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第三章 行列式

第三章 行列式. 3.1 线性方程组和行列式. 3.2 排列. 3.3 n 阶行列式. 3.4 子式和代数余子式 行列式依行 ( 列 ) 展开. 3.5 克拉默法则. 课外学习 6 ：行列式计算方法 课外学习 7 ： q_ 行列式及其性质. 能够作出数学发现的人，是具有感受数学中的秩序、和谐、对称、整齐和神秘美等能力的人，而且只限于这种人。 ―― 庞加莱 (Poincare ， 1854 － 1921) 一个数学家，如果他不在某种程度上成为一个诗人，那么他就永远不可能成为一个完美的数学家。

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第三章 行列式

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  1. 第三章 行列式 3.1 线性方程组和行列式 3.2 排列 3.3 n阶行列式 3.4 子式和代数余子式 行列式依行(列)展开 3.5 克拉默法则 课外学习6：行列式计算方法 课外学习7：q_行列式及其性质

  2. 能够作出数学发现的人，是具有感受数学中的秩序、和谐、对称、整齐和神秘美等能力的人，而且只限于这种人。能够作出数学发现的人，是具有感受数学中的秩序、和谐、对称、整齐和神秘美等能力的人，而且只限于这种人。 ――庞加莱(Poincare，1854－1921) 一个数学家，如果他不在某种程度上成为一个诗人，那么他就永远不可能成为一个完美的数学家。 －－外尔斯特拉斯（Weierstrass，1815－1897）

  3. 3.1 线性方程组和行列式 一、内容分布 3.1.1 二阶、三阶行列式的计算(对角线法则) 3.1.2 行列式在线性方程组中的应用 二、教学目的： 1.了解二阶、三阶行列式的定义。　 2.会利用对角线法则计算二阶、三阶行列式。 三、重点难点： 利用对角线法则计算二阶、三阶行列式

  4. 表示代数和 3.1.1 二阶、三阶行列式的计算(对角线法则) 二阶行列式 我们用记号 称为二阶行列式, 即

  5. 三阶行列式 我们用记号 表示代数和 称为三阶行列式, 即 主对角线法 ‘—’三元素乘积取“+”号； ‘—’三元素乘积取“-”号.

  6. (1) 如果含有两个未知量两个方程的线性方程组(1) 它的系数作成的二阶行列式 (2) 如果含有三个未知量三个方程的线性方程组(2) 他的系数作成的三阶行列式 3.1.2 行列式在线性方程组中的应用 ,那么方程组(1)有解 ,那么方程组(2)有解

  7. 这里 我们的目的是要把二阶和三阶行列式推广到n阶行列式,然后利用这一工具来解答含有n个未知量n个方程的线性方程组. 例题选讲 解:由阶行列式的定义有:

  8. 3.2 排列 一、内容分布 3.2.1 排列、反序与对换 3.2.2 奇、偶排列的定义及性质 二、教学目的 了解排列、反序、对换的定义 三、重点难点 求反序数

  9. 定义1 n个数码 的一个排列指的是由这n个数码组 成的一个有序组. 计算反序数的方法：看有多少个数码排在1的前面，设为 个，那么就有 个数码与1构成反序；然后把1划去，再看 有多少个数码排在2的前面，设为 个，那么就有 个数 码与2构成反序；然后把2划去，计算有多少个数码在3前面， 设为 个，……，如此继续下去，最后设在 n前面有 个 3.2.1 排列、反序与对换 例如: 1234，2314都是四个数码的排列。 n个数码的不同排列共有n！个 例如：1，2，3这三个数码的全体不同的排列一共有3！= 6个，它们是：123，132，231，213，312，321。 定义2在一个排列里，如果某一个较大的数码排在某一个较小的数码前面，就说这两个数码构成一个反序。

  10. 数码（显然 ），那么这个排列的反序数等于 。 例如：在排列451362里， 所以这个排列有8个序。 一个排列的反序数可能是偶数也可能是奇数。有偶数个反序的排列叫做一个偶排列；有奇数个反序的排列叫做奇排列。

  11. 定理3.2.1 是n个数码的任意两个 排列，那么总可以通过一系列对换由 证明: 我们已经知道，通过一系列对换可以由 我们只需证明， 通过一系列对换可由 ， 3.2.2 奇、偶排列的定义及性质 定义3看n个数码的一个排列，如果把这个排列里的任意两个数码i与j交换一下，而其余数码保持不动，那么就得到一个新的排列，对于排列所施行的这样一个变换叫做一个对换，并且用符号（i，j）来表示。

  12. 而通过一系列对换可以由 ，按照相反的次序施行这些对换，就可由 。 证明:我们首先看一个特殊的情形，就是被对 换的两个数码是相邻的。设给定的排列为 A B 其中A与B都代表若干个数码.施行对换 得 定理3.2.2任意一个排列经过一个对换后的奇偶性改变.

