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九年级第二轮复习专题

九年级第二轮复习专题. 相似三角形. 玉华中学 罗永玉. 相似三角形 的地位与作用. 相似三角形是初中几何知识的重要部分，是几何学知识链中承上启下的一环。相似三角形的知识与直角三角形、圆有着密切的联系，与函数、方程等知识结合，会产生许多新颖的综合题。相似三角形的知识也是中考命题的热点,近几年由于课程标准的变化,中考对圆的要求下降,许多重要的知识不再作为中考的要求,所以更凸显了相似三角形的重要地位。. 一 、相似三角形 中动手操作问题.

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  1. 九年级第二轮复习专题 相似三角形 玉华中学 罗永玉

  2. 相似三角形的地位与作用 相似三角形是初中几何知识的重要部分，是几何学知识链中承上启下的一环。相似三角形的知识与直角三角形、圆有着密切的联系，与函数、方程等知识结合，会产生许多新颖的综合题。相似三角形的知识也是中考命题的热点,近几年由于课程标准的变化,中考对圆的要求下降,许多重要的知识不再作为中考的要求,所以更凸显了相似三角形的重要地位。

  3. 一、相似三角形中动手操作问题 （1）如图1，△ABC中，AB=AC=BC，P为AC上一点，过P点可作____条直线将△ABC分成两部分，使截得的三角形与△ABC相似；作出直线草图． 分析:根据相似三角形的判定，过点P分别作BC，AB的平行线即可得到与原三角形相似的三角形. 图1

  4. 一、相似三角形中动手操作问题 （1）如图1，△ABC中，AB=AC=BC，P为AC上一点，过P点可作____条直线将△ABC分成两部分，使截得的三角形与△ABC相似；作出直线草图． 2 解：（1）如图，过点P画PD∥BC交AB于D，PE∥AB交BC于E，则△APD、△CPE与△ABC相似．故过P点可作2条直线将△ABC分成两部分，使截得的三角形与△ABC相似； 图1

  5. 一、相似三角形中动手操作问题 （2）如图2，△ABC中，∠C=90°，P为斜边AB上的一点，过P点可作____条直线将△ABC分成两部分，使截得的三角形与△ABC相似；作出直线草图． 分析:根据相似三角形的判定，过点P分别作BC，AC的平行线即可得到与原三角形相似的三角形，过点P点作AB边上的垂线，又可得出一条符合要求的直线. 图2

  6. 一、相似三角形中动手操作问题 （2）如图2，△ABC中，∠C=90°，P为斜边AB上的一点，过P点可作____条直线将△ABC分成两部分，使截得的三角形与△ABC相似；作出直线草图． 3 解：如图，过点P作PD∥BC交AC于D，PE∥AC交BC于E，则△APD、△BPE与△ABC相似； 过点P作PF⊥AB于P，交AC于F， 则△APF与△ABC相似； 图2 故过P点可作3条直线将△ABC分成两 部分，使截得的三角形与△ABC相似；

  7. 一、相似三角形中动手操作问题 （3）如图3，△ABC中AB＞AC，P点为AC上一点，过P点可作____条直线将△ABC分成两部分，使截得的三角形与△ABC相似，作出直线草图． 分析:根据相似三角形的判定，过点P分别BC，AB的平行线即可得到与原三角形相似的三角形，作以点P为顶点与∠B相等的角也可以得到与原三角形相似的三角形．

  8. 一、相似三角形中动手操作问题 （3）如图3，△ABC中AB＞AC，P点为AC上一点，过P点可作____条直线将△ABC分成两部分，使截得的三角形与△ABC相似，作出直线草图． 4 解：如图，过点P作PD∥BC交AB于 D，PE∥AB交BC于E，则△APD、 △CPE与△ABC相似； 1 ②过点P作∠1=∠B，∠2=∠B， 则△APF、△CPG与△ABC相似， 2 故过点P可以作4条直线，使截得的三角形与原三角形相似．

  9. 一、相似三角形中动手操作问题 适时小结：本题涉及的知识点有相似三角形的预备定理、两组角对应相等的两个三角形相似。强调两个基本图形及培养学生认真观察，寻找图形中的隐含信息的意识。能根据题意画出图形是解此类问题的关键.

