電圧、電流を定常として扱います。複素数を用いてなぜベクトルなの？？なぜ、記号法で扱うか？

位相のずれた電圧（イントロ） オイラーの公式 εjθ sinθ たとえばRＬ直列回路では、同相の電圧と90°進んだ電圧を加える。オイラーの公式虚軸 εjθ＝cosθ＋jsinθ ←１V 実際に(電力になる)効く電圧１ εは自然対数の底（2.71828182845）ですが、この科目ではeを使わないでεとしました。 ←j V 実際には効かない電圧 θ cosθ 虚数単位を jとします。 2つの要素からなる電圧虚数の指数関数ですが、cosとsinが出てくるので正弦波を表わすのに用います。０ → 複素数で表現しよう。 ←1+j V 実軸電圧電圧時間時間 e＝ERmsin(ωt+θ) +ELmcos(ωt+θ) 電流電流００００時間時間 i＝Imsin(ωt+θ) ベクトル記号法電気回路第1スライド9-3-3 時間の関数電圧、電流、（抵抗ではなく）インピーダンスを複素数位相の合った部分と90°ずれた部分で表現することにしよう。これを、これを、ここでは、ここでは、！ ①電圧、電流のグラフ。 ②時間の関数で表現する。 ③今度は位相の合った部分と90°ずれた部分とする。 ④ベクトル記号法では実部と虚部でそれを表現。 ⑤正弦波の電圧、電流を定常として扱います。複素数を用いてなぜベクトルなの？？なぜ、記号法で扱うか？

位相のずれた電圧（イントロ） オイラーの公式 εjθ sinθ たとえばRＬ直列回路では、同相の電圧と90°進んだ電圧を加える。オイラーの公式虚軸 εjθ＝cosθ＋jsinθ ←１V 実際に(電力になる)効く電圧１ εは自然対数の底（2.71828182845）ですが、この科目ではeを使わないでεとしました。 ←j V 実際には効かない電圧 θ cosθ 虚数単位を jとします。 2つの要素からなる電圧虚数の指数関数ですが、cosとsinが出てくるので正弦波を表わすのに用います。０ → 複素数で表現しよう。 ←1+j V 実軸電圧電圧時間時間 e＝ERmsin(ωt+θ) +ELmcos(ωt+θ) 電流電流００００。時間時間 i＝Imsin(ωt+θ) ベクトル記号法電気回路第1スライド9-3-4 これを、ベクトル記号法と呼ぶ。時間の関数電圧、電流、（抵抗ではなく）インピーダンスを複素数位相の合った部分と90°ずれた部分で表現することにしよう。 ⇒実数 ⇒虚数とします。！ ①電圧、電流のグラフ。 ②時間の関数で表現する。 ③今度は位相の合った部分と90°ずれた部分とする。 ④ベクトル記号法では実部と虚部でそれを表現。 ⑤正弦波の電圧、電流を定常として扱います。複素数を用いてなぜベクトルなの？？なぜ、記号法で扱うか？

位相のずれた電圧（イントロ） オイラーの公式 εjθ sinθ たとえばRＬ直列回路では、同相の電圧と90°進んだ電圧を加える。オイラーの公式虚軸 εjθ＝cosθ＋jsinθ ←１V 実際に(電力になる)効く電圧１ εは自然対数の底（2.71828182845）ですが、この科目ではeを使わないでεとしました。 ←j V 実際には効かない電圧 θ cosθ 虚数単位を jとします。 2つの要素からなる電圧虚数の指数関数ですが、cosとsinが出てくるので正弦波を表わすのに用います。０ → 複素数で表現しよう。 ←1+j V 実軸電圧電圧時間時間 ⇒実数 e＝ERmsin(ωt+θ) +ELmcos(ωt+θ) ⇒虚数電流電流００００時間時間 i＝Imsin(ωt+θ) ベクトル記号法電気回路第1スライド9-3-5 ベクトル記号法時間の関数電圧、電流、（抵抗ではなく）インピーダンスを複素数位相の合った部分と90°ずれた部分で表現する。正弦波の電圧、電流を直流同様(定常解）に扱う。！ ①電圧、電流のグラフ。 ②時間の関数で表現する。 ③今度は位相の合った部分と90°ずれた部分とする。 ④ベクトル記号法では実部と虚部でそれを表現。 ⑤正弦波の電圧、電流を定常として扱います。複素数を用いてなぜベクトルなの？？なぜ、記号法で扱うか？

ベクトル記号法 複素電圧、複素電流ベクトル記号法時間の関数複素電流、電圧 IとEを例の虚数の指数関数（振動する）にします。電圧、電流、（抵抗ではなく）インピーダンスを複素数位相の合った部分と90°ずれた部分で表現する。正弦波の電圧、電流を直流同様(定常解）に扱う。 I＝Imεj（ωt+θ） E＝Emεj（ωt+θ+Φ） ⇒実数 e＝ERmsin(ωt+θ) +ELmcos(ωt+θ) としましょう。 ⇒虚数 I＝Imεj（ωt+θ）＝Imcos(ωt+θ)+jImsin(ωt+θ) E＝Emεj（ωt+θ+Φ）＝Emcos(ωt+θ+Φ)+jEmsin(ωt+θ+Φ) です。 i＝Imsin(ωt+θ) 電圧 i ＝ Imsin(ωt +θ) 時間 e＝ Emsin(ωt +θ+Φ) としていましたが、電流００時間オイラーの公式電気回路第1スライド9-4-1 導出は省略して、オイラーの公式は覚えて下さい。 εjθ＝cosθ＋jsinθ これです。複素数の演算は ①オイラーの公式は覚えてください。 ②図ではこのとおり。 ③自然対数の底にεを使う。 ④この変な関数の意味は？ ⑤cosとsinが出てくるので便利。なぜこうかるのかというと？？