  13. A B 我们比较这两个排列的反序数.显然经过这个对换后,属于A或B的数码的位置没有改变,因此这些数码所构成的反序数没有改变.同时i，j与A或B中的数码所构成的反序数也没有改变。若在给定的排 列中， 那么经过对换 后，i与j就构成一个 反序。因面后一排列的反序比前一排列的反序数 增多一个。若在给定的排列中， 那么经过对换 后，排列的反序数减少一个。不论是哪一种情形，排列的奇偶性都有改变。

  14. 现在来看一般的情形。假定i与j之间有s个数码，我们用 排列为 来代表。这时给定的 （1） 先让i向右移动，依次与 交换。这样，经过 s次相邻的两个数码的对换后（1）变为 再让j向左移动，依次与 交换。经过s+1次 相邻的两个数码的对换后，排列变为 （2） 但（2）正是对（1）施行 对换而得到的排列。因此，对（1）施行对换 相当于连续施行2s+1次相邻数码的对换。由1。，每经过一次相邻两数码的对换，排列都改变奇偶性。由于2s+1是一个奇数，所以（1）与（2）的奇偶性相反。

  15. 定理3.2.3在n个数码(n>1)的所有n！个排列，其中奇偶排列各占一半.即各为 个。 证明：设n个数码的奇排列共有p个，而偶排列共有q个，对这p个奇排列施行同一个对换 因此 同样可得 那么由定理3.2.2,我们得到p 个偶排列.由于对这p个偶排列各不相等.又可以得到原来的p个奇排列,所以这p个偶排列各不相等.但我们一共只有q个偶排列,所以 例题选讲

  16. 3.3 n阶行列式 一、 内容分布 3.3.1 n阶行列式的定义 3.3.2 行列式的性质 二、教学目的： 1.掌握和理解n阶行列式的定义。　 2.会利用定义计算一些特殊的行列式。 3.掌握和理解行列式的性质。　 4.熟练掌握利用性质计算及证明行列式的技巧。 三、重点难点： 利用定义计算行列式 利用性质熟练计算及证明行列式

  17. 定义1 组成的记号 任意取 个数 排成以下形式: (1) 3.3.1 n阶行列式的定义 称为n阶行列式,其中：横排列称为行，纵排列称为列.

  18. (2) 这里下标 是1,2,…,n这n个数码的一个 排列.反过来,给了n个数码的任意一个排列,我们也能得出这样的一个乘积.因此,一切位于(1)的不同的行与不同的列上的n个元素的乘积一共有n！个. 我们用符号 表示排列 的反序数. 考察位于(1)的不同的行与不同的列上的n个元素的乘积.这种乘积可以写成下面的形式:

  19. 表示的n阶行列式指的是n!项的代数和,这些项是一切可能的取自(1)的不同的行与不同的列上的n个元素的乘积 项 的符号为 也就是说,当 是偶排列时,这 一项的符号为正,当 是奇排列时,这一项的 符号为负. 定义2用符号

  20. 例1我们看一个四阶行列式 根据定义,D是一个4! = 24项的代数和。然而在这个行列式里，除了acfh,adeh,bdeg,bcfg这四项外，其余的项都至少含有一个因子0，因而等于0，与上面四项对应的排列依次是1234,1324,4321,4231.其中第一个和第三个是偶排列,第二个和第四个是奇排列.因此

  21. 叫D的转置行列式。 转置 一个n阶行列式 如果把D的行变为列,就得到一个新的行列式

  22. 引理3.3.1从n阶行列式的 取出元素作乘积 （3） 这里 都是1，2，…，n 证: 如果交换乘积(3)中某两个因子的位置,那么(3)的元素的第一个下标和第二个下标所成的排列同时经过一次对换,假定经过这样一次对换后所得的两个排列的反序数分别为 ,那么由定理3.2.2， 都是奇数。因为两 个奇数的和是一个偶数，所以 是一个偶数。因此 同时是偶数或同时是奇数， 从而 这n个数码的排列。那么这一项在行列式中的符号是

