微积分习题课

微积分习题课 第二章导数与微分

为曲线在点 的切线斜率。 3.在处可导的充分必要条件：在处可导与都存在，且。一、导数与微分的基本概念 1．导数定义: 2．导数的几何意义:

4. 在处的可微定义： 二、极限、连续、可导与可微的关系

（1） （2）（3）设在区间内单调、可导且，则其反函数在对应的内也可导，且或。三、求导法则 1．四则运算求导法则 2．反函数求导法则

设及 都是可导函数，则复合函数也是可导函数且。由方程确定了，方程两端对求导，在求导过程中牢记是的函数，方程中含有的项应用复合函数求导法求导。然后由求导后的方程解出。参数方程确定可导函数，则 3．复合函数求导法则 4．隐函数求导法则 5．参数方程求导

若函数的导函数 仍然是可导函数，则将的导函数叫做函数的二阶导数。记作依此类推，函数的导函数叫做的阶导数。记。四、高阶导数定义及求导

【例1】设，问 是否存在？解：五、典型例题分析计算分段函数分界点处的导数，要根据定义看是否有左导数和右导数，并且还要看左右导数是否相等。

【例2】设，求 及。分析当时，是可导函数，且可利用求导公式及求导法则求出，故求应选用“先求，后求和处函数值”的方法。而是分段函数的分段点，解：当时，当时，因而应用导数定义求。

【例3】设，已知 在处可导，试确定的值。分析此题要求两个待定常数。通常需要寻找两个只以为未知量的方程。由已知条件在分段点处可导，得一个方程；又由函数在一点可导必要条件: 在处连续，得第二个方程。解此联立方程组，可求出。

解：因为在处可导，所以在 处连续；即

【例 4】已知，求 。解：当时，；当时，；当时，所以综上，

【例6】设，求。 解：【例5】设，求。解：

【例7】求星形线在处的导数 。解：故

【例8】设是由方程 所确定，求。解：方程两边对求导得将代入上方程，得（1）将代入原方程，得（2）将（2）代入（1）中得。

【例9】求函数的微分。 解：所以

【例10】设，求。 方程两边对求导得分析因为含有乘积与幂指函数，故应用对数求导法。解：应用对数求导法。函数两边取对数得所以

【例11】设，求。 分析是由三个或三个以上的有限个函数的乘、除、开方、乘方形成的，应用对数求导法。方程两边对求导得所以解：函数两边取对数得方程

【例12】设曲线方程 , 求此曲线上纵坐标处的切线方程. 解：先求切点坐标. 将代入曲线方程得所以切点坐标为再求曲线在切点处的切线斜率.方程两端对求导，得将代入上式, 得则所求切线方程为

【例13】已知 , 设 存在且不为零, 求【14】求的阶导数. 解： … 解：因为所以