ベクトル記号法 複素電圧、複素電流ベクトル記号法時間の関数複素電流、電圧 IとEを例の虚数の指数関数（振動する）にします。電圧、電流、（抵抗ではなく）インピーダンスを複素数位相の合った部分と90°ずれた部分で表現する。正弦波の電圧、電流を直流同様(定常解）に扱う。 I＝Imεj（ωt+θ） E＝Emεj（ωt+θ+Φ） ⇒実数 e＝ERmsin(ωt+θ) +ELmcos(ωt+θ) としましょう。 ⇒虚数 I＝Imεj（ωt+θ）＝Imcos(ωt+θ)+jImsin(ωt+θ) E＝Emεj（ωt+θ+Φ）＝Emcos(ωt+θ+Φ)+jEmsin(ωt+θ+Φ) です。 i＝Imsin(ωt+θ) sinθ εjθ 電圧オイラーの公式虚軸 i ＝ Imsin(ωt +θ) 時間 εjθ＝cosθ＋jsinθ e＝ Emsin(ωt +θ+Φ) １としていましたが、電流００ θ cosθ 時間０実軸オイラーの公式電気回路第1スライド9-4-2 複素数の極座標表示をご存知でしたら、複素数の演算は ①オイラーの公式は覚えてください。 ②図ではこのとおり。 ③自然対数の底にεを使う。 ④この変な関数の意味は？ ⑤cosとsinが出てくるので便利。なぜこうかるのかというと？？

ベクトル記号法 複素電圧、複素電流ベクトル記号法時間の関数複素電流、電圧 IとEを例の虚数の指数関数（振動する）にします。電圧、電流、（抵抗ではなく）インピーダンスを複素数位相の合った部分と90°ずれた部分で表現する。正弦波の電圧、電流を直流同様(定常解）に扱う。 I＝Imεj（ωt+θ） E＝Emεj（ωt+θ+Φ） ⇒実数 e＝ERmsin(ωt+θ) +ELmcos(ωt+θ) としましょう。 ⇒虚数 I＝Imεj（ωt+θ）＝Imcos(ωt+θ)+jImsin(ωt+θ) E＝Emεj（ωt+θ+Φ）＝Emcos(ωt+θ+Φ)+jEmsin(ωt+θ+Φ) です。 i＝Imsin(ωt+θ) sinθ εjθ 電圧オイラーの公式虚軸 i ＝ Imsin(ωt +θ) 時間 εjθ＝cosθ＋jsinθ e＝ Emsin(ωt +θ+Φ) １としていましたが、電流００ θ cosθ 時間０実軸オイラーの公式電気回路第1スライド9-4-3 なお、 εは自然対数の底（2.71828182845）ですが、この科目ではeを使わないでεとしました。また、この変な関数の性質は、… 複素数の演算は ①オイラーの公式は覚えてください。 ②図ではこのとおり。 ③自然対数の底にεを使う。 ④この変な関数の意味は？ ⑤cosとsinが出てくるので便利。なぜこうかるのかというと？？

ベクトル記号法 複素電圧、複素電流ベクトル記号法時間の関数複素電流、電圧 IとEを例の虚数の指数関数（振動する）にします。電圧、電流、（抵抗ではなく）インピーダンスを複素数位相の合った部分と90°ずれた部分で表現する。正弦波の電圧、電流を直流同様(定常解）に扱う。 I＝Imεj（ωt+θ） E＝Emεj（ωt+θ+Φ） ⇒実数 e＝ERmsin(ωt+θ) +ELmcos(ωt+θ) としましょう。 ⇒虚数 I＝Imεj（ωt+θ）＝Imcos(ωt+θ)+jImsin(ωt+θ) E＝Emεj（ωt+θ+Φ）＝Emcos(ωt+θ+Φ)+jEmsin(ωt+θ+Φ) です。 i＝Imsin(ωt+θ) sinθ εjθ 電圧オイラーの公式虚軸 i ＝ Imsin(ωt +θ) 時間 εjθ＝cosθ＋jsinθ e＝ Emsin(ωt +θ+Φ) １としていましたが、電流００ θ cosθ 時間０実軸オイラーの公式電気回路第1スライド9-4-4 εは自然対数の底（2.71828182845）ですが、この科目ではeを使わないでεとしました。また、この変な関数の性質は、… 虚数の累乗はちゃんとは掛けていないので、大きくはならないと思います。　　　で、どんな意味があるかというと、　　　　　　実は振動的になるんですね。、絶対値ですが。。そこで、複素数の演算は ①オイラーの公式は覚えてください。 ②図ではこのとおり。 ③自然対数の底にεを使う。 ④この変な関数の意味は？ ⑤cosとsinが出てくるので便利。なぜこうかるのかというと？？

ベクトル記号法 複素電圧、複素電流ベクトル記号法時間の関数複素電流、電圧 IとEを例の虚数の指数関数（振動する）にします。電圧、電流、（抵抗ではなく）インピーダンスを複素数位相の合った部分と90°ずれた部分で表現する。正弦波の電圧、電流を直流同様(定常解）に扱う。 I＝Imεj（ωt+θ） E＝Emεj（ωt+θ+Φ） ⇒実数 e＝ERmsin(ωt+θ) +ELmcos(ωt+θ) としましょう。 ⇒虚数 I＝Imεj（ωt+θ）＝Imcos(ωt+θ)+jImsin(ωt+θ) E＝Emεj（ωt+θ+Φ）＝Emcos(ωt+θ+Φ)+jEmsin(ωt+θ+Φ) です。 i＝Imsin(ωt+θ) sinθ εjθ 電圧オイラーの公式虚軸 i ＝ Imsin(ωt +θ) 時間 εjθ＝cosθ＋jsinθ e＝ Emsin(ωt +θ+Φ) １としていましたが、電流００ θ cosθ 時間０実軸オイラーの公式電気回路第1スライド9-4-5 εは自然対数の底（2.71828182845）ですが、この科目ではeを使わないでεとしました。虚数の指数関数ですが、cosとsinが出てくるので正弦波を表わすのに用います。また、この変な関数の性質は、… 　　　で、どんな意味があるかというと、　　　　　　実は振動的になるんですね。。そこで、複素数の演算は ①オイラーの公式は覚えてください。 ②図ではこのとおり。 ③自然対数の底にεを使う。 ④この変な関数の意味は？ ⑤cosとsinが出てくるので便利。なぜこうかるのかというと？？