  23. 另一方面，由定理3.2.1，排列 总可以经过 若干次对换变为 ，因此，经过若干次交换因子的次序，乘积（3）可以变为 （4） 这里 是n个数码的一个排列。根据行列式 的定义，乘积（4），因而乘积（3）的符号是 。然而 。由上面的讨论 可知 引理被证明。

  24. 现在设 是n阶行列式D的任意一 项。这一项的元素位于D的不同的行和不同的列，所以位于D的转置行列式 的不同的列和不同的 行，因而也是 的一项，由引理3.3.1，这一项在 D里和在 里的符号都是 ，并且D中不同 的两项显然也是 中不同的两项，因为D与 的 项数都是n！，所以D与 是带有相同符号的相同 项的代数和，即 。于是有 命题3.3.2行列式与它的转置行列式相等，即 3.3.2 行列式的性质

  25. 命题3.3.3交换一个行列式的两行（或两列），行列式改变符号。命题3.3.3交换一个行列式的两行（或两列），行列式改变符号。 证 设给定行列式 （旁边的i和j表示行的序数） 交换D的第i行与第j行得

  26. （5） 因为这一项的元素位于 的不同的行与不同的列，所以它也是 的一项，反过来， 的每一项也是D的一项，并且D的不同项对应着 的不同项，因此D与 含有相同的项。 （5）在D中的符号是 ，然而在D1中，原行列 式的第i行变成第j行，第j行变成第i行，而列的次序并没有改变。所以由引理3.3.1，并注意到 是一奇数， （5）在 中的符号是 因此（5）在D的在 中的符号相反，所以D与 的符号相反。 D的每一项可以写成 交换行列式两列的情形，可以利用命题3.3.2归结到交换两行的情形。 由命题3.3.2推知，凡是行列式的对于行成立的性质对于列也成立，反过来也是如此。

  27. 推论3.3.4如果一个行列式有两行（列）完全相同，那么这个行列式等于零。推论3.3.4如果一个行列式有两行（列）完全相同，那么这个行列式等于零。 证 设行列式D的第i行与第j行(i≠j)相同，由命题3.3.3，交换这两行后，行列式改变符号，所以新的行列式等于－D，但另一方面，交换相同的两行，行列式并没有改变由此得D=－D或2D=0，所以D=0。 命题3.3.5用数k乘行列式的某一行（列），等于以数k 乘此行列式。即如果设，则

  28. 证 设把行列式D的第i行的元素 乘以 k 而得到的行列式 ，那么 的第i行的元素是 （6） 中对应的项可以写作 （7） （6）在D中的符号与（7）在 中的符号都是 因此， D的每一项可以写作 推论3.3.6如果行列式的某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外边。

  29. 因此 推论3.3.7如果行列式的某一行（列）的元素全部是零，那么这个行列式等于零。 由推论3.3.6，可以把公因子 k提到行列式符号的外边，于是得到一个有两行完全相同的行列式；由推论3.3.4，这个行列式等于零。 推论3.3.8如果行列式有两行（列）的对应元素成比例，则行列式的值等于零。 证 设行列式D的第i行与第j行的对应元素成比例，那么这两行的对应元素只差一个因子k，即

  30. 则 , 命题3.3.9如果将行列式中的某一行（列）的每 一个元素都写成两个数的和，则此行列式可以写 成 两个行列式的和，这两个行列式分别以这两个数为所在行（列）对应位置的元素，其它位置的元素与原行列式相同。即如果 。

  31. 证 D的每一项可以写成 的形 式，它的符号是 。去掉括弧，得 但一切项 附以原有符号后的和等于 因此 行列式 一切项 附以原有符号后的和等于行 列式 推论 如果将行列式的某一行（列）的每个元素都写成m个数（m为大于2的整数）的和，则此行列式可以写成m个行列式的和。

  32. 命题3.3.10将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以数k后加于另一行（列）对应位置的元素上，行列式的值不变。 证 设给定行列式 把D的第j行的元素乘以同一个数k后,加到第i行的对应元素上,我们得到行列式:

  33. 由命题3.3.9， 的第i行与第j列成比例； 由推论3.3.8， 此处 所以

  34. 例2计算行列式 解： 根据例题3.3.10,从D的第二列和第三列的元素减去第一列的对应元素(即把D的第一列的元素同乘以－１后,加到第二列和第三列的对应元素上),得 这个行列式有两列成比例,所以根据推论3.3.8,D=0.

