Programação Linear

Programação Linear ANÁLISE DA COMPANHIA MAXIMÓVEIS Prof. Antonio Carlos Coelho

Informações para a Tomada de Decisões • A Companhia MAXIMÓVEIS fabrica 2 tipos de produtos: • Cadeiras e Mesas • Margem de Contribuição Unitária: • Cadeira = $ 8,00 • Mesa = $ 6,00 • As cadeiras e mesas são processadas em 2 departamentos: • Montagem • Acabamento

Horas por unidade Horas totais disponíveis 60 48 Departamento Montagem Acabamento Cadeiras 4 2 Mesas 2 4 Informações para a Tomada de Decisões • Cada unidade dos produtos consome as seguintes horas na fabricação:

Problema • Qual o mix de produção entre mesas e cadeiras que maximiza o lucro da firma? • Quanto produzir de cadeiras (x1) e mesas (x2) para maximizar a função objetivo? • Quais restrições são críticas para atingir o lucro estimado? • Que alterações de restrição serão mais eficientes para otimizar o lucro esperado?

Formulação Matemática • maximizar MCT = 8 x1 + 6 x2 Sujeito a: Restrição deMontagem: 4 x1 + 2 x2 60 Restrição deAcabamento: 2 x1 + 4 x2  48 Restrições Não Negativas: x1  0 x2 0

Encontrar valores para C e M de forma a maximizar MCT = 8 C + 6 M , respeitando as restrições: 4 C + 2 M  60 2 C + 4 M  48 C  0 M  0 Formulação Matemática .

MESA (x2) 30 MONTAGEM 4x1 + 2x2 60 15 CADEIRA (x1) Solução Gráfica 1 – Colocar as restrições no gráfico Restrição 1: MONTAGEM 4x1 + 2x2 60 x1 = 0  x2  30 (0,30) x2 = 0  x1  15 (15,0)

Solução Gráfica MESA (x2) Restrição 2: ACABAMENTO 2x1 + 4x2 48 x1 = 0  x2  12 (0,12) x1 = 0  x2  24 (24,0) ACABAMENTO 12 2x1 + 4x2 48 24 CADEIRA (x1)

Solução Gráfica SOLUÇÕES VIÁVEIS 2 – Determinar a área de soluções viáveis MESA 30 MONTAGEM 12 ACABAMENTO Cada ponto dessa região, definido pelas coordenadas (x1, x2) é uma solução viável CADEIRA 24 15

Função Objetivo 8x1 + 6x2 = 48 12 8 6 Solução Gráfica 3 –Encontrar a solução a partir das curvas de nível (retas paralelas definidas pela função-objetivo) MESA • Para saber os valores de x1 e x2 para um dado nível de MCT, por exemplo de $ 48,00: • Tem-se que: 8x1+ 6x2 = 48 • Para x1 = 0; x2 = 8 (0, 8) • Para x2 = 0, x1 = 6 (6, 0) CADEIRA 15

MESA Função Objetivo 8x1 + 6x2 = 48 12 8 Função Objetivo 8x1 + 6x2 = 72 CADEIRA 6 9 15 Solução Gráfica • Supondo uma maiorMCT, • por exemplo de $ 72,00: • Tem-se que: 8x1+ 6x2 = 72 • Para x1 = 0; x2 = 12 (0,12) • Para x2 = 0, x1 = 9 (9, 0)

Solução ótima Solução Gráfica Repete o processo até encontrar a linha de máxima MCT que esteja dentro da área de soluções possíveis Este ponto de intercessão representa a solução possível ótima MESA Função Objetivo 8x1 + 6x2 = 48 12 8 Função Objetivo 8x1 + 6x2 = 72 CADEIRA 6 9 15

Solução ótima SoluçãoGráfica MESA • Neste exemplo, a solução ótima está na interseção entre: • a função-objetivo e qualquer uma das restrições, ou • as 2 restrições Montagem 12 Acabamento 15 CADEIRA