オイラーの公式 εjθ sinθ オイラーの公式虚軸 εjθ＝cosθ＋jsinθ １ εは自然対数の底（2.71828182845）ですが、この科目ではeを使わないでεとしました。 θ cosθ 簡略化ー交流100Vと呼んでー虚数の指数関数ですが、cosとsinが出てくるので正弦波を表わすのに用います。 I ＝ │I│εjθ ０ I＝Imεj（ωt+θ）実軸 E＝ │E│εj（θ+Φ） E＝Emεj（ωt+θ+Φ）ここでεjωtだけ省きます。（位相差のεj（θ+Φ）などはもちろん残します。）時刻tの関数ではなくなります。記号法というのはこのためです。さらに、振幅Imとかの代わりにルート２分の１倍の実効値を使用する。通常の商用電源も実効値で交流100Vで良いです。複素電圧、複素電流電気回路第1スライド9-5-1 とりあえず、天下りに電圧と電流を決めます。 ①天下りに関数を設定。 ②εのjωt乗とする。 ③（虚数の）指数関数。 ④展開するとsinとcos。複素電圧の意味について？

オイラーの公式 εjθ sinθ オイラーの公式虚軸 εjθ＝cosθ＋jsinθ １ εは自然対数の底（2.71828182845）ですが、この科目ではeを使わないでεとしました。 θ cosθ 簡略化ー交流100Vと呼んでー虚数の指数関数ですが、cosとsinが出てくるので正弦波を表わすのに用います。 I ＝ │I│εjθ ０ I＝Imεj（ωt+θ）実軸 E＝ │E│εj（θ+Φ） E＝Emεj（ωt+θ+Φ）ここでεjωtだけ省きます。（位相差のεj（θ+Φ）などはもちろん残します。）時刻tの関数ではなくなります。記号法というのはこのためです。さらに、振幅Imとかの代わりにルート２分の１倍の実効値を使用する。通常の商用電源も実効値で交流100Vで良いです。 i ＝ Imsin(ωt +θ) I＝Imεj（ωt+θ） E＝Emεj（ωt+θ+Φ） e＝ Emsin(ωt +θ+Φ) としましょう。としていましたが、複素電圧、複素電流電気回路第1スライド9-5-2 　これを、　　これを、　 ①天下りに関数を設定。 ②εのjωt乗とする。 ③（虚数の）指数関数。 ④展開するとsinとcos。複素電圧の意味について？

オイラーの公式 εjθ sinθ オイラーの公式虚軸 εjθ＝cosθ＋jsinθ １ εは自然対数の底（2.71828182845）ですが、この科目ではeを使わないでεとしました。 θ cosθ 簡略化ー交流100Vと呼んでー虚数の指数関数ですが、cosとsinが出てくるので正弦波を表わすのに用います。 I ＝ │I│εjθ ０ I＝Imεj（ωt+θ）実軸 E＝ │E│εj（θ+Φ） E＝Emεj（ωt+θ+Φ）ここでεjωtだけ省きます。（位相差のεj（θ+Φ）などはもちろん残します。）時刻tの関数ではなくなります。記号法というのはこのためです。さらに、振幅Imとかの代わりにルート２分の１倍の実効値を使用する。通常の商用電源も実効値で交流100Vで良いです。複素電流、電圧 IとEを例の虚数の指数関数（振動する）にします。 i ＝ Imsin(ωt +θ) I＝Imεj（ωt+θ） e＝ Emsin(ωt +θ+Φ) E＝Emεj（ωt+θ+Φ）としていましたが、としましょう。複素電圧、複素電流電気回路第1スライド9-5-3 　指数関数　指数関数 ①天下りに関数を設定。 ②εのjωt乗とする。 ③（虚数の）指数関数。 ④展開するとsinとcos。複素電圧の意味について？

オイラーの公式 εjθ sinθ オイラーの公式虚軸 εjθ＝cosθ＋jsinθ １ εは自然対数の底（2.71828182845）ですが、この科目ではeを使わないでεとしました。 θ cosθ 簡略化ー交流100Vと呼んでー虚数の指数関数ですが、cosとsinが出てくるので正弦波を表わすのに用います。 I ＝ │I│εjθ ０ I＝Imεj（ωt+θ）実軸 E＝ │E│εj（θ+Φ） E＝Emεj（ωt+θ+Φ）ここでεjωtだけ省きます。（位相差のεj（θ+Φ）などはもちろん残します。）時刻tの関数ではなくなります。記号法というのはこのためです。さらに、振幅Imとかの代わりにルート２分の１倍の実効値を使用する。通常の商用電源も実効値で交流100Vで良いです。複素電流、電圧 IとEを例の虚数の指数関数（振動する）にします。 i ＝ Imsin(ωt +θ) I＝Imεj（ωt+θ） E＝Emεj（ωt+θ+Φ） e＝ Emsin(ωt +θ+Φ) としましょう。としていましたが、複素電圧、複素電流電気回路第1スライド9-5-4 I＝Imεj（ωt+θ）＝Imcos(ωt+θ)+jImsin(ωt+θ) もちろん、 E＝Emεj（ωt+θ+Φ）＝Emcos(ωt+θ+Φ)+jEmsin(ωt+θ+Φ) です。 ①天下りに関数を設定。 ②εのjωt乗とする。 ③（虚数の）指数関数。 ④展開するとsinとcos。複素電圧の意味について？

