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函數與極限 教學網頁規劃簡報

函數與極限 教學網頁規劃簡報. 製作： 劉佳維 何呂升 張功翰. 前言. 數學是科學研究的工具，藉由數量的計算分析來探討應用上的問題。科學或應用問題所面對的數量，通常有著明確的因果關係，這因果關係就是數學裡的「函數」 微積分正是函數研究中，最基礎且強而有力的一門課。可對函數 ( 欲研究的問題 ) 作細部的分析 ( 微分 ) ，也可作廣域性的掌握 ( 積分 ) ，故中文譯為微積分。. 為了對整個問題作全盤性的分析，我們需要「函數」；為了作細部的分析，我們需要「極限」的概念。. 什麼是函數？.

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  1. 函數與極限 教學網頁規劃簡報 製作： 劉佳維 何呂升 張功翰

  2. 前言 • 數學是科學研究的工具，藉由數量的計算分析來探討應用上的問題。科學或應用問題所面對的數量，通常有著明確的因果關係，這因果關係就是數學裡的「函數」 • 微積分正是函數研究中，最基礎且強而有力的一門課。可對函數(欲研究的問題)作細部的分析(微分)，也可作廣域性的掌握(積分)，故中文譯為微積分。

  3. 為了對整個問題作全盤性的分析，我們需要「函數」；為了作細部的分析，我們需要「極限」的概念。為了對整個問題作全盤性的分析，我們需要「函數」；為了作細部的分析，我們需要「極限」的概念。

  4. 什麼是函數？ • 設x和y是兩個變量，若每一個x都有唯一一個與之對應的y值，我們稱這種對應關係為『y是x的函數』，並用符號y=f(x)表示，f(x)讀作「f of x」

  5. 用集合觀點來定義函數： • 設A、B為二非空集合，若對於集合A中的任一個元素a，在集合B中恰有一元素b與a對應，此種對應關係 f 稱為從A映到B的函數。記為 f：A→B。 其中b稱為a的函數值，用符號b=f(a)表示。 集合A稱為f的定義域，集合B稱為f的對應域， 而全體函數值f(a)所形成的集合稱為f的值域。 記做f(A)={f(a)|a∈A}，注意f(A)⊂B。

  6. 圖示： A B 以下我們把函數做一些分類，並且給他們 適當的名稱 a b c d e

  7. 函數的種類 • (1) 一對一 • (2) 多對一 • (3) 映成

  8. (1) 一對一 A B • 圖示： 設A、B為兩個非空集合，f：A→B為一函數，對於任意x1,x2∈A， 若 f(x1)=f(x2) ⇔ x1=x2 ，則稱函數 f 為1−1函數。 1 a 2 b c

  9. 例子： • 我們現在假設每對夫妻都是一個老公配一個老婆的話，那麼夫妻之間的關係就是一對一函數 每個元素都有它唯一對應的元素

  10. (2) 多對一 • 圖示： A B 設A、B為兩個非空集合，f：A→B為一函數，存在x1,x2∈A， x1≠x2，且f(x1)=f(x2)，則稱函數f為多對一函數。 a 1 b 2 c 3 d

  11. 例子： • 班上學生跟分數之間的關係:例如今天我出五題數學題，一題20分，班上有甲乙丙丁戊五個學生成績如下圖，那麼學生與分數(0.20.40.60.80.100)之間的關係就是多對一甲:20 乙:20 丙:40 丁:60 戊:80 • 可以有兩個元素對應到相同的值

  12. (3) 映成 A B • 圖示 • 設A、B為兩個非空集合，f：A→B為一 函數，若f(A)=B， 則稱 f 為映成函數。 1 a 2 b 3

  13. 例子 • 男女混班的班級，學生和性別的關係就是映成函數 • 每個值都有被對映到(有男生也有女生)

  14. 1對多不是函數 • 圖示： A B a 1 b 2 c d

  15. 用座標來表示函數的關係 • 假如我們把X軸當成定義域，而把Y軸當成值域的話，那麼，我們就有一個關於定義域和值域的關係圖了，因此，我們就可以把代數跟幾何結合起來!! 例子.一個定義在R→R的自己對到自己的函數(例如：2對到2，3對到3..)，則此函數為f(x)=x，圖形如下 每個X都對應到和自己相同值的Y

  16. 判斷哪些圖形Y是X的函數?

