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等价关系

关系. 函数. 等价关系. 集合 A 上的关系叫做等价的，如果它是自反的、对称的和传递的。 例子：设 R 是实数集上的关系，并且 aRb ，当且仅当 a-b 是整数。 R 是等价关系吗？. 等价类. 定义：设 R 是集合 A 上的等价关系。与 A 中的一个元素 a 有关系的所有元素的集合叫做 a 的等价类。 A 的关于 R 的等价类记做 [a] R 。 即 [a] R = {s | (a,s) ∈R}

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等价关系

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Presentation Transcript

  1. 关系

  2. 函数

  3. 等价关系 • 集合A上的关系叫做等价的，如果它是自反的、对称的和传递的。 • 例子：设R是实数集上的关系，并且aRb，当且仅当a-b是整数。R是等价关系吗？

  4. 等价类 • 定义：设R是集合A上的等价关系。与A中的一个元素a有关系的所有元素的集合叫做a的等价类。A的关于R的等价类记做[a]R。 • 即[a]R = {s | (a,s) ∈R} • 例子：设A是你们班的所有学生的集合。考虑A上的关系R，R由所有的对(x,y)构成，其中x和y从同一高中毕业。给定学生x，由与x在同一高中毕业的所有学生构成的集合是A的子集，称为关系R的一个等价类。

  5. 等价类与划分 • 设R是集合A上的等价关系，下面的定理证明A的两个元素的等价类或是相等或是不相交。 • 定理1 设R是集合A上的等价关系，下面的命题是等价的。 ( I ) aRb ( Ii ) [a] = [b] ( iii ) [a] ∩ [b] ≠Φ

  6. 等价类与划分 • 集合S的划分是一族S的不相交的非空子集，且S就是它们的并。 • 设R是集合S上的等价关系，则R的所有等价类的并集就是S，且由定理1知道，这些等价类或是相等的或是不相交的。 • 于是，等价类构成A的划分，因为它们将A分成不相交的子集。

  7. 序关系 • 􀂓偏序,线序,拟序,良序 • 􀂓哈斯图 • 􀂓特殊元素: 最?元, 极?元, ?界, ?确界 • 􀂓 (反)链

  8. 偏序 • 定义：集合S上的关系R，如果它是自反的，反对称的和传递的，就称为偏序。集合S与偏序R一起叫做偏序集，记做(S, R) • 例子： • 1、整数集合上的“大于或等于”关系 • 2、正整数集合上的整除关系 • 3、集合S的幂集合上的包含关系

  9. 偏序 • 符号： • 通常用≼表示偏序关系,读作“小于等于” • <x,y>∈R ⇔ xRy ⇔ x≼y • 使用这个记号是由于“小于或等于”关系是偏序关系的范例。 • “严格小于”: x≺y ⇔ x≼y ∧ x≠y

  10. 偏序 • 当a与b是偏序关系（S, ≤）的元素时，不一定有a ≤b或b ≤a。 • 定义2：偏序集（S, ≤）的元素a和b叫做可比的，如果a ≤b或b ≤a。当a和b是S的元素且没有a ≤b，也没有b ≤a，则称a和b是不可比的。

  11. 全序 • 用形容词“偏的（部分的）”描述偏序是由于一些元素对可能是不可比的。当集合中的每对元素都可比时，这个关系叫做全序。 • 定义 如果（S, ≤）是偏序集，且S的每对元素都是可比的，则S叫做全序集或线序集或链， ≤ 叫做全序或线序。 • 例子：(Z, ≤)

  12. 良序集well ordered set • 定义：对于偏序集(S, ≤)，如果≤是全序，并且S的每个非空子集都有一个最小元素，就称它为良序集。 • 例子：(Z, ≤)不是良序 • 例子：正整数集上的小于等于关系

  13. 字典顺序Lexicographic Order • 从一个集合上的偏序构造一个集合上的串的排序。

  14. 哈斯图 • 表示有穷偏序集的有向图，移走所有顶点上的环，移走由于传递性而必须出现的边；最后，排列每条边使得它的起始点在终点的下面，移走所有有向边上的箭头，因为所有的边向上指向它们的终点。最后得到的图称为哈斯图。

  15. 例. 画出下列偏序关系的哈斯图. • (1) <A,|>, A={1,2,3,4,5,6,9,10,15} • (2) <A,⊆>, A={a,b,c}, A⊆P(A), • A={∅,{a},{b},{c},{a,b},{b,c},{a,c}}

  16. 覆盖(cover): y覆盖x ⇔ x≺y ∧ ¬∃z( z∈A ∧ x≺z≺y ) • 哈斯图: 当且仅当y覆盖x时,在x与y之间画无向边, 并且x画在y下方

  17. 偏序关系中的特殊元素 • 􀂓极大元素, 极小元素 • 􀂓最大元素, 最小元素 • 上界, 下界 • 􀂓最小上界(上确界), 最大下界(下确界)