指数関数を微積分して 複素電圧、複素電流複素電流、電圧 IとEを例の虚数の指数関数（振動する）にします。 di de I＝Imεj（ωt+θ） I＝Imεj（ωt+θ） e = L i = C E＝Emεj（ωt+θ+Φ） dt E＝Emεj（ωt+θ+Φ） dt は指数ですから微積分はjωを掛けるか割るかで電圧も同様に、としましょう。 I＝Imεj（ωt+θ）＝Imcos(ωt+θ)+jImsin(ωt+θ) E I dE dI ∫ Idt= です。 =jωI = jωE E＝Emεj（ωt+θ+Φ）＝Emcos(ωt+θ+Φ)+jEmsin(ωt+θ+Φ) 、および、です。 jω jω dt dt i ＝ Imsin(ωt +θ) I＝Imεj（ωt+θ） I＝Imεj（ωt+θ） I＝Imεj（ωt+θ） I＝Imεj（ωt+θ） I＝Imεj（ωt+θ） I＝Imεj（ωt+θ） I＝Imεj（ωt+θ） I＝Imεj（ωt+θ） I＝Imεj（ωt+θ） I＝Imεj（ωt+θ） I＝Imεj（ωt+θ） I＝Imεj（ωt+θ） e＝ Emsin(ωt +θ+Φ) E＝Emεj（ωt+θ+Φ） E＝Emεj（ωt+θ+Φ） E＝Emεj（ωt+θ+Φ） E＝Emεj（ωt+θ+Φ） E＝Emεj（ωt+θ+Φ） E＝Emεj（ωt+θ+Φ） E＝Emεj（ωt+θ+Φ） E＝Emεj（ωt+θ+Φ） E＝Emεj（ωt+θ+Φ） E＝Emεj（ωt+θ+Φ） E＝Emεj（ωt+θ+Φ） E＝Emεj（ωt+θ+Φ）としていましたが、 ∫ ∫ ∫ edt = Li idt = Ce Edt= 簡略化ー交流100Vと呼んでー電気回路第1スライド9-6-1 まず、先ほどの、複素電圧、複素電流を持ってきましょう。！ ①εのjωt乗を簡略化する。 ②εjωtの部分だけ分けて書く。 ③全部に出てくる、εjωtは省くことにする。 ④大きさの部分は実効値を用いる。一応わかったら、数値を入れてみましょう。

指数関数を微積分して 複素電圧、複素電流複素電流、電圧 IとEを例の虚数の指数関数（振動する）にします。 di de I＝Imεj（ωt+θ） I＝Imεj（ωt+θ） e = L i = C E＝Emεj（ωt+θ+Φ） dt E＝Emεj（ωt+θ+Φ） dt は指数ですから微積分はjωを掛けるか割るかで電圧も同様に、としましょう。 I＝Imεj（ωt+θ）＝Imcos(ωt+θ)+jImsin(ωt+θ) E I dE dI ∫ Idt= です。 =jωI = jωE E＝Emεj（ωt+θ+Φ）＝Emcos(ωt+θ+Φ)+jEmsin(ωt+θ+Φ) 、および、です。 jω jω dt dt i ＝ Imsin(ωt +θ) I＝Imεj（ωt+θ） e＝ Emsin(ωt +θ+Φ) E＝Emεj（ωt+θ+Φ）としていましたが、 ∫ ∫ ∫ edt = Li idt = Ce Edt= 簡略化ー交流100Vと呼んでー電気回路第1スライド9-6-2 これと、 I ＝ │I│εjθ εjωt これらを、これらを、 E＝ │E│εj（θ+Φ） εjωt これと、もちろん、指数関数の性質を使います。 εjωtだけ分けて書くことができますね。！ ①εのjωt乗を簡略化する。 ②εjωtの部分だけ分けて書く。 ③全部に出てくる、εjωtは省くことにする。 ④大きさの部分は実効値を用いる。一応わかったら、数値を入れてみましょう。

指数関数を微積分して 複素電圧、複素電流複素電流、電圧 IとEを例の虚数の指数関数（振動する）にします。 di de I＝Imεj（ωt+θ） I＝Imεj（ωt+θ） e = L i = C E＝Emεj（ωt+θ+Φ） dt E＝Emεj（ωt+θ+Φ） dt は指数ですから微積分はjωを掛けるか割るかで電圧も同様に、としましょう。 I＝Imεj（ωt+θ）＝Imcos(ωt+θ)+jImsin(ωt+θ) E I dE dI ∫ Idt= です。 =jωI = jωE E＝Emεj（ωt+θ+Φ）＝Emcos(ωt+θ+Φ)+jEmsin(ωt+θ+Φ) 、および、です。 jω jω dt dt i ＝ Imsin(ωt +θ) I ＝ │I│εjθ I＝Imεj（ωt+θ） e＝ Emsin(ωt +θ+Φ) E＝ │E│εj（θ+Φ） E＝Emεj（ωt+θ+Φ）としていましたが、 ∫ ∫ ∫ edt = Li idt = Ce Edt= 簡略化ー交流100Vと呼んでー電気回路第1スライド9-6-3 εjωt εjωt もちろん、指数関数の性質を使います。 εjωtだけ分けて書くことができますね。ここでεjωtだけ省きます。（位相差のεj（θ+Φ）などはもちろん残します。）　　　こうしてみるとεjωtはいつも (電流、電圧とも）くっついてきます。時刻tの関数ではなくなります。記号法というのはこのためです。！ ①εのjωt乗を簡略化する。 ②εjωtの部分だけ分けて書く。 ③全部に出てくる、εjωtは省くことにする。 ④大きさの部分は実効値を用いる。一応わかったら、数値を入れてみましょう。

指数関数を微積分して 複素電圧、複素電流複素電流、電圧 IとEを例の虚数の指数関数（振動する）にします。 di de I＝Imεj（ωt+θ） I＝Imεj（ωt+θ） e = L i = C E＝Emεj（ωt+θ+Φ） dt E＝Emεj（ωt+θ+Φ） dt は指数ですから微積分はjωを掛けるか割るかで電圧も同様に、としましょう。 I＝Imεj（ωt+θ）＝Imcos(ωt+θ)+jImsin(ωt+θ) E I dE dI ∫ Idt= です。 =jωI = jωE E＝Emεj（ωt+θ+Φ）＝Emcos(ωt+θ+Φ)+jEmsin(ωt+θ+Φ) 、および、です。 jω jω dt dt i ＝ Imsin(ωt +θ) I ＝ │I│εjθ I＝Imεj（ωt+θ） e＝ Emsin(ωt +θ+Φ) E＝ │E│εj（θ+Φ） E＝Emεj（ωt+θ+Φ）としていましたが、ここでεjωtだけ省きます。（位相差のεj（θ+Φ）などはもちろん残します。） ∫ ∫ ∫ edt = Li idt = Ce Edt= 時刻tの関数ではなくなります。記号法というのはこのためです。簡略化ー交流100Vと呼んでー電気回路第1スライド9-6-4 さらに、振幅Imとかの代わりにルート２分の１倍の実効値を使用する。通常の商用電源も実効値で交流100Vで良いです。！ ①εのjωt乗を簡略化する。 ②εjωtの部分だけ分けて書く。 ③全部に出てくる、εjωtは省くことにする。 ④大きさの部分は実効値を用いる。一応わかったら、数値を入れてみましょう。