  10. 二、相似三角形与一次函数结合 例题2 如图所示，直线与轴相交于点 A（4，0）,与y轴相交于点B，将△AOB沿着y轴折叠，使点A落在x轴上，点A的对应点为点C. ⑴求点C的坐标； 分析:点A与点C关于y轴对称,由此可 确定点C的坐标； （4，0） （1）解：⑴∵A（4，0）， 且点C与点A关于y轴对称， ∴C（－4，0）.

  11. 二、相似三角形与一次函数结合 ⑵设点P为线段CA上的一个动点，点P与点A、C不重合， 连结PB，以点P为端点作射线PM交AB于点M，使 ∠BPM=∠BAC ①求证：△PBC∽△MPA； 分析:由(1)可得BC=BA,则∠1=∠MAP,再根据三角形的外角的性质即可证得∠2=∠3,从而证得两个三角形相似. ⑵ ①证明：∵∠BPM=∠BAC， 且∠3+∠BPM=∠2+∠BAC， ∴∠2=∠3. 又将△AOB沿着y轴折叠,点 A的对应点为点C. 2 3 1 ∴∠1=∠MAP. ∴△PBC∽△MPA.

  12. （2）设点P为线段CA上的一个动点，点P与点A、C不重 （2）设点P为线段CA上的一个动点，点P与点A、C不重 合，联结PB，以点P为端点作射线PM交AB于点M， 使∠BPM=∠BAC ② 是否存在点P使△PBM为直角三角形？若存在， 请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 别忘了需要分类讨论 分析:当∠PBM=90°时，则有 △BPO∽△ABO，根据相似三角形性 质，即可求得PO的长，求得P的坐标； 当∠4=90°时，则∠2=90°,BP⊥AC，则此时点P与点O重合．则P的坐标可以求得． 4 2

  13. ② 是否存在点P使△PBM为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. ②存在. ∵直线与x轴相交于点A(4,0), 求得 ∴B（0，3）. 当∠PBM=90°时， （0，3） 有△BPO∽△ABO （4，0）

  14. 4 2 当∠4=90°时，则∠2=90°. ∴∠PAM+∠5=90°. ∵∠BPM=∠BAC， ∴∠BPM+∠5=90°. ∴BP⊥AC. ∵过点B只有一条直线与AC垂直， ∴此时点P与点O重合， 、 。 即：符合条件的点 ∴使△PBM为直角三角形的点P有 两个 .

  15. 二、相似三角形与一次函数结合 适时小结：本题是相似三角形与一次函数的综合应用。要利用待定系数法求一次函数解析式、图形的对称、分类讨论等思想方法。解答相似三角形的判定与性质和一次函数综合应用问题，一般要借助数形结合得出三角形相似是解决问题的关键。

  16. 三、相似三角形与四边形结合 例题3如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为 , 矩形BCOG的顶点B、C坐标为，C（0，3）,联 结AB．动点D以每秒1个单位的速度从点C出发沿CO向终 点O运动，同时动点E以每秒2个单位的速度从点A出发沿 AB向终点B运动，过点D作DF∥AB，交BC于点F，联结AD、DE、EF，设运动时间为t秒． （1）用t的代数式表示线段BE、DF的长． 分析:(1)先根据四边形BCOG是矩形， , ,求出AG、 BG及AB的长；由∠1=∠2=30°,求 出DF的长,由动点E以每秒2个单位 的速度从点A出发沿AB向点B运动即 可求出BE的长； （0，3） 1 2

  17. （0，3） 1 2 三、相似三角形与四边形结合 （1）解：∵四边形BCOG是矩形， BG=3， ∴∠5=30°， ∵BC∥OG，∴∠2=∠5=30°, 5 ∵DF∥AB，∴∠1=∠2=30°, ∵△CDF是直角三角形， ∴DF=2CD=2t， ∵动点E以每秒2个单位的速度 从点A出发沿AB向点B运动， ∴AE=2t，∴BE=6﹣2t；

  18. （2）求证四边形AEFD为平行四边形，并探索在整个运动过程中，是否存在t使四边形AEFD为菱形？若存在，请求出t的值，若不存在请说明理由．（2）求证四边形AEFD为平行四边形，并探索在整个运动过程中，是否存在t使四边形AEFD为菱形？若存在，请求出t的值，若不存在请说明理由． （0，3） 1 2 5 分析:先由DF∥AB，DF=AE=2t， 可得出四边形AEFD是平行四边 形，若平行四边形AEFD是菱形， 则DF=AD，在Rt△AOD中，利用 勾股定理可得， 进而可得出t的值；

