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微積分. Chapter5 反函數：指數、對數 及三角函數. 反函數：指數、對數及三角函數. 5.1 反函數 5.2 自然對數函數 5.3 自然指數函數 5.4 一般的指數和對數函數 5.5 指數成長及衰變 5.6 反三角函數 5.7 雙曲函數 5.8 不定形及羅比達法則. 5.1 反函數. 微積分 , 5.1, 頁 5-2. 微積分 , 5.1, 頁 5-2. ¹. ¹. f. x. ). f. (. x. ). x. x. (. 對任意. 1. 2. 1. 2.
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微積分 Chapter5 反函數：指數、對數及三角函數
反函數：指數、對數及三角函數 • 5.1 反函數 • 5.2 自然對數函數 • 5.3 自然指數函數 • 5.4 一般的指數和對數函數 • 5.5 指數成長及衰變 • 5.6 反三角函數 • 5.7 雙曲函數 • 5.8 不定形及羅比達法則
5.1 反函數 微積分, 5.1, 頁5-2
¹ ¹ f x ) f ( x ) x x ( 對任意 1 2 1 2 • 1.定義 如果 f 的定義域中所有的元素都有不同的函數值，那 f 就稱為一個一對一函數(one-to-one function)；換句話說 微積分, 5.1, 頁5-2
水平線測試 函數是一對一若且唯若沒有水平線和它的圖形相交於二點以上。 微積分, 5.1, 頁5-3
2. 定義 假設 f 的定義域為A、值域為B，而且一對一的。則它的反函數(inverse function)f -1的定義為B、值域為A。對B中任意元素y，f -1定義為 微積分, 5.1, 頁5-3
f-1 的定義域= f 的值域 f -1 的值域= f 的定義域 微積分, 5.1, 頁5-4
1 - 1 f ( x ) 不等於 f ( x ) • 注意 不要把 f -1中的-1看成是指數，換句話說 微積分, 5.1, 頁5-4
對A中的任意x都滿足f -1 (f (x))=x 對B中的任意x都滿足f (f -1(x))=x 微積分, 5.1, 頁5-4
如何尋找一對一函數的反函數 步驟1把函數寫為y =f (x) 步驟2如果可能的話，把x用y表示。 步驟3把x和y互換，好讓x表示自變數。 得到的方程式為y =f -1(x) 微積分, 5.1, 頁5-5
f--1的圖形是把 f 圖形對y = x鏡射得到的曲線。 微積分, 5.1, 頁5-6
4.定理 如果 f 是定義在區間上的連續函數，那反函數 f -1 也會是連續的 微積分, 5.1, 頁5-7
7. 定理 如果 f 是一對一的可微函數，另外假設 f--1 滿足f ’ (f -1 (a))≠0。那 f -1在a是可微的，而且 微積分, 5.1, 頁5-7
5.1 習題 微積分, 5.1, 頁5-9
5.1 習題 • 16-17.用f 的圖形畫出 f-1的圖形。 微積分, 5.1, 頁5-9
5.2 自然對數函數 • 1. 定義 自然對數函數(natural logarithmic function)定義為 x > 0 微積分, 5.2, 頁5-10
2. 微積分, 5.2, 頁5-11
對數律 若x和y是正數而r是有理數，則 1. 2. 3. 微積分, 5.2, 頁5-11
4. (a) (b) 微積分, 5.2, 頁5-12
5. 定義 e是滿足ln e=1的數。 • 6. • 或 微積分, 5.2, 頁5-13
7. • 8. 微積分, 5.2, 頁5-15
9. 微積分, 5.2, 頁5-16
對數微分法的步驟 1.對y = f (x)的二邊取自然對數，接著用對數律化簡 2.對x隱微分 3.解出y’ 微積分, 5.2, 頁5-17
5.3 自然指數函數 微積分, 5.3, 頁5-18
1. 微積分, 5.3, 頁5-18
2. 和 微積分, 5.3, 頁5-18
3. 微積分, 5.3, 頁5-19
4. x > 0 微積分, 5.3, 頁5-19
5. 對任意x都滿足 ln (ex)=x 微積分, 5.3, 頁5-19
6. 自然指數函數的性質 指數函數f (x)=ex是一個遞增的連續函數。它的定義域為R，值域則是(0,∞)。也就是說，對任意x都有ex>0。極限 所以 x 軸是f (x)=ex的水平漸近線。 微積分, 5.3, 頁5-20
7. 指數律 若 x 和 y 是任意實數，而r是一個有理數，則 1. 2. 3. 微積分, 5.3, 頁5-20
8. 微積分, 5.3, 頁5-21
9. 微積分, 5.3, 頁5-21