今日のまとめ 電流や電圧の微分積分微分 ⇒jω倍 1 ⇒　　　　倍 jω 積分簡略化ー交流100Vと呼んでー複素電圧、複素電流ベクトル記号法 E＝ │E│εj（θ+Φ）実効値を用いる。時間の関数でsin（ωt+θ）の電圧、電流を、複素数で表す。 I ＝ │I│εjθ I＝Imεj（ωt+θ） I ＝ │I│εjθ εjωｔを省略する。 E＝ │E│εj（θ+Φ） E＝Emεj（ωt+θ+Φ）ここでεjωtだけ省きます。（位相差のεj（θ+Φ）などはもちろん残します。）時刻tの関数ではなくなります。記号法というのはこのためです。さらに、振幅Imとかの代わりにルート２分の１倍の実効値を使用する。通常の商用電源も実効値で交流100Vで良いです。 I＝Imεj（ωt+θ） E＝Emεj（ωt+θ+Φ）指数関数を微積分して電気回路第1スライド9-7-1 tで微分や積分をしたいと思います。そこで、εjωtもある式を持ってきます。とすると大変メリットがあります。 ①εの指数が何の役に立つのか述べる。 ②RLCなどの回路では微分、積分の関係が重要。 ③指数の微分積分は単にjωをかけるか割るか。 ④電流の微分、積分を実行。 ⑤電圧の場合も同様。時刻ｔで微分することについて？

今日のまとめ 電流や電圧の微分積分微分 ⇒jω倍 1 ⇒　　　　倍 jω 積分簡略化ー交流100Vと呼んでー複素電圧、複素電流 de di ベクトル記号法 E＝ │E│εj（θ+Φ）実効値を用いる。 e = L i = C 時間の関数でsin（ωt+θ）の電圧、電流を、複素数で表す。 I ＝ │I│εjθ I＝Imεj（ωt+θ） I ＝ │I│εjθ εjωｔを省略する。 E＝ │E│εj（θ+Φ） E＝Emεj（ωt+θ+Φ） dt dt ここでεjωtだけ省きます。（位相差のεj（θ+Φ）などはもちろん残します。）時刻tの関数ではなくなります。記号法というのはこのためです。さらに、振幅Imとかの代わりにルート２分の１倍の実効値を使用する。通常の商用電源も実効値で交流100Vで良いです。 I＝Imεj（ωt+θ） E＝Emεj（ωt+θ+Φ） ∫ ∫ edt = Li idt = Ce 指数関数を微積分して電気回路第1スライド9-7-2 RL回路、RLC回路などで懸案だったのは、といった微積分する関係でした。 ①εの指数が何の役に立つのか述べる。 ②RLCなどの回路では微分、積分の関係が重要。 ③指数の微分積分は単にjωをかけるか割るか。 ④電流の微分、積分を実行。 ⑤電圧の場合も同様。時刻ｔで微分することについて？

今日のまとめ 電流や電圧の微分積分微分 ⇒jω倍 1 ⇒　　　　倍 jω 積分簡略化ー交流100Vと呼んでー複素電圧、複素電流 de di ベクトル記号法 E＝ │E│εj（θ+Φ）実効値を用いる。 e = L i = C 時間の関数でsin（ωt+θ）の電圧、電流を、複素数で表す。 I ＝ │I│εjθ I＝Imεj（ωt+θ） I ＝ │I│εjθ εjωｔを省略する。 E＝ │E│εj（θ+Φ） E＝Emεj（ωt+θ+Φ） dt dt ここでεjωtだけ省きます。（位相差のεj（θ+Φ）などはもちろん残します。）時刻tの関数ではなくなります。記号法というのはこのためです。さらに、振幅Imとかの代わりにルート２分の１倍の実効値を使用する。通常の商用電源も実効値で交流100Vで良いです。 I＝Imεj（ωt+θ） E＝Emεj（ωt+θ+Φ） ∫ ∫ edt = Li idt = Ce 指数関数を微積分して電気回路第1スライド9-7-3 これらの式は、これらの式は、微積分に対して、微積分に対して、は指数ですから微積分はjωを掛けるか割るかでよい。 ①εの指数が何の役に立つのか述べる。 ②RLCなどの回路では微分、積分の関係が重要。 ③指数の微分積分は単にjωをかけるか割るか。 ④電流の微分、積分を実行。 ⑤電圧の場合も同様。時刻ｔで微分することについて？

今日のまとめ 電流や電圧の微分積分微分 ⇒jω倍 1 ⇒　　　　倍 jω 積分簡略化ー交流100Vと呼んでー複素電圧、複素電流 de di ベクトル記号法 E＝ │E│εj（θ+Φ）実効値を用いる。 e = L i = C 時間の関数でsin（ωt+θ）の電圧、電流を、複素数で表す。 I ＝ │I│εjθ I＝Imεj（ωt+θ） I ＝ │I│εjθ εjωｔを省略する。 E＝ │E│εj（θ+Φ） E＝Emεj（ωt+θ+Φ） dt dt ここでεjωtだけ省きます。（位相差のεj（θ+Φ）などはもちろん残します。）時刻tの関数ではなくなります。記号法というのはこのためです。さらに、振幅Imとかの代わりにルート２分の１倍の実効値を使用する。通常の商用電源も実効値で交流100Vで良いです。 I＝Imεj（ωt+θ） E＝Emεj（ωt+θ+Φ） ∫ ∫ ∫ edt = Li idt = Ce Idt= Im I εj(ωt+θ) dI = = Im×jωεj(ωt+θ) jω jω dt 指数関数を微積分して電気回路第1スライド9-7-4 は指数ですから微積分はjωを掛けるか割るかでよい。すなわち、 =jωI ①εの指数が何の役に立つのか述べる。 ②RLCなどの回路では微分、積分の関係が重要。 ③指数の微分積分は単にjωをかけるか割るか。 ④電流の微分、積分を実行。 ⑤電圧の場合も同様。時刻ｔで微分することについて？

