第二节偏导数

第二节偏导数

一、偏导数的定义及其计算法 定义设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义,当y固定在y0而x在x0处有增量△x时，相应地函数有增量如果极限存在，则称此极限为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数，记作

即同样，函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数为记作即

注 = =

[ ] [ ] 如果函数z=f(x,y)在区域D内每一点都有对x的偏导数，那么这个偏导数仍是x、y的函数，称为z=f(x,y)对x的偏导函数，记为同样，函数z=f(x,y)对y的偏导函数也仍是x、y的函数，记为：按定义，得 , = = 通常，偏导函数也简称为偏导数.

注偏导数的概念可推广到二元以上的函数。例如：三元函数

从偏导数的定义可以清楚地知道，求多元函数的偏导数，并不需要新的方法，求多元函数对哪个自变量的偏导数，就是将其他自变量看成常量，而将多元函数看成一元函数去求导，因此，一元函数的求导法则和求导公式，对多元函数的偏导数仍然适用.从偏导数的定义可以清楚地知道，求多元函数的偏导数，并不需要新的方法，求多元函数对哪个自变量的偏导数，就是将其他自变量看成常量，而将多元函数看成一元函数去求导，因此，一元函数的求导法则和求导公式，对多元函数的偏导数仍然适用. 常数常数 = =

例1 求的偏导数. 偏导数的符号和应看成一个整体，不能将它们看成与或的商. 注意：解： =

例2设，求证： 证：

例3 解 = = =

例4求的偏导数. 解：把y和z都看作常量，由于所给函数关于自变量是对称的，所以

例5 已知理想气体的状态方程pV=RT(R为常量)， 求证：证:

例6 求下列各函数在指定点的偏导数： 在点O(0,0)处； (1)f(x,y)=

在点O(0,0)处； (1) f(x,y)= 解根据偏导数的定义，有

在点O(0,0)处； f (x,y)=

另解： = = = = =

需要注意的是：“一元函数在其可导点上一定连续”这个结论，对于多元函数是不成立的.这是因为各偏导数存在只能保证当P(x,y)沿着平行坐标轴的方向趋近P0(x0,y0)时,函数值f(x,y)趋近于f(x0,y0)，但不能保证当P(x,y)以任意方式趋近P0(x0,y0)时，f(x,y)都趋近于f(x0 ,y0). 反例：例6 (1)

偏导数的几何意义 z 平面 y =y0 0 y x 复习一元函数导数 Tx 曲面z = f (x,y) L 固定 y=y0 得交线 L：由一元函数导数的几何意义：同理，  . .

. z L： 0 y 平面 x=x0 x  偏导数的几何意义 Tx Ty 曲面z = f (x,y) L 固定x = x0 由一元函数导数的几何意义：  .

二、高阶偏导数 一般说来，函数f(x,y)的偏导数还是x、y的二元函数.如果这两个函数对自变量x和y的偏导数也存在，则称这些偏导数为f(x,y)的二阶偏导数，记作或或

其中第二、三两个偏导数称为混合偏导数.同样可得三阶、四阶、…以及n阶偏导数.二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.其中第二、三两个偏导数称为混合偏导数.同样可得三阶、四阶、…以及n阶偏导数.二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.

例7 设z=x3+y3−3xy2, 求： 解： =

定理若函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数及 在区域D内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等，即：（不证）注：此定理表明：在混合偏导数连续的条件下，二阶混合偏导数的值与求偏导的次序无关。实际上，可以得到：在混合偏导数连续的条件下，高阶混合偏导数的值也与求偏导的次序无关。

例9 证明函数满足方程 其中证：所以由于函数u 关于自变量是对称的，

注例8，例9中的方程称为Laplace方程，它是数学物理方程中一种重要的方程。

作业 P69, 1,3,5,6,7,9(2)

复习一元函数导数 y 0 x 导数的几何意义 = tan 返回原页 

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