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第四节 分块矩阵

第一章 矩阵. 第四节 分块矩阵. 一、分块矩阵的概念 二、分块矩阵的运算 三、常用的分块形式及其应用. 一、矩阵分块的概念. 　 对于行数和列数较高的矩阵 A ，运算时常采用在 A 的行间作水平线，在列间作铅锤线，从而将大矩阵划分成小矩阵的方法，这种方法称为 矩阵分块法 ，每个小矩阵称为矩阵 A 的 子块 ，以子块为元素的矩阵称为 分块矩阵. 例. 即. 即. 是数，那么. 设. 二、分块矩阵的运算. 1. 数与分块矩阵相乘. A. B. ,. ,. 设矩阵. 与. 的行数相同. 列数相同. 采用. ,. 相同的分块法.

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第四节 分块矩阵

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  1. 第一章 矩阵 第四节 分块矩阵 一、分块矩阵的概念 二、分块矩阵的运算 三、常用的分块形式及其应用

  2. 一、矩阵分块的概念 　 对于行数和列数较高的矩阵A，运算时常采用在A的行间作水平线，在列间作铅锤线，从而将大矩阵划分成小矩阵的方法，这种方法称为矩阵分块法，每个小矩阵称为矩阵A的子块，以子块为元素的矩阵称为分块矩阵.

  3. 例 即

  4. 即

  5. 是数，那么 设 二、分块矩阵的运算 1. 数与分块矩阵相乘

  6. A B , , 设矩阵 与 的行数相同 列数相同 采用 , 相同的分块法 即 2. 分块矩阵的加法

  7. , , 且A的列的分 设 为 矩阵 为 矩阵 m×l A B l×n A , A , , A B , B , , B 其中 的列数分别等于 L L 1 2 1 2 i i it j j tj , 的行数 那末 3. 分块矩阵的乘法 法与B的行的分法相同，即

  8. 设 4. 分块矩阵的转置 则

  9. 例1 设 求 及

  10. 0 0 0 0 O B 22 解 则

  11. 又 于是

  12. 三、常用的分块形式及其应用 1. 将n阶矩阵A分成分块对角矩阵 设A为n阶矩阵，若A的分块矩阵在主对角线以外均为零子块，且主对角线上的子块Ai(i=1,∙∙∙,n)都是方阵(阶数可以不等)，即 则称A为分块对角矩阵.

  13. ( ) = 并有 A i 1 , 2 , , s , A , 若 每个子块 都可逆 则 可逆 L i 则 若

  14. 其中 为A的第i个行向量. 2. 将m×n矩阵A按行分块

  15. 其中 为A的第j个列向量. 3. 将m×n矩阵A按列分块 说明： • 将m×n矩阵A作为一个子块，即将A作为1×1的分 • 块矩阵. (2) 将m×n矩阵A的每个元素作为一个子块，即将A作为m×n的分块矩阵.

  16. 将 ，即 A 分块 é ù O A 1 = A , ê ú A O ë û 2 例1 设

  17. 例2. 设n阶方阵A按列分块的分块矩阵是 计算AAT，ATA. 解：

  18. 例3. 对于线性方程组 则 设A=[aij]m×n是其系数矩阵， 线性方程组可记为Ax=b .

  19. 则 将系数矩阵A按行分成m×1块，即

  20. 将系数矩阵A按列分成1×n块，即 则

  21. 例4. 设A的逆矩阵是B，即AB=BA=I . 将B和I按列 分成1×n的分块矩阵， 即 其中ei表示n阶单位矩阵的第i列， A的逆矩阵B的列向量bi是线性方程组Ax＝ei 的解向量.

  22. 例5. 证明：设A是m×n矩阵，则对任一n维列向量x， Ax=0的充要条件是 A＝0. 证明： 充分性显然成立. 将 取n维向量x=ei(ei是n阶单位矩阵的第i列) . 必要性： A按列分块，即设 则

  23. 即矩阵A的第i列为零 . 由i的任意性，可知A的每一列 都是零向量，即A＝O. 注 设A是m×n矩阵，ei是n阶单位矩阵的第i列，则 Aei是A的第i列 .

  24. A 依题意，为使 有意义，必需取矩阵 例6 设 又有对角矩阵 计算 与

  25. 小结 1. 分块矩阵的概念 2. 分块矩阵的运算 分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算类似 (1) 数乘 (2) 加法 (3) 乘法 (4) 转置

  26. 3. 常用的分块形式及其应用 (1) 分块对角阵

  27. 2. 将m×n矩阵A按行分块 3. 将m×n矩阵A按列分块

  28. 第一章 矩阵 第五节 初等变换与初等矩阵 一、概念的引入 二、矩阵的初等变换 三、初等矩阵 四、 初等变换与初等矩阵的应用

  29. 一、概念的引入 我们来分析用消元法解下列方程组的过程． 引例 求解线性方程组

  30. (2) 以不等于０的常数 乘上某个方程； 用消去法解线性方程组所作的变换不外三类： (1) 交换两个方程的次序； (3) 某个方程的k倍加到另一个方程上去． 　　这三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．我们称这三种变换是方程组的同解变换．

  31. 则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵(方程组的增广矩阵)的变换．则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵(方程组的增广矩阵)的变换． 　对线性方程组的求解变换过程，实际上只是 因此，若记 对方程组的系数和常数作变换 .

  32. (1) i , j , r 对调两行(对调 两行 记作 )； ij (2) l ¹ 乘以矩阵中某一行的所有元素 以数 0 l i , r ( ) l (第 行乘 记作 ) i (3) k 把某一行所有元素的 倍加到另一行 i j 行的 倍加到第 行上 k (第 r ( k ) . 记作 ) ij 二、矩阵的初等变换 定义1 下面三类变换称为矩阵的初等行变换: 对应的元素上去. 同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)．

  33. 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换．矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换． 初等变换都是可逆的，其逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同． 逆变换 逆变换 逆变换

  34. 就称 A B 如果矩阵 经有限次初等变换变成 矩阵 ， 矩阵 A B A ~ B 与 等价，记作 ． 等价关系的性质：

  35. 三、初等矩阵 定义2由单位矩阵I经过一次初等变换得到的方阵称为相应的初等矩阵.分别记第1,2,3类行(列)初等矩阵为Rij(Cij), Ri (λ)(Ci(λ)), Rij(k)(Cij(k)) .

  36. ¬ i 第 行 ¬ j 第 行 i 第 列 j 第 列

  37. 第i行 第 i 列 第i行 第j行 第j列 第i列

  38. 变换 的逆变换为 ，则 变换rij的逆变换是rij，则 变换rij(k)的逆变换为rij(-k)，则 初等矩阵 初等变换 初等逆变换 初等逆矩阵

  39. 定理1设 是一个 矩阵，对 施行一次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于在 的右边乘以相应的 阶初等矩阵.

  40. 设 求 例1 解：

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