今日のまとめ 電流や電圧の微分積分微分 ⇒jω倍 1 ⇒　　　　倍 jω 積分簡略化ー交流100Vと呼んでー複素電圧、複素電流 de di ベクトル記号法 E＝ │E│εj（θ+Φ）実効値を用いる。 e = L i = C 時間の関数でsin（ωt+θ）の電圧、電流を、複素数で表す。 I ＝ │I│εjθ I＝Imεj（ωt+θ） I ＝ │I│εjθ εjωｔを省略する。 E＝ │E│εj（θ+Φ） E＝Emεj（ωt+θ+Φ） dt dt ここでεjωtだけ省きます。（位相差のεj（θ+Φ）などはもちろん残します。）時刻tの関数ではなくなります。記号法というのはこのためです。さらに、振幅Imとかの代わりにルート２分の１倍の実効値を使用する。通常の商用電源も実効値で交流100Vで良いです。 I＝Imεj（ωt+θ） E＝Emεj（ωt+θ+Φ） ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 、電圧も同様に、 edt = Li idt = Ce Edt= Em Idt= Idt= Im I I E εj(ωt+θ) dE E dI dI εj(ωt+θ+Φ) = =Em×jωεj(ωt+θ+Φ) = jωE = = = jωE = Im×jωεj(ωt+θ) jω jω jω jω jω dt jω dt dt =jωI 指数関数を微積分して電気回路第1スライド9-7-5 は指数ですから微積分はjωを掛けるか割るかで、です。 =jωI 、および、 ①εの指数が何の役に立つのか述べる。 ②RLCなどの回路では微分、積分の関係が重要。 ③指数の微分積分は単にjωをかけるか割るか。 ④電流の微分、積分を実行。 ⑤電圧の場合も同様。時刻ｔで微分することについて？

スライドの終了 指数関数を微積分して di de I＝Imεj（ωt+θ） e = L i = C E＝Emεj（ωt+θ+Φ） dt dt は指数ですから微積分はjωを掛けるか割るかで電圧も同様に、 E I dE dI ∫ Idt= です。 =jωI = jωE 、および、 jω jω dt dt ∫ ∫ ∫ edt = Li idt = Ce Edt= 今日のまとめ電気回路第1スライド9-8-1 ベクトル記号法では、時間の関数でsin（ωt+θ）の電圧、電流を、複素数で表す。！ ①時間の関数、sin（ωt+θ)をεのj（ωt＋θ）乗とする。 ②複素電圧（電流）では実効値を用いεjωtを省く。 ③微分はjωを掛け、積分ではjωで割る。最初のスライドに戻る。？次回までの演習問題です。（余り問題らしくありませんが…。）

スライドの終了 指数関数を微積分して di de I＝Imεj（ωt+θ） e = L i = C E＝Emεj（ωt+θ+Φ） dt dt は指数ですから微積分はjωを掛けるか割るかで電圧も同様に、 E I dE dI ∫ Idt= です。 =jωI = jωE 、および、 jω jω dt dt ベクトル記号法時間の関数でsin（ωt+θ）の電圧、電流を、複素数で表す。 ∫ ∫ ∫ edt = Li idt = Ce Edt= 今日のまとめ電気回路第1スライド9-8-2 まず、複素電圧、複素電流は、のポイントは、 E＝ │E│εj（θ+Φ）実効値を用いる。や I ＝ │I│εjθ などで、 εjωｔを省略する。！ ①時間の関数、sin（ωt+θ)をεのj（ωt＋θ）乗とする。 ②複素電圧（電流）では実効値を用いεjωtを省く。 ③微分はjωを掛け、積分ではjωで割る。最初のスライドに戻る。？次回までの演習問題です。（余り問題らしくありませんが…。）

スライドの終了 指数関数を微積分して di de I＝Imεj（ωt+θ） e = L i = C E＝Emεj（ωt+θ+Φ） dt dt は指数ですから微積分はjωを掛けるか割るかで電圧も同様に、 E I dE dI ∫ Idt= です。 =jωI = jωE 、および、 jω jω dt dt ベクトル記号法時間の関数でsin（ωt+θ）の電圧、電流を、複素数で表す。複素電圧、複素電流 ∫ ∫ ∫ edt = Li idt = Ce Edt= E＝ │E│εj（θ+Φ）実効値を用いる。 I ＝ │I│εjθ εjωｔを省略する。 1 ⇒　　　　倍 jω 今日のまとめ電気回路第1スライド9-8-3 電流や電圧の微分積分は、微分　は、 ⇒jω倍すると、すると、積分　はしたり、します。と簡単に表現されます。！ ①時間の関数、sin（ωt+θ)をεのj（ωt＋θ）乗とする。 ②複素電圧（電流）では実効値を用いεjωtを省く。 ③微分はjωを掛け、積分ではjωで割る。最初のスライドに戻る。？次回までの演習問題です。（余り問題らしくありませんが…。）

電気回路第1スライド付録 補足１：複素数を用いてベクトル記号法ここでは、電圧、電流、（次回やります）インピーダンスを複素数で表現する手法を学習します。これをベクトル記号法と称しております。記号法なのは、刻一刻と変化する電圧などを、位相の合っている実数、位相のずれている虚数としますと、時間 t の関数としてちゃんと扱わなくても、1、jといった記号で表現できるといったものです。一方、ベクトルなのは、複素数の極座標表示を理解いただければ簡単です。複素数は、本来二つの要素（1 と jです。）を考え、これらがいくらあるかと記述するものです。それらを、ｘ軸方向、(1, 0)の単位ベクトルと、ｙ軸方向、(0, 1)の単位ベクトルと考えると複素数Zはx、ｙ座標でのベクトルになりますね。もともと、電圧は実数、ただし時間の関数というものだったのを、複素数時間によらないとしてしまったわけです。さらに、初期位相のみが残って、εjθとなってしまうと、これは最初から、実部、虚部を持つ値となって、上の単純な説明とは少し異なります。よりわかりやすいのは複素電圧の大きさは、実効値、位相差はθと表現していると思っていただくと良いかと思います。これを、初期位相ゼロの正弦波と比較して位相が合っている部分が実数部分です。このあと電力を計算する際には、さらに注意を払って、電圧と電流の位相差がないときに実効値の積と計算できるようにします。 !! わかったら（でなくっても）ここをクリックしてもとのスライドに帰りましょう。