  18. 极大元素和极小元素 • 极大元素：偏序集的一个元素，它不小于这个偏序集的任何其他元素 • 极小元素：偏序集的一个元素，它不大于这个偏序集的任何其他元素

  19. 最大元素和最小元素 • 最大元素：偏序集的一个元素，它大于这个偏序集的所有其他元素 • 最小元素：偏序集的一个元素，它小于这个偏序集的所有其他元素

  20. 上界和下界 􀂓设<S,≼>为偏序集, A⊆S, u,l∈A • 上界(upper bound): u是A的上界 ⇔ ∀x( x∈A → x≼u ) • 􀂓下界(lower bound): l是A的下界 ⇔ ∀x( x∈A → l≼x )

  21. 例：<S,|>, S={1,2,3,4,5,6,9,10,15} • A1={1,2,3}, A2={3,5,15}, A3=S. • A1的上界是{6}, A1的下界是{1} • A2的上界是{15}, A2的下界是{1} • A3的上界是{}, A3的下界是{1}

  22. 最小上界和最大下界 • 集合的最小上界：集合的一个上界，它小于所有其他的上界 • 集合的最大下界：集合的一个下界，它大于所有其他的下界

  23. 链(chain), 反链(antichain) • 􀂓设<A,≼>为偏序集, B⊆A, • 􀂓链(chain): B是A中的链⇔ • ∀x∀y( x∈B∧y∈B → x与y可比) • |B|称为链的长度 • 􀂓反链(antichain): B是A中的反链⇔ • ∀x∀y( x∈B∧y∈B∧x≠y → x与y不可比) • |B|称为反链的长度

  24. 链, 反链(举例) • 􀂓设偏序集<A,≼>如图所示, A={a,b,…,k}. • B1={a,c,d,e}是长为4的链 • 上界{e,f,g,h}, 上确界{e} • 下界{a}, 下确界{a} • B2={a,e,h}是长为3的链 • B3={b,g}是长为2的链 • B4={g,h,k}是长为3的反链 • 上界,下界,上确界,下确界: 无 • B5={a}是长为1的链和反链 • B6={a,b,g,h}既非链,亦非反链

  25. Dilworth 定理 • 定理: 设<A,≼>为偏序集, A中最长链的 • 长度为n, 则 • (1) A中存在极大元 • (2) A存在n个划分块的划分, 每个划分块 • 都是反链(即A划分成n个互不相交的反链) • 􀂓推论: 设<A,≼>为偏序集, 若|A|=mn+1,则 • A中要么存在长度为m+1的反链, 要么存 • 在长度为n+1的链.

  26. Dilworth 定理举例 • 最长链长度为6, 如 • B1={a,c,d,e,f,h}, B2={a,c,d,e,f,g}, • A={a,b,…,k}可以划分为 • A 1= { {a,b,i}, {c,j}, {d}, {e}, {f}, {g,h,k} }, • A 2= { {a,b}, {c,i}, {d,j}, {e,k}, {f}, {g,h} } • |A|=11=2×5+1, • A中既有长度为2+1=3的反链, • 也有长度为5+1=6的链

  27. Dilworth 定理证明(1) • 􀂓定理: 设<A,≼>为偏序集, A中最长链的 • 长度为n, 则(1) A中存在极大元 • 􀂓证明: (1) 设B是A中长度为n的最长链, B • 有极大元(也是最大元)y, 则y也是A的极 • 大元, 否则A中还有比y“大”的元素z, B就 • 不是最长链.

  28. Dilworth 定理证明(2) • 􀂓定理: 设<A,≼>为偏序集, A中最长链的 • 长度为n, 则(2) A存在n个划分块的划分, • 每个划分块都是反链(即A划分成n个互不 • 相交的反链) • 􀂓证明: (2) A1 = { x | x是A中的极大元}, • A2 = { x | x是(A-A1)中的极大元},… • An = { x | x是(A-A1-…-An-1)中的极大元}, • 则A = { A1, A2,…, An }是满足要求的划分.

  29. Dilworth 定理证明(2)举例 • 最长链长度为6, • A1 = { g, h, k }, • A2 = { f, j }, • A3 = { e, i }, • A4 = { d }, • A5 = { c }, • A6 = { a, b }, • A = { {a,b}, {c}, {d}, {e,i}, {f,j}, {g,h,k} }

  30. Dilworth 定理证明(2)续 • 􀂓 证明(续): [1] A1 = { x | x是A中的极大元}, 极大 • 元互相之间不可比, 所以A1是反链, 同理 • A2,…,An都是反链. • [2] 显然A1,A2,…,An互不相交. • [3] 最长链上的元素分属A1,A2,…,An, 所以 • A1,A2,…,An都非空. • [4] 假设z∈A-A1-…-An,则最长链上的元素加上z • 就是长度为n+1的链, 矛盾! 所以 • A=A1∪A2∪…∪An. • 综上所述, A={ A1,A2,…,An }确是所求划分. #

  31. 格Lattices • 如果一个偏序集的每对元素都有最小上界和最大下界，就称这个偏序集为格。 • 应用实例 • 信息流的格模型

  32. 拓扑排序Topological Sorting • 与一个偏序相容的全序：包含了给定偏序的一个全序 • 拓扑排序：用给定偏序构造一个相容的全序

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