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Cryptography and Network Security

Cryptography and Network Security. Third Edition by William Stallings Lecture slides by Lawrie Brown. 第四章 – 有限體. 有天凌晨， Star 在屋內飛來飛去，似乎急著上課。於是我說：「敲八下」，她也真的做到了，先是 4 下 4 下敲，然後在享受她的堅果前很快地看了我一眼，再敲了八下，這次是 2 下， 2 下， 2 下， 2 下。

evan
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Presentation Transcript

  1. Cryptography and Network Security Third Edition by William Stallings Lecture slides by Lawrie Brown

  2. 第四章 – 有限體 有天凌晨，Star 在屋內飛來飛去，似乎急著上課。於是我說：「敲八下」，她也真的做到了，先是 4 下 4 下敲，然後在享受她的堅果前很快地看了我一眼，再敲了八下，這次是 2 下， 2 下，2 下，2 下。 令人吃驚的是 Star 輕易地學會數到 8，並自己發現每個數字可以被拆不同的部份。這毫無疑問地她能思考每一個數字。事實上，雖然她無法和人類一樣唸出每個數字，但她是在心算。且她幾乎是立即辨識出人們唸出的名字，且能夠記住這些名字的發音。Star 是隻獨特的野生鳥類，她可以用強烈的興趣和令人吃驚的聰明去追求數字科學。 — Living with Birds, Len Howard

  3. 介紹 • 介紹有限體 • 在密碼學中愈來愈重要 • AES, 橢圓曲線, IDEA, 公開鑰匙 • 關心的是「數」的運算 • 數的組成與各種不同的運算 • 從群、環、體一直到抽象代數

  4. 群 • 一個元素或「數」的集合 • 具備一運算；運算後的結果仍舊落在集合內（封閉性） • 必須符合： • 結合律: (a.b).c = a.(b.c) • 具有單位元素 e: e.a = a.e = a • 每個元素具有反元素 a-1: a.a-1 = e • 如果是可交換的話 a.b = b.a • 就形成交換群(abelian group)

  5. 循環群 • 將連續的運算定義成乘冪(exponentiation) • 範例: a-3 = a.a.a • 定義單位元素為: e=a0 • 如果每個元素都是某個固定元素的乘冪的話，就是一個循環群 • 換言之，b =ak對群中的某個a與所有的b都成立 • a稱為此群的生成元素 (generator)

  6. 環 • 具備兩種運算（加法與乘法）的一個「數」的集合，其中： • 對加法來說是交換群 • 乘法: • 具有封閉性 • 符合結合律 • 符合對加法的分配律: a(b+c) = ab + ac • 如果乘法運算是可交換的話，就形成一個交換環(commutative ring) • 如果乘法具備反元素，並且不具有除法的零元素，就形成整數域 (integral domain)

  7. 體 • 具備兩種運算（加法與乘法）的一個「數」的集合: • 對加法來說是交換群 • 對乘法來說是交換群 (不管 0) • 是一個環

  8. 同餘計算 • 將同餘運算(modulo operator)a mod n定義成a 除以 n的餘數 • 同餘(congruence)表示: a ≡ b mod n • a 與 b 除以 n的餘數相同 • 例如， 100 = 34 mod 11 • b 稱為 a mod n 的餘數(residue) • 因為所有的整數都可以寫成以下形式: a = qn + b • 通常 0 <= b <= n-1 -12 mod 7 ≡ -5 mod 7 ≡ 2 mod 7 ≡ 9 mod 7

  9. 取 7 的同餘的範例 ... -21 -20 -19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 ...

  10. 因數 • 如果存在一數 m，使得a=mb (a,b,m都是整數)，我們就說此非零整數b整除 (divides)a • 有就是說，b除 a沒有餘數 • 表示成 b|a • b就是 a 的因數 • 例如，1,2,3,4,6,8,12,24 都整除 24

  11. 同餘算數運算 • 像「時鐘」一樣的運算 • 使用有限的數值，並且從兩端返回 • 對加法與乘法作同餘運算，可以減少答案個數 • 可在任一點簡化, 也就是說 • a+b mod n = [a mod n + b mod n] mod n

  12. 同餘計算 • 可以對任意的整數群組進行同餘計算： Zn = {0, 1, … , n-1} • 形成加法的交換環 • 具有乘法單位元素 • 請注意以下幾點 • 若(a+b)≡(a+c) mod n 則b≡c mod n • 但是只有在 a 與 n 互質的情況下，(ab)≡(ac) mod n 則 b≡c mod n

  13. 取 8 的同餘的範例

  14. 最大公因數 (GCD) • 數論中的基本問題 • GCD (a,b) 表示可以同時整除 a 與 b 的最大整數 • 例如 GCD(60,24) = 12 • 通常我們不希望看到有公因數 (除了 1 之外) ；我們希望看到互質 • 例如 GCD(8,15) = 1 • 8 與 15 為互質

  15. Euclid 求 GCD 的演算法 • 找出 GCD(a,b) 的有效方法 • 根據以下定理： • GCD(a,b) = GCD(b, a mod b) • 計算 GCD(a,b) 的 Euclid 演算法: • A=a, B=b • while B>0 • R = A mod B • A = B, B = R • 傳回 A

