扭 转

1. 扭 转

2. 扭 转 • 外力偶矩计算 扭矩与扭矩图 • 薄壁圆筒扭转应力 切应力互等定理 • 圆轴扭转应力计算 • 圆轴扭转变形计算 • 圆轴扭转超静定问题*

3. 工程实例 两手用力相等时，拧紧螺母的工具杆将产生扭转变形。 杆件两端承受作用面垂直于杆件轴线的两个等值转向相反的力偶，杆的任意两横截面将绕轴线相对转动，这种变形形式称为扭转（torsion）。

4. 传动轴 传动轴 工程中常把产生扭转为主要变形的构件称为轴。 如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆等。

5. §外力偶矩计算 扭矩与扭矩图§

6. 外力偶矩的换算 工程中作用于轴上的外力偶矩Me往往不是直接给出的，而是通过轴所传递的功率和轴的转速给出。 传动轴的传递功率P、转速n与外力偶矩Me的关系： 常用公式 P — 功率，马力（PS） n — 转速，转/分（r/m） P— 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/秒（r/s）

7. 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩 受扭构件的内力偶矩如何计算？ －－截面法 Me是外力偶矩 力偶矩矢方向－－右手定则 力偶矩矢方向 力偶矩旋转方向 T 根据平衡，截面上有内力偶矩T—扭矩

8. 力偶矩矢方向 力偶矩旋转方向 扭矩的正负号规定 按照右手螺旋法则，扭矩矢量的指向与截面外法线方向一致为正，反之为负。实际是考虑变形的效应。 扭矩矢量 T n 截面 截面外法线

9. 扭矩的计算步骤 计算各外力偶矩的大小（通过功率和转速）； 1 将各外力偶矩用右手定则绘出外力偶矩矢； 2 取各控制截面，预设扭矩（内力偶矩）矢量为正方向，列平衡方程，计算扭矩矢的大小。 3

10. 扭矩图的绘制 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。 横坐标平行轴线方向，纵坐标绘出扭矩大小。 扭矩图可以体现扭矩变化规律；确定危险截面位置。

11. [例]某转动轴，转速n = 200 rpm，主动轮输入功率为PA = 200 kW，三个从动轮输出功率分别为PB = 90 kW， PC = 50kW，PD = 60 kW。 试计算1-1，2-2，3-3截面的扭矩；画出扭矩图。

12. 解：(1)计算4个轮上外力偶矩

13. 将外力矩转换为力矩矢量 分析各特征截面扭矩 取1-1截面左侧 将扭矩预设为截面外法方向 列方程

14. 取2-2截面左侧分析 列方程 取3-3截面右侧分析 列方程

15. 得到3段轴上扭矩值 (2) 画扭矩图 AC段为危险截面

16. [课堂练习]画出下面轴的扭矩图

17. 你做对了吗？

18. §圆轴扭转切应力计算§

19. 实验现象和平面假设 实验：绘纵向线、圆周线，然后施加一对外力偶 M

20. 变形前 变形后 所有纵向线仍近似为直线，但都倾斜了相同角度 g 。 变形前圆周表面上的小矩形，变形后错动成了一个小菱形。 表明：表面处存在切应变， 而且切应变相同。

21. 变形前 变形后 所有圆周线都相对绕轴线转过了不同的角度，且圆周线的大小、形状、及其相互之间的距离保持不变。 表明：无轴向线应变和横向线应变，横截面上无正应力。

22. 平面假设：圆周扭转变形前为平面的横截面，变形后仍为大小相等的平面，其半径仍保持直线，且相邻两个截面的距离不变。平面假设：圆周扭转变形前为平面的横截面，变形后仍为大小相等的平面，其半径仍保持直线，且相邻两个截面的距离不变。 由平面假设，圆轴无轴向线应变和横向线应变，可认为横截面上无正应力。由于相对转动引起纵向线倾斜，引起斜角 g的切应变，因此圆轴横截面上存在切应力。 单元体

23. 由平衡可得： = ׳ 单元体相互垂直的两个平面上，切应力必成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线，这一规律称为切应力互等定理。 单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态，或称纯剪切状态。 圆轴扭转时横截面上的应力状态是纯剪切状态。

24. 剪切虎克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极限时剪切虎克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极限时 （τ ≤τp)，切应力与切应变成正比关系。 式中：G是材料的弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无量纲，故G的量纲与 相同。 弹性模量 E 、切变模量G 、泊松比 m 都是材料的弹性常数，可通过实验测得。对于各向同性材料，可以证明三者之间存在如下关系 故三个弹性常数中，知道任意两个就可推算第三个。

25. 1. 横截面上切应力计算公式的推导－－几何关系 扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。 切应变（）：微元直角的改变量。 上式中 d称为相对扭转角，d /dx表示扭转角沿轴线长度方向的变化率。 距圆心为 任一点的切应变与到圆心的距离成正比。