  19. （2）求证四边形AEFD为平行四边形，并探索在整个运动过程中，是否存在t使四边形AEFD为菱形？若存在，请求出t的值，若不存在请说明理由．（2）求证四边形AEFD为平行四边形，并探索在整个运动过程中，是否存在t使四边形AEFD为菱形？若存在，请求出t的值，若不存在请说明理由． （0，3） 1 2 5 （2）存在. 证明：∵DF∥AB，DF=AE=2t， ∴四边形AEFD是平行四边形， 若平行四边形AEFD是菱形， 则DF=AD， 在Rt△AOD中， 解得 (负值舍去)

  20. 6 7 （0，3） 1 2 5 （3）探索当t为何值时，△BEF与以D，E，F为顶点的三角形相似？ 8 分析:由DF∥AB，可得出∠6=∠7 ①当∠8=∠9时，此时DE∥BC， 即四边形DEBF是平行四边形， DF=BE，由此可得出t的值； ②当∠8=∠10时，由相似三角形 的性质可得 ,即， 由四边形AEFD是平行四边形， 即EF=AD，在△AOD中利用勾股 定理即可求出t的值. 9 10

  21. 6 解得 7 （0，3） 1 2 5 （3）解：∵DF∥AB，∴∠6=∠7． ①当∠8=∠9时，则△BEF∽△DFE， 此时DE∥BC，即四边形DEBF 是平行四边形， 8 9 ∴DF=BE而DF=2t，BE=6﹣2t， 10 ∴，解得 ②当∠8=∠10时，则△BEF∽△EFD 即 ∵四边形AEFD是平行四边形，即EF=AD， 综上所述， .

  22. 三、相似三角形与四边形结合 适时小结：本题相似形与四边形结合，涉及到相似三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、直角三角形的性质及矩形的性质，在解答第三小题时要注意分类讨论，不要漏解．

  23. 四、相似三角形与圆结合 例题4已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，过点A作直线MN⊥AC，点P是直线MN上的一个动点（与点A不重合），联结 CP交AB于点D，设AP=x，AD=y． （1）如图1，若点P在射线AM上，求y与x的函数解析式； 8 6 y x 图1 图2 分析:（1）首先证明AM∥BC，得出△APD∽△BCD， 故 ,然后根据题意代入相关数值,即得y关于 x的函数解析式．

  24. 四、相似三角形与圆结合 四、相似三角形与圆结合 例题4已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，过点A作直线MN⊥AC，点P是直线MN上的一个动点（与点A不重合），联结 CP交AB于点D，设AP=x，AD=y． （1）如图1，若点P在射线AM上，求y与x的函数解析式； 解：（1）∵AM⊥AC，∴∠CAM=90, 又∵∠ACB=90°,∴可证AM∥BC， 再证△APD∽△BCD， 在Rt△ABC中，求出AB=10 又∵AP=x，AD=y， ∴BD=AB﹣AD=10﹣y，

  25. 四、相似三角形与圆结合 例题4已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，过点A作直线MN⊥AC，点P是直线MN上的一个动点（与点A不重合），联结 CP交AB于点D，设AP=x，AD=y． （2）射线AM上是否存在一点P,使以点D、A、P组成的 三角形与△ABC相似,若存在,求AP的长；若不存在， 说明理由； 分析:由AM∥BC，可知 ∠B=∠BAP，再由ACB=90°， ∠APD≠90°，可得出 △ABC∽△PAD，把第一问的 结果代入得到一个一元二次 方程，解此方程看结果是否 符合题意．

  26. 四、相似三角形与圆结合 例题4已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，过点A作直线MN⊥AC，点P是直线MN上的一个动点（与点A不重合），联结 CP交AB于点D，设AP=x，AD=y． （2）射线AM上是否存在一点P,使以点D、A、P组成的 三角形与△ABC相似,若存在,求AP的长；若不存在， 说明理由； （2）假设射线AM上存在一点P，使以点 D、A、P组成的三角形与△ABC相似， ∵AM∥BC，∴∠B=∠BAP， ∵∠ACB=90°，APD≠90°， ∴△ABC∽△PAD， 解得：x=4.5， ∴当AP的长为4.5时，△ABC∽△PAD；