  16. 範例：GCD(1970,1066) 1970 = 1 x 1066 + 904 gcd(1066, 904) 1066 = 1 x 904 + 162 gcd(904, 162) 904 = 5 x 162 + 94 gcd(162, 94) 162 = 1 x 94 + 68 gcd(94, 68) 94 = 1 x 68 + 26 gcd(68, 26) 68 = 2 x 26 + 16 gcd(26, 16) 26 = 1 x 16 + 10 gcd(16, 10) 16 = 1 x 10 + 6 gcd(10, 6) 10 = 1 x 6 + 4 gcd(6, 4) 6 = 1 x 4 + 2 gcd(4, 2) 4 = 2 x 2 + 0 gcd(2, 0)

  17. Galois Fields • 在密碼學中扮演關鍵角色的有限體 • 可以證明：有限體中的數值一定是 pn這種形式，其中 p 是質數 • 稱做 Galois fields • 表示成 GF(pn) • 常用的體為: • GF(p) • GF(2n)

  18. Galois Fields GF(p) • GF(p) 是一組整數 {0,1, … , p-1}，還有一組取 p 的同餘的運算 • 以上形成有限體 • 因為具有乘法反元素 • 因此，其計算是「完備的 (well-behaved)」。可以執行加法、減法、乘法與除法，其結果仍舊落在 GF(p)中

  19. 範例：GF(7)

  20. 計算反元素 • 可以利用 Euclid演算法: EXTENDED EUCLID(m, b) • (A1, A2, A3)=(1, 0, m); (B1, B2, B3)=(0, 1, b) 2. if B3 = 0 return A3 = gcd(m, b); 沒有反元素 3. if B3 = 1 return B3 = gcd(m, b); B2 = b–1 mod m 4. Q = A3 div B3 5. (T1, T2, T3)=(A1 – Q B1, A2 – Q B2, A3 – Q B3) 6. (A1, A2, A3)=(B1, B2, B3) 7. (B1, B2, B3)=(T1, T2, T3) 8. goto 2

  21. 550 在 GF(1759)中的反元素

  22. 多項式計算 • 可以藉由下式來計算多項式 • 具備多種變化 • 一般的多項式計算 • 係數取 p 的同餘的多項式計算 • 係數取 p 的同餘、並且多項式取 M(x)的同餘的多項式計算

  23. 一般的多項式計算 • 將對應的係數相加或相減 • 將每一項兩兩相乘 • 例如 • 設 f(x) = x3 + x2 + 2 及 g(x) = x2 – x + 1 f(x) + g(x) = x3 + 2x2 – x + 3 f(x) – g(x) = x3 + x + 1 f(x) x g(x) = x5 + 3x2 – 2x + 2

  24. 係數取同餘的多項式計算 • 在計算每一個係數時，取某數的同餘 • 可以取任意質數的同餘 • 但是我們特別感興趣的是取 2 的同餘 • 也就是說，所有的係數都是 0 或 1 • 例如， 設 f(x) = x3 + x2及 g(x) = x2 + x + 1 f(x) + g(x) = x3 + x + 1 f(x) x g(x) = x5 + x2

  25. 取多項式的同餘的計算 • 可將任意多項式寫成以下形式: • f(x) = q(x) g(x) + r(x) • 可將r(x) 視為餘式 • r(x) = f(x) mod g(x) • 如果沒有餘式的話，我們就說g(x) 整除 f(x) • 如果g(x) 除了本身與 1 之外沒有其他因式的話，我們就稱其為不可化簡的多項式 (或是質式) • 取一個不可化簡的多項式的同餘，會形成一個體

  26. 最大公因式 GCD • 可以計算多項式的最大公因式 • 如果 c(x)是可以同時整除 a(x) 與b(x)的最高次數多項式的話，c(x) = GCD(a(x), b(x)) • 可以用 Euclid演算法來計算: • EUCLID[a(x), b(x)] • A(x) = a(x); B(x) = b(x) • if B(x) = 0 return A(x) = gcd[a(x), b(x)] 3. R(x) = A(x) mod B(x) 4. A(x) ¨ B(x) 5. B(x) ¨ R(x) 6. goto 2

  27. 多項式同餘計算 • 可以在 GF(2n)中計算 • 多項式係數取 2的同餘 • 多項式次數小於 n • 因此，必須取某個次數小於 n 且不可化簡的多項式的同餘 (對乘法而言) • 形成一個有限體 • 可以找到反元素 • 可以利用 Euclid’s Inverse algorithm 來求得

  28. 範例：GF(23)

  29. 計算上的考量 • 因為係數為 0 或 1, 因此任意的多項式都可以表示成位元序列 • 加法變成這些位元的 XOR 計算 • 乘法就是移位運算與 XOR運算的組合 • 對比：冗長的手寫乘法 • 化簡的過程是藉由不斷地將最高冪次換成取不可化簡的多項式的同餘結果 (同樣是移位運算與 XOR運算的組合)

  30. 總結 • 已瞭解 • 群、環、體的觀念 • 整數的同餘計算 • 求 GCD 的 Euclid演算法 • 有限體 GF(p) • 在一般情況下與在 GF(2n)中的多項式計算

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