Экономическа проблема

1. Экономическа проблема Участок моря ?

2. Точка Ферма-Торричелли Точка Ферма-Торричелли– точка сумма растояний от которой до трёх данных точек была бы минимальной.

3. С1 B A C В1 A1 О

4. Для данного треугольника не может существовать более одной точки, сумма расстояний от которой до вершин принимала бы наименьшее значение. Доказательство: Допустим, что таких точек несколько. Возьмем две из них – M1 и M2. Очевидно, что суммы расстояний от этих точек до вершин треугольника ABC равны. Пусть N- середина отрезка M1 M2. Докажем, что 2BN<BM1+BM2.для удобства введем обозначения: BM1 =a, BM2=b, M1M2=c, BN=m. 2m<a+b /*2 (1) 4m2<a2+2ab+b2, 2a2+2b2-c2 * 4 <a2+2ab+b2 , 2a2+2b2-c2<a2+2ab+b2, a2-2ab+b2<c2, (a-b)2<c2, a-b<c. Сложим неравенства: a-b<c , c<a+b; a-b+c < a+b+c -b < b - верно, следовательно соотношение (1) верно. Аналогично 2NC<CM1+CM2. Сложим неравенства: 2BN<BM1+BM2, 2AN<AM1+AM2, 2CN<CM1+CM2; Получим: 2(AN+BN+CN)<(AM1+BM1+CM1)+(AM2+BM2+CM2), BN+AN+CN<BM1+AM1+CM1. Пришли к противоречию: сумма расстояний от т.M до вершин меньше суммы расстояний от т.М1 до вершин. Теорема доказана. Теорема 3. Если все углы треугольника А’B’C’ меньше 120 0,то точка Ферма-Торричелли совпадает с точкой пересечения отрезков A1A’,B1B’ и C1C’,где А1, В1 и С1- точки, образующиеся в результате построения правильных треугольников на сторонах B’C’, A’C’ и A’B’ соответственно. Доказательство: Пусть внутри треугольника дана произвольная точка Р. Построим треугольник АР1В1, повернув треугольник АРВ на 600 против часовой стрелки. AP+BP+CP=AP1+BP1+CP.Очевидно, что наименьшее значение эта сумма принимает, когда В1С – прямая, а точки Р1 и Р лежат на ней. В этом случае Р совпадает с точкой Ферма-Торричелли. Аналогично, утверждение докажем для прямой В2А, содержащей точки Р и Р2, где В2 и Р2- точки, построенные при повороте треугольника СРВ на угол 600 по часовой стрелке. Рассмотрим треугольник А’B’C’. треугольник A’M1C1 образуется при повороте A’MB’ на 600.Т.к. треугольник A’MM1 равносторонний, и все его углы равны 600, то угол C1M1A’= углу A’MC’=1200.угол М1A’B’=600- угол MA’B’;угол С1A’B’= углу C1A’M1+600- угол MA’B’=600.Очевидно, что треугольник A’B’C1 равносторонний. Аналогично, треугольники A1B’C’ и B1A’C’ равносторонние. Теорема доказана. Доказательства Теорема 2. Точка Ферма- Торречелли не может лежать вне треугольника. Доказательство: 1 случай: точка М не лежит внутри угла, образованного серединами противоположных сторон. Пусть М’- точка пересечения прямых МС и АВ. Пришли к противоречию: MC’+MB’+M’A<MB+MA+MC. 2 случай: точка М лежит внутри угла, образованного продолжениями сторон треугольника. Очевидно, что AB+BC<MA+MC.Пришли к противоречию: МА+МВ+МС<BA+BC. Теорема доказана. Теорема 4. Если один из углов треугольника равен 1200 ,то точка Ферма-Торричелли совпадает с вершиной зтого угла. Доказательство: Рассмотрим треугольник АВС, угол А равен 1200. Докажем, что для любой точки Р внутри треугольника справедливо соотношение АВ+АС<PA+PB+PC. Построим равносторонний треугольник AB1C и APP1. Треугольник АР1В1= треугольнику АРС(АВ1=АС,АР1=АР, угол В1АР1= углу САР).АВ+АС=АВ+АВ1; ВР+АР+СР= ВР+РР1+Р1В1. Т.к. отрезки РР1 и Р1В1 лежат на одной прямой, и АВ и АВ1 лежат на одной прямой, то ВВ1 < BP+PB1. Теорема доказана. Теорема 5. Если один из углов треугольника больше 1200, то точка Ферма-Торричелли совпадает с вершиной этого угла. Доказательство: Докажем, что для любой точки Р внутри треугольника АВС справедливы соотношения: РА+РВ+РС>AB+AC(угол А >1200).Построим равносторонние треугольники АРР1 и АВС1. Треугольник РВА = треугольнику Р1С1А. (АС1=АВ; АР1=АР; угол РАВ= углу Р1АС1). Следовательно ВР=Р1С1. АР+ВР+РС= СР+РР1+Р1С1. Очевидно, что РА+РВ+РС>AC+AC1, следовательно РА+РВ+РС>АС+АВ. Теорема доказана.

5. Свойства I. Для данного треугольника не существует более одной точки Ферма-Торричелли. II. Точка Ферма-Торричелли не может лежать вне треугольника. III. Если все углы треугольника ABC меньше 1200, то точка Ферма- Торричелли совпадает с точкой пересечения отрезков A1A,B1B, C1C, где A1,B1и C1 – точки, образующиеся в результате построения правильных треугольников на сторонах BC, AC и AB соответственно. IV. Если один из углов треугольника равен 1200, то точка Ферма- Торричелли совпадает с вершиной этого угла. V. Если один из углов треугольника больше 1200, то точка Ферма- Торричелли совпадает с вершиной этого угла.

6. Использование точки в экономике Участок суши