26. 2. 横截面上切应力计算公式的推导－－物理关系 以 t ( )表示横截面上距圆心为处的切应力，则胡克定律: 代入几何关系表达式 由于 ( )发生在垂直于半径的平面内，所以 t ( )也应与半径垂直。

27. 3. 横截面上切应力计算公式的推导－－静力学关系 微切力： 对圆心O的微力矩 内力矩，扭矩

28. 代入物理关系和几何关系： 取 Ip : 截面对圆心 O 的极惯性矩 极惯性矩 Ip 是纯几何量，无物理意义。单位: m4， mm4 最终变换得到：

29. 等直圆杆扭转时横截面上的切应力计算过程 1. 变形几何关系 2. 物理关系 3. 静力学关系 距圆心为处任一点切应力计算公式 最终得到：

30. 圆杆扭转切应力计算公式 该截面上的扭矩 所求的点至圆心的距离 截面上某点的切应力 截面对圆心的极惯性矩 公式适于各向同性、线弹性材料，小变形的等圆截面直杆

31. 横截面上的切应力是 r的线性函数 切应力分布规律 令 实心圆截面 空心圆截面 Wp ：截面的抗扭截面模量(系数)。单位 mm3或m3。

32. 极惯性矩Ip和抗扭截面模量Wp的计算 实心圆截面 空心圆截面

33. [例] 图示传动轴，动力经齿轮2输入。1、3轮为输出轮，输出功率分别为0.76kW和2.9kW。轴转速为180rpm，轴直径28mm。该轴的最大切应力是多少，位于那段？

34. 1. 计算外力偶矩 2. 画出扭矩图 2、3轮间取得扭矩极值 3. 求最大切应力 2、3轮间最大切应力

35. 圆轴扭转时的强度计算 强度条件： ([ ] 称为许用切应力) 强度计算的三个方面： 校核强度： 1 设计截面尺寸： 2 计算许可载荷： 3

36. [例]电动机转子轴如图，功率150kW，转速15.4转/秒，许用切应力 [ ]=30M Pa，试校核其强度。 解： (1)求扭矩 作扭矩图如右 (2)计算并校核切应力强度 满足强度要求。

37. [例] 汽车传动轴由钢管（空心圆轴）制成，外径 D1=90mm，壁厚 t =2.5mm，使用时最大扭矩T =1500N·m， [t ]=60MPa，此轴是否满足强度要求？ 若此轴改为实心圆轴，并要求满足同样的最大切应力，则实心轴直径D2应为多少？从中得到什么样的启发？

38. D1=90mm，t =2.5mm，Tmax=1500N·m (1)计算抗扭截面模量 (2)确定轴上最大切应力 故轴的强度满足要求。 (3)若改为实心轴，满足同样的最大切应力

39. D1=90mm，t =2.5mm D2=53mm 分析: 空心圆截面面积: 实心圆截面面积: 同长度重量比: 因此，在承载能力相同的条件下，使用空心轴要比使用实心轴节省材料，更加经济。

40. §圆轴扭转变形计算§

41. 当 为常数时： 等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件 1. 扭转时的变形－相对扭转角，单位扭转角 对一段轴单位长度扭转角公式进行积分，就可得到杆件两端相对扭转角j。 相对扭转角 同种材料阶梯轴扭转时: 相对扭转角的单位: rad

42. 单位扭转角 ： 弧度制 角度制 GIp 反映截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。 GIp越大，单位长度扭转角越小，抵抗扭转变形的能力越强。 弧度制 2. 刚度条件 角度制 [ ]称为许用单位扭转角。

43. 3. 刚度计算的三方面： (1) 校核刚度： (2) 设计截面尺寸： (3) 计算许可载荷： 有时，还可依据剪切模量G进行选择材料。

44. [例]图示受扭圆轴，已知：M1=1400N·m， M2=600N·m， M3=800N·m， d1=60mm，d2=40mm，材料剪切弹性模量G=80GPa，计算最大单位长度扭转角。

45. 解： (1) 据题意，画出扭矩图 (2) AB 段单位长度扭转角： (3) BC 段单位长度扭转角： 因此，最大单位扭转角应在 BC 段，为 0.03978 rad/m

46. [例] 图示等直圆杆，d =40mm，a =400mm，剪切模量G =80GPa，j DB=1°。求：(1) 最大切应力，(2)j AC。

47. (1) 画出扭矩图 (2) 求最大切应力 先求外力偶M 的值

49. [例]图示为一镗孔装置，在刀杆端部装有二把镗刀，已知切削功率P = 8 kW，刀杆转速 n =60rpm,G = 80GPa，材料的许用应力[t]=60MPa，刀杆的[q] = 0.5°/m，试根据强度条件和刚度条件确定刀杆的直径。

50. 解： 确定刀杆的扭矩 根据强度条件确定刀杆件直径 根据刚度条件确定刀杆件直径 综合强度和刚度条件，取d =66mm