Calculando o Ponto ótimo • Pelo gráfico, na intercessão entre as 2 restrições Montagem 4C + 2M = 60 (1) Acabamento 2C + 4M = 48 (2) Calculando C pela 2ª equação: 2C + 4M = 48  C = 24 – 2M (3) Substituindo em 1: 4(24 – 2M) + 2M = 60 96 –8M + 2M = 60  - 6M= - 36  M = 6 Substituindo em 3: C = 24- 2(6) C = 12 Solução ótima: 6 mesas e 12 cadeiras

Solução ótima Solução Gráfica MESA 4 – Encontrar a solução pela comparação dos pontos extremos Através de todos os pontos extremos da área de soluções viáveis e escolhemos aquele com maior MCT (0,12) MCT = 8x1 + 6x2 (0,0) MCT = 0 (0,12) MCT = 72 (15,0) MCT = 120 (12,6) MCT = 132 (12,6) (0,0) (15,0) CADEIRA

Solução por Sistema de Equações Lineares Solução Genérica através de sistema de equações MESA Sistema 2: x1= 0 X2= 30 30 Sistema 6: x1= 12 X2= 6 Sistema 3: x1= 0 X2= 12 12 Sistema 5: x1= 24 X2= 0 CADEIRA Sistema 1: x1= 0 X2= 0 24 15 Sistema 4: x1= 15 X2= 0

Solução Matricial • Modelo equacionado por Matriz

Solução Matricial • Mesma Solução do slide anterior

Solução por Sistema de Equações Lineares • Introdução de variáveis de folga Objetivo: transformar as desigualdades das restrições em igualdades UTILIZAÇÃO DE RECURSO  DISPONIBILIDADE UTILIZAÇÃO + FOLGA = DISPONIBILIDADE Isso significa que: • Utilização < disponibilidade  folga > 0 • Utilização = disponibilidade  folga = 0 X3 = folga de Montagem X4 = folga de Acabamento

Solução por Sistema de Equações Lineares Introdução das variáveis de folga Sistema transformado: Maximizar MCT = 8x1 + 6x2 + 0x3 + 0x4 Sujeito a: 4x1 + 2x2 + 1x3 = 60 2x1 + 4x2 + + 1x4 = 48 x1, x2, x3 e x4  0

Solução por Sistema de Equações Lineares • Sistema com n variáveis e m equações (n>m) é indeterminado, apresentando infinitas soluções. • No caso em estudo: • n = 4 • m = 2 • Estratégia de Solução: forma-se sistema de equações com m variáveis válidas e (n-m) variáveis de valor zero e resolve-se o modelo C vezes, de forma iterativa.

4! C 2 = = 4 2! x 2! n! 4 x 3 x 2 C x = = 6 sistemas de equações lineares n m! (n–m)! 2 x 2 x Solução por Sistema de Equações Lineares Tem-se que resolver uma combinação de n elementos, tomados m a m: Resolvido cada sistema, escolhe-se, dentre as soluções viáveis, aquela que apresenta o máximo (mínimo) valor • As variáveis consideradas em cada sistema são chamadas variáveis básicas • As variáveis com valor zero atribuído são denominadas variáveis não-básicas

Método Simplex Solução por Sistema de Equações Lineares Desenvolvimento do Método Simplex

Apresentação do Método Simplex • Resolver um problema de Programação Linear significa basicamente resolver sistemas de equações lineares • Esse procedimento, apesar de correto, é bastante trabalhoso, podendo ficar impraticável • Para resolver um problema real de Programação Linear precisamos de uma sistemática que nos diga: • qual o sistema de equações que deve ser resolvido; • que o próximo sistema a ser resolvido fornecerá uma solução melhor que os anteriores; • Como identificar a solução ótima, uma vez que a tenhamos encontrado • Essa sistemática é dada pelo Método Simplex

Procedimentos do Método Simplex Passo 1: Passo 2: Passo 3: Passo 4: Introduzir as variáveis de folga, uma para cada desigualdade Montar um quadro para os cálculos, colocando os coeficientes de todas as variáveis com os respectivos sinais e, na última linha, incluir os coeficientes da função-objetivo transformada. Estabelecer uma solução básica inicial, usualmente atribuindo zero às variáveis originais e achando valores positivos para as variáveis de folga. Como próxima variável a entrar na base, escolher a variável não-básica que fornece, na última linha, a maior contribuição para o aumento da função objetivo (ou seja, tem o maior valor negativo). Se todas as variáveis que estão fora da base tiverem coeficientes nulos ou positivos nessa linha, a solução atual é ótima. Se alguma dessas variáveis tiver valor nulo, temos outra solução ótima, com o mesmo valor da função-objetivo.