電気回路第1スライド付録 補足2：虚数の指数関数わけわからん、虚数の指数関数は何者か考えます。εｊ0はもちろん何もかけませんから、 εｊ0 = ε0 =1 ① です。また、指数関数の本性としてかける関数ですから ε(ｘ+ｙ) = εｘ×εｙ ② です。これらを虚数にして、 εｊ(ｘ+ｙ) = εｊｘ×εｊｙ ③ ですね。また、（少しごまかして）虚数回かけるっていうのは、ちゃんとは掛けていませんので、どんどん掛けていっても大きく（小さく）なっては困りますから、絶対値は1ということで、 │εｊｘ │= 1 ④ また、常にただの±１ではつまらないし、結果に虚数が入って複素数になるのはいいんじゃないかと考えますと、あるθがあって、 εｊｘ= cosθ+ jsinθ ⑤ と書けるはずです。あとは、このθが xでどうなるかですが、安直にそのまま xをθにしてしまうと、 εｊθ = cosθ+ jsinθ ⑥ となります。これは、候補の１つに過ぎないようにも思えますが、③式を満たすか調べると、 εｊ(α+β) = cos (α+β) + j sin (α+β) = cosαcosβ－sinαsinβ+ j( cosαsinβ + sinαcosβ) = cosαcosβ＋j2sinαsinβ+ jcosαsinβ + jsinαcosβ = cosα×cosβ＋jsinα× jsinβ+ cosα× jsinβ + jsinα×cosβ = cosα×(cosβ＋ jsinβ) + jsinα×( jsinβ+cosβ) = (cosα + jsinα)×( jsinβ+cosβ) = εｊα ×εｊβ ⑦ と満たしてくれる理想的な式なのです。もちろん3角関数の加法定理を用いています。したがって⑥式のオイラーの公式が得られました。j2を持ち出してきたのは結果のsinにはjがかかっていることを知っているからできた変形ですね。 !! わかったら（でなくっても）ここをクリックしてもとのスライドに帰りましょう。

電気回路第1スライド付録 補足3：複素電圧の意味について複素電圧を天下りに、　　│E│εjθ＝│E│cosθ+ j│E│cosθ ① と定義しました。これは、初めから、虚数部分 j│E│cosθをもっているように見えます。これは、２つの見方をしてください。（１）初期位相ゼロの（例えば）電流があったとすると、　　│I│εj×0＝│I│ ② とくらべると位相の合った部分が│E│cosθ、位相の90°進んだ部分が、 j│E│cosθです。（２）電圧、電流が、それぞれ、　　│E│εj(θ+φ)＝│E│cos(θ＋φ) + j│E│cos(θ+φ)、 ③ 　　│I│εjθ＝│I│cosθ+ j│I│cosθ ④ のとき、指数関数の性質から、電圧の方を変形して、　　│E│εj(θ+φ)＝│E│εjθ×εjφ 　　＝（電流と同じ位相のもの）×位相差εjφ ⑤ 　　＝電流│I│εjθ×定数×位相差εjφ ⑥ と表現され、位相差の部分がきれいに出せます。この⑥のような表現（これから述べる、複素数のインピーダンス）を導くため、│E│εjθといった表現を用いることとしました。 !! わかったら（でなくっても）ここをクリックしてもとのスライドに帰りましょう。

電気回路第1スライド付録 補足4：関数と定数　　さんざん出てくるのが、時刻tで微分すると、とか時刻tで積分するととかの表現です。 ax + bt というものがありますと、xで微分するとa、tで微分するとbと言った具合になります。tが出てこないところは、無視して、tの関与するところだけちゃんと微分するとOKです。以上は微分積分学か解析学でちゃんと学習しますが、使えるようになってくださいね。　　さて、この章では、 aεbt+c をtで微分すると、最初の aはそのままでOK。εxの微分がそのままεxであったことと、x の代わりに関数が入ると、εf(x) の微分はf’(x)εf(x) となることを利用すると、abεbt+cとなります。でも、このあとのが大切で、 I = │I│εｊωt+ｊθ をtで微分すると、 dI/dt = jω│I│εｊωt+ｊθ だけでは、時間 tの露なままです。これを、 dI/dt = jωI とすると、話は大分変わってきて、この式には tは出てきません。でも、Iは時間に依存しないのでしょうか。そんなことはありませんね、Iも dI/dtもともに時間の関数です。ただ両者の関係はj なる変な数字（の亜流）が入ってはいるものの、単なる比例関係で、両者の関係は時刻によって関係ありません。そこで、これからは、tの関数を忘れて、比例関係で議論しましょうということにしました。jωtを書かなくなったのは、こういう意味です。もちろん、jは位相が90°進むという意味ですから、常に位相差は一定ですよといういみで、瞬時の電圧電流じゃないよと理解してください。 !! わかったら（でなくっても）ここをクリックしてもとのスライドに帰りましょう。

電気回路第1スライド付録 発展１：記号法のメリット　交流電圧 e = 2 sin(ωt + θ） ① を1 [V] の交流と述べた段階で、既に時間や位相の情報を無視して、交流1 [V] という記号で表したようなものです。こうすると、この電圧の効果を直流のアナロジーで解析できるというメリットがありますね。　もちろん抵抗だけをつないで回路をつくることは余りないので、インダクタンスやキャパシタンスの効果もちゃんと取り込みたいと考えますね。こうして生まれたのが、複素電圧Eなどで、電圧は測定可能な物理量ですから、複素数ではありません。（注:量子力学で、測定可能な物理量は何がしかの実数になるとあります。）でも、位相差の部分を物理的にはインチキでも、位相差の有無を適切に表現できる便利な記号として、 E = εjθ ② と表現します。　さらに、ここでは扱わないことにした、過渡応答（入力や系に変化のあった瞬間の応答を解析）を調べる場合には別な記号法で、ラプラス変換法というものを用います。時刻tの関　　　　　　　１数を新しい変数sの関数（ほぼ１を１/s、ε－atを ――― などと変形します）としています。 s + a ポイントは時刻ｔの関数を使わずに、時刻によって変化する量を表現していることです。ここでも指数関数を使っている点にも注目ください。 √ !! ここをクリックしてもとのスライドに帰りましょう。

