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8.2.1 换元积分法

8.2.1 换元积分法. 一、第一类换元法. 问题. ？. 利用复合函数，设置中间变量. 解决方法. 过程. 令. 设. 则. 如果. （可微）. 在一般情况下：. 由此可得换元法定理. 定理 1. 第一类换元公式 （ 凑微分法 ）. 说明. 使用此公式的关键在于将. 化为. 观察重点不同，所得结论不同. 例 1 求. 解 （一）. 解 （二）. 解 （三）. 例 2 求. 解. 一般地. 例 3 求. 解. 例 4 求. 解. 例 5 求. 解. 例 6 求. 解. 例 7 求. 解. 例 8 求. 解.

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8.2.1 换元积分法

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Presentation Transcript

  1. 8.2.1 换元积分法

  2. 一、第一类换元法 问题 ？ 利用复合函数，设置中间变量. 解决方法 过程 令

  3. 设 则 如果 （可微） 在一般情况下： 由此可得换元法定理

  4. 定理1 第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将 化为 观察重点不同，所得结论不同.

  5. 例1求 解（一） 解（二） 解（三）

  6. 例2求 解 一般地

  7. 例3求 解

  8. 例4求 解

  9. 例5求 解

  10. 例6求 解

  11. 例7求 解

  12. 例8求 解

  13. 例9求 原式

  14. 例10求 解

  15. 例11求 解 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分. 说明

  16. 例12求 解

  17. 例13求 解（一） （使用了三角函数恒等变形）

  18. 解（二） 类似地可推出

  19. 例14设 求 . 令 解

  20. 例15求 解

  21. 令 二、第二类换元法 问题 解决方法 改变中间变量的设置方法. 过程 （应用“凑微分”即可求出结果）

  22. 定理2 则有换元公式 令 设 为 的原函数, 则 证

  23. 第二类积分换元公式

  24. 令 例16求 解

  25. 令 例17求 解

  26. 令 例18求 解

  27. 说明(1) 以上几例所使用的均为三角代换. 三角代换的目的是化掉根式. 一般规律如下：当被积函数中含有 可令 可令 可令

  28. 例 中, 令 积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换. 说明(2) 也可以化掉根式

  29. 例19求 令 说明(3) 积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定. （三角代换很繁琐） 解

  30. 令 例20求 解

  31. 例21求 令 说明(4) 当分母的阶较高时, 可采用倒代换 解

  32. 令 例22求 （分母的阶较高） 解

  33. 例23求 令 说明(5) 当被积函数含有两种或两种以上的根式 时，可采用令 （其中 为各根指数的最小公倍数） 解

  34. 基本积分表

  35. 8.2.2分部积分法

  36. 复习引入 一.求下列不定积分： 解： （公式法） （凑微分法） (公式法与凑微分法都不能直接运用) 二.函数积的微分法则 d(uv)=udv+vdu 移项得 udv=d(uv)-vdu 对上式两边求不定积分，得：

  37. 分部积分法 新课讲授 如果函数uu(x)及vv(x)具有连续导数，则有 (uv)uvuv， 或 uv(uv)uv。 对上述等式两边求不定积分，得 这个公式称为分部积分公式。 分部积分的过程：

  38. 新课讲授 一.分部积分公式： 二. 关键：恰当选取u和确定v. 如何选取u:(LIATE法) L-----对数函数 I-----反三角函数 A-----代数函数 T-----三角函数 E-----指数函数 根据LIATE法，f(x)与g(x)谁排在LIATE这一字母表 前面就选谁为u. 即若选f(x)为u,则g(x)dx=dv。v=∫g(x)dx、或v'=g(x). 注： 使用分部积分公式，若选f(x)=u,则v≠g(x) 而v'=g(x).

  39. 例题与练习 例1.求下列不定积分 解： 解：

  40. 例题与练习 例1.求下列不定积分 解： 解：

  41. 例题与练习 解： 练习1.求下列不定积分

  42. 常用解题技巧 (Ⅰ)多次使用分部积分法则 例2. 解： 练习2.求不定积分

  43. 常用解题技巧 (Ⅱ)还原法 例3. 解： 练习3：

  44. 常用解题技巧 Ⅲ 与换元法相结合 解： 练习4.求不定积分

  45. 例5． 例6． 例7． 例8．

  46. 例9． 例10． 例11．

  47. 例13． 解：因为

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