  35. 例3计算n阶行列式 解:我们看到,D的每一列的元素的和都是n－１．把第二，第三，…，第n行都加到第一行上，得

  36. 由行列式定义,易见后一行列式等于对角线上元素的乘积 所以 根据推论３.３.６,提出第一行的公因子n－１,得 由第二,第三,…,第n行减去第一行,得

  37. 练习选讲：

  38. 3.4 子式和代数余子式 行列式依行(列)展开 一、内容分布 3.4.1子式和代数余子式 3.4.2行列式的依行依列展开定理 3.4.3拉普拉斯定理 二、教学目的： 1.掌握和理解子式和代数余子式的定义 2.熟练掌握利用行列式的依行依列展开定理计算及证明行列式的技巧。 三、重点难点： 利用行列式的依行依列展开定理熟练计算及证明行列式

  39. 3.4.1．余子式与代数余子式 定义1在一个n阶行列式D中任意取定k行和k列. 位于这些行列相交处的元素所构成的k阶行列式叫做行列式D的一个k阶子式. 例1在四阶行列式 中,取定第二行和第三行,第一列和第四列.那么位于这些行列的相交处的元素就构成D的一个二阶子式

  40. 的某一元素 的余子式 指的是在D中划去 所在行和列后所余下的n－1阶子式. 例2例1的四阶行列式的元素 的余子式是 定义2 n (n>1)阶行列式

  41. 定义3 n阶行列式D的元素 的余子式 附以符号 后,叫做元素 的代数余子式. 元素 的代数余子式用符号 来表示: 例3例1中的四阶行列式D的元素 的代数余子式

  42. 中,第i行(或第j列)的元素除 外都是零,那么这个行列式等于 与它的代数余子式 的乘积: 1) 先假定D和第一行的元素除 外都是0，这时 定理3.4.1若在一个n阶行列式 证 我们只对行来证明这个定理

  43. 我们要证明： 子式 的每一项都可以写作 （1） 也就是说：

  44. 此处 是2，3，…，n这n－１个数码的一个排列，我们看项（1）与元素 的乘积 （2） 这一乘积的元素位在D的不同的行与不同的列上，因此它是D的一项，反过来，由于行列式D的每一项都含有第一行的一个元素，而第一行的元素除 外都是零，因此D的每一项都可以写成（2）的形式。这就是说，D的每一项都是 与它的子式 的某一项的乘积，又 的不同项是D的不同项，因此D与 有相同的项。 乘积（2）在D中的符号是

  45. 另一方面，乘积（2）在 的符号就是（1） 在 中的符号。乘积（1）在元素既然位在D的 第2，3，…，n行与在第 列，因此它位在 的第1，2，…，n－１行与列，所以（1）在 中的符号应该是 。显然， ，这样，乘积（2）在 中的符号与在D中的符号一致。所以 2) 现在我们来看一般的情形，设

  46. 我们变动行列式D的行列，使 位于第一行 与第一列，并且保持 的余子式不变。 为了达到这一目的，我们把D的第i行依次与第 i－1， i－2，…，2，1行交换，这样，一共经过了 i－1次交换两行的步骤，我们就把D的第i行换到第一行的位置。然后再把第j列依次与第j－1，j－2，…，2，1列交换，一共经过了j－1次交换两列的步骤， 就被交换到第一行与第一列的位置上，这时，D变为下面形式的行列式：

  47. 是由D经过（i－1）+(j－1)次换行换列的步骤而得到的。由命题3.3.3，交换行列式的两行或两列，行列式改变符号，因此是由D经过（i－1）+(j－1)次换行换列的步骤而得到的。由命题3.3.3，交换行列式的两行或两列，行列式改变符号，因此 这样，定理得到证明。

  48. 定理3.4.2 n阶行列式 等于它的任意一行(列)的各元素与其对应代数余子式乘积的和, 即 3.4.2行列式的依行依列展开 证 我们只对行来证明，即证明（3），先把行列式D写成以下形式：

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