实验八

实验八 凸轮设计插值与拟合

引例：万能拉拔机凸轮设计 设计一个圆柱形凸轮，底圆半径为R=300mm，上端面要根据从动杆位移变化的需要进行设计制造根据设计要求，将底圆周18等分，旋转一周。得到下面的图表，第i个分点对应柱高yi，要求计算出圆周任一点的柱高。

数据插值和拟合 • 插值：确定一个初等函数y=P(x)（一般是多项式或者是分段多项式函数）通过已知各数据点。 • 拟合：有函数关系式，其中含有未知参数或原始数据有误差时，并不要求确定的函数经过数据点，而是要求在某个判断标准下的误差最小

分段线性插值：将各数据点用折线连接起来 • 多项式插值：求一个多项式通过所有数据点，可以假设出多项式的系数，最后通过求解方程得到每个系数 • 样条插值：分段多项式的光滑连接 • 最小二乘拟合：求参数c，使得用含有c的函数f(x,c)对应的残差达到最小

数据拟合MATLAB命令 • 多项式插值和拟合 p=polyfit(x,y,k): 用k次多项式拟合向量数据(x,y)，返回多项式的降幂系数。当k>n-2时，该命令实现多项式插值 • 一元插值 yi=interp1(x,y,xi)：根据数据(x,y)给出在xi的分段线性插值结果yi yi=interp1(x,y,xi,’spline’)：使用三次样条插值 yi=interp1(x,y,xi,’cubic’)：使用分段三次插值

三次样条插值 yi=spline(x,y,xi): 等价于 yi=interp1(x,y,xi,’spline’) Pp=spline(x,y): 返回样条插值的分段多项式（pp形式）（注：要求x是单调上升的，且只能做内插） [breaks, coefs]=unmkpp(pp) 将pp形式展开，其中 breaks为结点,coefs为各段多项式系数。 yi=ppval(pp,xi), pp形式在xi的函数值

线性最小二乘拟合 线性最小二成拟合可直接用求解超定线性方程组的方法，而有些非线性函数也可化为线性问题求解。例如上述函数y=aexp(bx)两边取对数得z=lna+bx然后通过除法解超定方程组得到每个系数

实验例题 • 凸轮设计对于引例的凸轮设计问题，可以通过分段线性插值和样条插值的方法解决

人口预测 按照统计数据建立人口增长的数学模型。（1）Malthus模型：用指数函数最小二乘拟合（2）Logistic 模型: 用Logistic函数拟合

非线性最小二乘拟合 C=leastsq(‘fun’,c0) 使用迭代法搜索最有参数c。其中自变量为参数c的函数fun是误差向量y-f(c,x) (x,y为数据)； C=curvefit(‘fun2’,c0,x,y)使用更方便，从外部输入数据，这里fun2为函数f(c,x) 。

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