Procedimentos do Método Simplex Passo 5: Passo 6: Passo 7: Para escolher a variável que deve deixar a base, deve-se realizar o seguinte procedimento: a) Dividir os elementos da última coluna pelos correspondentes elementos positivos da coluna da variável que vai entrar na base. Se não houver elemento nenhum positivo nessa coluna, o processo deve parar, já que a solução é ilimitada. b)O menor coeficiente indica a equação cuja respectiva variável básica deverá ser anulada, tornando-se variável não-básica. Usando operações com as linhas da matriz, transformar a coluna da nova variável básica num vetor identidade, onde o elemento 1 aparece na linha correspondente à variável que está sendo anulada. Retornar ao PASSO 4 para iniciar nova iteração.

Desenvolvimento do Método Simplex Passo1: Introduzir as variáveis de folga Max MCT = 8x1 + 6x2 + 0x3 + 0x4 Sujeito a: 4x1 + 2x2 + 1x3 = 60 2x1 + 4x2 + + 1x4 = 48 x1, x2, x3 e x4  0 Transformar a função-objetivo: de L = 8x1 + 6x2 para L - 8x1 - 6x2 = 0

Variáveis básicas x3 x4 Função-objetivo transformada L Desenvolvimento do Método Simplex Passo 2: Montar o quadro Quadro 1: Fazendo as variáveis originais iguais a zero Base x1 x2 x3 x4 b 4 2 1 0 60 2 4 0 1 48 -8 -6 0 0 0 a) Solução Inicial: Fazendo as variáveis originais do modelo iguais a zero e achando o valor das demais x1= x2 = 0 (variáveis não-básicas) x3 = 60; x4= 48 e L= 0

Desenvolvimento do Método Simplex b) Segunda Solução: O problema é descobrir: • Das 2 variáveis não-básicas (nulas) na primeira solução, qual deverá se tornar positiva? • Das 2 variáveis básicas (positivas) na primeira solução, qual deverá ser anulada? • Qual deverá se tornar positiva? Produzir primeiro o produto que mais contribui para o lucro, como indicado na última linha (maior valor negativo) x1= 8 e x2 = 6

Base x1 x2 x3 x4 b 4 2 1 0 60 2 4 0 1 48 -8 -6 0 0 0 x3 x4 L Desenvolvimento do Método Simplex • Qual variável deverá ser anulada? Se formos produzir apenas o produto que mais contribui para o lucro (x1), qual a quantidade máxima possível? 1ª restrição: 4x1 + 0x2 = 60  Max x1 = 15 2ª restrição: 2x1 + 0x2 = 48  Max x1 = 24 Essa análise pode ser feita diretamente do Quadro 1, dividindo-se os elementos da coluna b pelos correspondentes elementos da coluna x1 O menor quociente indica, pela linha em que ocorreu, qual variável básica deve ser anulada. 1ª linha: 60 / 4 = 15 2ª linha: 48 / 2 = 24 Variável a ser anulada: x3 x2 = 0 X3 = 0 x1 = ? X4= ?

Quadro 1: Quadro 1A: Base x1 x2 x3 x4 b 4 2 1 0 60 2 4 0 1 48 -8 -6 0 0 0 Base x1 x4 L x1 x2 x3 x4b 1 1/2 1/4 0 15 2 4 0 1 48 -8 -6 0 0 0 x3 x4 L Desenvolvimento do Método Simplex Solução: fazendo operações com linhas, a partir do quadro 1, transformar a coluna da nova variável (x1) num vetor identidade, com o elemento 1 na linha correspondente à variável a ser anulada 1ª Operação: Dividir a 1ª linha por 4

Quadro 1B: Base x1 x4 L x1 x2 x3 x4 b 1 1/2 1/4 0 15 0 3 -1/2 1 18 -8 -6 0 0 0 Desenvolvimento do Método Simplex 2ª Operação: Multiplicar a 1ª linha por –2 e somar à 2ª linha Base x1 x4 L x1 x2 x3 x4 b 1 1/2 1/4 0 15 2 4 0 1 48 -8 -6 0 0 0 Quadro 1A:

Quadro 1B: Quadro 2: Base x1 x4 L Base x1 x4 L x1 x2 x3 x4 b 1 1/2 1/4 0 15 0 3 -1/2 1 18 -8 -6 0 0 0 x1 x2 x3 x4 b 1 1/2 1/4 0 15 0 3 -1/2 1 18 0 -2 2 8 120 Desenvolvimento do Método Simplex 3ª Operação: Multiplicar a 1ª linha por 8 e somar à 3ª linha 2ª Solução: X1 = 15; x4 = 18; L = 120

Quadro 2A: Base x1 x2 L x1 x2 x3 x4 b 1 1/2 1/4 0 15 0 1 -1/6 1/3 6 0 -2 2 8 120 Base x1x2 x3 x4 b 1 1/2 1 /4 0 15 0 3 -1/2 1 18 0 -2 2 8 120 x1 x4 L Desenvolvimento do Método Simplex Solução: fazendo operações com linhas, a partir do quadro 2, transformar a coluna da nova variável (x2) num vetor identidade, com o elemento 1 na linha correspondente à variável a ser anulada (x4) 4ª Operação: Dividir a 2ª linha por 3 Quadro 2:

Quadro 2B: Quadro 2A: Base x1 x2 L Base x1 x2 L x1 x2 x3 x4 b 1 0 1/3 –1/6 12 0 1 -1/6 1/3 6 0 -2 2 8 120 x1 x2 x3 x4 b 1 1/2 1/4 0 15 0 1 -1/6 1/3 6 0 -2 2 8 120 Desenvolvimento do Método Simplex 5ª Operação: Multiplicar a 2ª linha por – ½ e somar à 1ª linha

Base x1x2 x3 x4 b 1 1/2 1 /4 0 15 0 3 -1/2 1 18 0 -2 2 8 120 x1 x4 L Desenvolvimento do Método Simplex c) Terceira solução: • Qual deverá se tornar positiva? Produzir primeiro o produto que mais contribui para o lucro, como indicado na última linha (maior valor negativo) x2 • Qual variável deverá ser anulada? O menor quociente (b/ x2) indica, pela linha em que ocorreu, qual variável básica deve ser anulada. 1ª linha: 15 / 0,5 = 30 2ª linha: 18 / 3 = 6 Variável a ser anulada: x4 x3 = 0 X4 = 0 x1 = ? X2= ?

Quadro 3: Quadro 2B: Base x1 x2 L Base x1 x2 L x1 x2 x3 x4 b 1 0 1/3 –1/6 12 0 1 -1/6 1/3 6 0 0 5/3 26/3 132 x1 x2 x3 x4 b 1 0 1/3 –1/6 12 0 1 -1/6 1/3 6 0 -2 2 8 120 Desenvolvimento do Método Simplex 6ª Operação: Multiplicar a 2ª linha por 2 e somar à 3ª linha

Quadro 3: Base x1 x2 L x1 x2 x3 x4 b 1 0 1/3 –1/6 12 0 1 -1/6 1/3 6 0 0 5/3 26/3 132 Desenvolvimento do Método Simplex • A última linha mostra as contribuições líquidas para o lucro, caso as variáveis x3 e x4 venham a ter seus valores aumentados de 0 para 1. • Como essas contribuições têm sinais trocados em relação ao quadro original, concluímos que a solução encontrada: x1=12; x2= 6; x3= 0 e x4=0 é a solução ótima

Quadro 3: Base x1 x2 L x1 x2 x3 x4 b 1 0 1/3 –1/6 12 0 1 -1/6 1/3 6 0 0 5/3 26/3 132 Interpretação econômica dos Coeficientes do Método Simplex Análise de sensibilidade para x3 • Como x3 está fora da base, seu valor na solução ótima é zero • A coluna x3 indica as variações, com sinal contrário, que ocorreriam nas variáveis básicas e no lucro, se a variável x3 passasse de 0 para 1 • Idem para análise de sensibilidade de x4

Programação Linear