電気回路第1スライド付録 発展2：jω…に数値を入れて… インダクタンスにかかる電圧はjωLIです。とか、キャパシタンスだと1/ｊωC×Iです。などとありましたが、値でみると前章の計算とおんなじ値になります。（どちらも同じ物理量を表現しているので当然ですが。）一応値をいれておきましょう。１）100V 60Hz（120πrad/s)の交流で、一応初期位相θを30°（ではなくπ/６）にしておきましょう。この(i)複素電圧と、(ii) 1 kΩの抵抗1個に100 Vかけた場合、(iii) 1 mHのインダクタンス1個に100Vかけた場合、(iv) 1μFのキャパシタンス1個に100Vかけた場合それぞれに流れる電流の複素表示を示しましょう。 (i) 141Vではありません。E = 100εｊπ／6[V]となります。 (ii) 抵抗だと電流はE/Rで良いですから、I＝E/103＝0.1εｊπ／6[A] (iii) インダクタンスだとE=LdI/dtですから、 I=（1/L）∫Eｄｔ＝E/jωL＝(100εｊπ／6)/(j×120π×10-3)＝-j(104/12π)εｊπ／6[A] あと-j倍すると位相がπ/２だけ遅れると知って、(104/12π)ε―πｊ／3[A]となります。かなり大きい値ですね。電源回路などでコイルの設計を誤ると焦げたり、ショートしたりいろいろしれかしてくれますのでご注意ください。 (iv) キャパシタンスだと微分はjωをかけることを用いて、 I＝CdE/dt=jωCE＝j×120π×10-6×100εｊπ／6 ＝1.2×10-2πjεｊπ／6＝1.2×10-2πjε2πj／3[A]となります。 0.1アンペアちょっとでしょうか。 !! ここをクリックしてもとのスライドに帰りましょう。

電気回路第1スライド付録 di dt 1 j 1 jω 発展3：次回までの演習問題 [1] 交流100 [V]（実効値）を複素表示してください。初期位相はθとしましょう。 [2] εj（ωt＋π/6）を t で微分するといくらですか [3] 100εj（ωt－π/12）を tで積分するといくらですか [4] I ＝10εj（ωt＋θ）のとき、L を Iであらわしなさい。（t を消去すること。） [5] j + を計算しなさい。 [6] jω + ＝0 となるωを求めなさい。 !! ここをクリックしてもとのスライドに帰りましょう。

電気回路第1補助資料（複素数の演算） 電気回路第1補助資料複素数の演算これまでに複素数の加減乗除と共役複素数について理解していれば不要です。 !! ここをクリックすると以降のスライドを見ずに元のテキストにもどれます。

虚数（想像した数）（iは用いない。） j2＝－1 (z－１) 2＋１２１ • 複素数０１ z z＝a+bj 電気回路第1補助資料（複素数の演算）複素数の概念つぎへ (z－１) 2＋１＝０の解を考えよう。そこで、次の数を考えます。まず、左辺のグラフを描くと電気のみのグラウンドルールです。 iは電流のためにとっておく。一般的にすべての2次方程式を解けたことにしようと思うと、０にはならない。すると上の方程式は（ｚ－１）の二乗がー１だから、ｚ－１がｊとなれば良い。 aとbはもちろん実数で、虚数が混ざっている数が複素数です。そこで、ｚ＝１＋ｊとなります。

ｒ θ 電気回路第1補助資料（複素数の演算）極座標表示つぎへ Z＝a＋bj 次に、Zをもう少し別の表現で表します。＝rcosθ+jrsinθ のaもｂも実数ですから、 Zは二つの実数を組み合わせたものです。ベクトル(状のもの）Zは水平方向にa垂直方向にbのだけ行った物。すこし整理して、さらにまとめて、横縦の座標軸はそれぞれ実数の大きさと、虚数（にかかる実数）の大きさを表わします。それぞれ、実軸、虚軸と呼びます。虚軸 Z Zの長さをｒとすると、aとbが垂直ですから、ｒは、 r2 ＝ a2 + b2となります。 b aとｂもを対等に横軸a、縦軸ｂの座標軸の中で Zを記述しましょう。すると、aやbは三角関数を用いて、さきほどのaやｂはＺの実数部と虚数部で、記号では、 a ０ a =rcosθb =rsinθ 実軸 =Re(Z) =Im(Z) となります。となる。

商 (a1+b1j)(a1+b1j)×(a2ーb2j) (a1a2＋b1b2) +(－a1b2 +b1a2) j ＝＝ (a2+b2j) (a2+b2j)×(a2ーb2j) (a22＋b22) 電気回路第1補助資料（複素数の演算）複素数の演算つぎへ加減 (a1+b1j)±(a2+b2j)＝(a1 ±a2 )+ (b1 ±b2) j 実部、虚部毎に加減積 (a1+b1j)×(a2+b2j)＝ (a1a2ーb1b2) +(a1b2 +b1a2) j jを記号と思ってかける、j2＝－1 共役複素数（次のスライド）を分子、分母にかける。 !! ここをクリックしてもとのスライドに帰りましょう。

電気回路第1補助資料（複素数の演算） 共役複素数虚軸 Z=a+bj • 共役複素数は、虚部だけマイナス1倍したものZ=a－bj b r － a θ ー０ ZZ＝(a＋bj)(aーbj) ＝a２ー abj＋bja ー (bj)２＝a２＋b２＝r２ーθ 実軸 r ーb ー Z=aー bj !! ここをクリックしてもとのスライドに帰りましょう。

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