  27. 四、相似三角形与圆结合 例题4 已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，过点A作直线MN⊥AC，点P是直线MN上的一个动点（与点A不重合），联结CP交AB于点D，设AP=x，AD=y． （3）如图2，过点B作BE⊥MN， 垂足为E，以C为圆心、AC为半 径的⊙C与以P为圆心PE为半径 的⊙P相切，求⊙P的半径． 分析:要分情况讨论：当点E在线段AE上，⊙C与⊙P外切时；当点P射线AE上，⊙C与⊙P外切时；当点E在射线EA上，⊙C与⊙E内切时；根据解直角三角形分别求解，不符合题意的解舍去．

  28. （3）如图2，过点B作BE⊥MN，垂足为E，以C为圆心、AC为半径的⊙C与以P为圆心PE为半径的⊙P相切，求⊙P的半径．（3）如图2，过点B作BE⊥MN，垂足为E，以C为圆心、AC为半径的⊙C与以P为圆心PE为半径的⊙P相切，求⊙P的半径． （3）∵⊙C与⊙P相切，AP=x ①当点P在线段AE上,⊙C与⊙P外切时， 在Rt△PAC中 解得： ∴⊙P的半径为

  29. ②点P在射线EA上，当⊙C与⊙P内切时， 在Rt△PAC中 解得： ∴⊙P的半径为16.

  30. ③点P在射线AE上，当⊙C与⊙P外切时， 解得: 舍去 ∴当⊙C与⊙P相切时， ⊙E的半径为16或

  31. 四、相似三角形与圆结合 适时小结：本题涉及相似三角形的判定与性质、勾股定理，平行线判定、方程、圆圆相切等知识．在解答时除掌握相似三角形的一些基本图形外,还需要用分类讨论和数形结合方法解题，尤其是第（3）题时不要漏解．

  32. 五、相似三角形的综合运用 例题5在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,BC＝30,AB＝50. 点P是AB边上任意一点,直线PE⊥AB,与边AC或BC相 交于E.点M在线段AP上,点N在线段BP上，EM=EN， (1) 如图1，当点E与点C重合时，求CM的长； 分析:先根据已知条件得出AC的值，再根据CP⊥AB求出CP，然后通过题目给出的三角比值求出CM的值．

  33. 五、相似三角形的综合运用 例题5在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,BC＝30,AB＝50. 点P是AB边上任意一点,直线PE⊥AB,与边AC或BC相 交于E.点M在线段AP上,点N在线段BP上，EM=EN， (1) 如图1，当点E与点C重合时，求CM的长； 解（1）∵∠ACB=90°，AC=40， ∵CP⊥AB， 在Rt△CPM中，

  34. 五、相似三角形的综合运用 y x 例题5在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,BC＝30,AB＝50. 点P是AB边上任意一点,直线PE⊥AB,与边AC或BC相 交于E.点M在线段AP上,点N在线段BP上，EM=EN， (2)如图2,当点E在边AC上时,点E不与点A、C重合,设 AP＝x, BN＝y,求y关于x的函数关系式,并写出函数的 定义域； 分析:本题先证△AEP∽△ABC，得 到 ，求出 ，又 ，从而求出EM和PM的 值,直接通过线段间的关系x+PN+y=50, 即可得出y关于x的函数关系式．

  35. 五、相似三角形的综合运用 y x (2)如图2,当点E在边AC上时,点E不与点A、C重合,设 AP＝x, BN＝y,求y关于x的函数关系式,并写出函数的 定义域； 在Rt△MPE中，

  36. 五、相似三角形的综合运用 例题5 在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,BC＝30,AB＝50. 点P是AB边上任意一点,直线PE⊥AB,与边AC或BC相 交于E.点M在线段AP上,点N在线段BP上，EM=EN， （3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别 与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长． 分析:由于给出对应顶点，那么 可以直接运用相似和三角比求出对应边长再列比例式求解。

  37. 五、相似三角形的综合运用 （3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别 与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长． （3）①当点E在线段AC上时△AME∽△ENB 解得x1=22，x2=0（舍去）． 即AP=22． x

  38. 五、相似三角形的综合运用 （3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别 与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长． ②当点E在线段BC上时， 由△AME∽△ENB，∴ÐAEM=ÐB. ÐAEC=ÐEAB+ÐB=ÐEAB+ÐAEM=ÐEMP， ∴Rt△ACE∽Rt△EPM， x ∴AP的长为22或42．

  39. 三、因动点产生的相似三角形问题 五、相似三角形的综合运用 适时小结：本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形及锐角三角比等知识；基本图形是三角形加上动点问题.考查数学思想是分类讨论、函数思想、方程思想等；在解题时要注意知识的综合应用是解本题的关键．

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