  17. 結論 (a)定義域要對完，但對應域不一定全部都 要被對完(對應域全部都被對完的稱為映成函數)。 (b)1對1,多對1⇒是函數， 但1對多不是函數。

  18. 引入極限 • 易經：「一尺之竿，日取其半，萬世不竭」，意思說：「一尺長的竹竿，每天截取其長度的一半，可以永遠持續操作下去，一輩子也取不完。」 • 換個角度思考，問：最後剩下竹竿的長度為何？竹竿原長度為1，一天後剩1/2，二天後剩1/4，…，n 天後剩1/2n…

  19. 最後所剩的長度，可以小於1千分之一？沒問題！可以小於100 萬分之一？沒問題！可以說：「要多接近零，都沒問題！」，我們稱「剩下的長度→0」。 唸作：趨近 • 一般來說：「x→a」表示數線上點x 與點a 無限接近，兩點間的距離 |x-a|→0

  20. 引入函數極限(以求瞬時速度為例) • 一質點的位移函數是s(t)=t，求此質點在t=2的瞬時速度v(2)=？ 2秒與(2+t)秒的平均速度= 化簡得到t+4 ， v(2)=2秒與(2+t)秒的瞬時速度為 當t趨近於0時，2秒與(2+t)秒平均速度的極限值是4 記作 = (t+4)=4。

  21. 圖表

  22. 函數極限的定義 • f(x)為一函數， 若x從a的左右兩邊趨近a(但x≠a)時，則函 數值f(x)非常趨近一確定的實數L， 就稱x趨近a時(x→a) ，f(x)的極限為L。 符號記為：

  23. 判斷函數在x=a極限值是否存在? 存在；因為符合定義

  24. 判斷函數在x=a極限值是否存在? 不存在；因為往左右趨近時，函數值不會趨近某一個定值；換句話說，左極限不等於右極限。

  25. 判斷函數在x=a極限值是否存在? 存在；因為符合定義；事實上，函數極限值存在與否，在於x左右趨近a時，函數值是否趨近某一定值。與函數在該點的函數值無關，該點也可能無定義。

  26. 判斷函數極限值是否存在? 1. 設g(x)= (x≠0)，當x趨近0時，函數 值g(x)是否會趨近一個「定值」？ 2. h(x)= (x≠0)，試問當x趨近0時，函數 值h(x)是否會趨近一個「定值」？

  27. 1. 左極限不等於右極限

  28. 2. 當x任意趨近0時，相應的含數值趨向無窮大，故極限值不存在

  29. 極限的四則運算 • 設a、c是實數常數，如果 則 • (1)實數乘上函數

  30. (2)和與差 • (3)乘積

  31. (4)商式 ， 其中分母

  32. 附註： (1) ( f(x) =a 是常數函數 ) (2) ( f(x) =x 是一次函數 ) (3) ( n ∈ N )

  33. 推論： • 設 則 (1) (2) 時

  34. 例題： • (1) • (2) • (3)

  35. 解： • (1) • (2)

  36. (3) 前面的推論不適用於此題 因為分母： 但是 (當x≠-3) 因此

  37. 教學網頁設計理念 ‧有互動性、趣味性，讓學生有「動手操作」 的活動，希望藉此引發學生的學習動機以達成目標。

  38. 網頁設計規劃流程 函數的概念與極限 源起 內容 測驗 GAME 極限 函數 判斷圖形 四則運算 一對一 多對一 映成 引入 概念

  39. 教學網頁教學目標 • 讓學生知道函數的定義以及函數的極限。 • 能從生活中的例子更了解何謂函數，並能知道是何種類型的函數。 • 從生活中的例子引入極限，使學生對於極限更有感覺。

  40. 參考資料 • 建中數學科 • http://math.ntut.edu.tw/file/upload/chap1.pdf

  41. THE END THANKS FOUR ATTENTION

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