s zczegól nych

1. Granice szczególnych ciągów. Postaraj się przewidzieć co pojawi się w następnym polu tekstowym.

2. W dotychczasowym kursie matematyki, poznaliśmy szczególne ciągi takie jak : arytmetyczne, geometryczne, harmoniczne, ciąg Fibonacciego. ciąg postaci Rozpatrzymy interesujące i ważne w analizie matematycznej, ciągi : Badaliśmy granice ciągu : arytmetycznego, geometrycznego, harmonicznego, postaci wymiernej i innych. Teraz wyznaczymy granice wymienionych ciągów. Wyznaczmy kilka początkowych wyrazów ciągu Gdy na kalkulatorze wystukamy kilka kolejnych wyrazów tego ciągu, dojdziemy do wniosku, że granicą, najprawdopodobniej 1. jest liczba

3. Udowodnimy że : * Jeżeli , to powyższa równość zachodzi. ** Jeśli i możemy przyjąć gdzie Zatem z dwumianu Newtona Stąd Mamy więc nierówność Ponieważ więc stosując twierdzenie o trzech ciągach, *** Jeśli to Wtedy cbdu. * * *

4. Wyznaczmy kilka początkowych wyrazów ciągu Po wystukaniu na kalkulatorze kilka kolejnych wyrazów tego ciągu, podejrzewamy, że granicą jest Dowód że przebiega jak poprzednio. * Dla powyższa równość zachodzi * * Gdy i możemy przyjąć gdzie Dla mamy Stąd

5. Mamy więc nierówność Ponieważ więc stosując twierdzenie o trzech ciągach, otrzymujemy cbdu. Zatem * * * Ćwiczenie 1.Oblicz granicę ciągu

6. Ćwiczenie 2: Obliczmy granicę ciągu Ponieważ w przepisie tego ciągu nie możemy nic zmienić, ( nie ma twierdzenia o pierwiastkowaniu sumy, ani o dodawaniu potęg ) to jedyną szansą znalezienia ewentualnej granicy jest twierdzenie o granicy trzech ciągów. Musimy znaleźć dwa ciągi ograniczające ten ciąg jeden z dołu ( o wyrazach mniejszych ), drugi z góry zbieżne do tej samej granicy. Ciągiem o wyrazach mniejszych może być każdy z ciągów A jaki wziąć ciąg o wyrazach większych ? Jeżeli pod pierwiastkiem ma być suma trzech potęg, to jakich ? Wpadliście na pomysł ? Oczywiście , Teraz jasne jest, który z wcześniej wymienionych ciągów wziąć jako ciąg o wyrazach mniejszych.

7. Zapiszmy nasz pomysł. bo Zatem * * * Twierdzenie o trzech ciągach jest stosowane przy badaniu granic ciągów pewnej postaci. Dzięki temu twierdzeniu, klasa ciągów których granice potrafimy obliczyć, zdecydowanie powiększyła się. * * *

8. Ćwiczenie 3. Obliczmy granicę ciągu Widać, że w wyrażeniu nic nie możemy przekształcić. Stąd, należy obliczyć granicę w nietypowy sposób, stosując odpowiednie twierdzenia. Znaną nierówność przekształćmy, tak by otrzymać interesujące nas wyrażenie Ze wzorów i tw. o trzech cg. Zatem * * *

9. Wymieniając symbole nieoznaczone, pojawił się znak Obecnie możemy pokazać,dlaczegojest tosymbol nieoznaczony. Ciągi : są ciągami, których granice są typu Wyznaczmy ich granice. Udowodniliśmy, że dalej j.w . j.w. Granice są różne i zależne od przepisów ciągów.

10. Rada : Wyznacz granicę ciągów : * * * W prezentacji o szczególnych ciągach, wykazaliśmy, że ciąg jest rosnący i ograniczony. zbieżny. Na podstawie twierdzenia, wiemy, że jest Dowiedliśmy również, że granica nie może być większa od3. Nawet kalkulator, który był pomocny w poprzednich ciągach, nie bardzo pomoże , przy obliczeniach należy uwzględnić błędy zaokrągleń, którego nie umiemy wyznaczyć. Niestety, nie potrafimy wyznaczyć granicy tego ciągu.

11. Słynny matematyk Euler, który pierwszy zainteresował się tą liczbą, oznaczył ją literą Stąd Na razie, podajmy ją z przybliżeniem do 5 cyfr po przecinku. W dodatku dla dociekliwych wykażemy, że jest to liczba niewymierna. Niewymierność tej liczby jest inna niż np. jest „paskudniejsza ”. Takie liczby noszą ponurą nazwęliczb przestępnych. Jedną z nich, już dawno znacie, jest to liczba . Liczba odgrywa w analizie matematycznej bardzo ważną rolę. Ale o tym będzie mowa w późniejszym kursie matematyki.

12. Uzasadnieniem, że liczba jest niewymierną i przestępną zajmiemy się w prezentacji : „ Tajemnicza liczba ”. Teraz zajmijmy się ciągiem o przepisie niewiele różniącym się od ciągu Zbadajmy granicę ciągu Przekształćmy różnicę . Ale Zatem

13. Wymieniając symbole nieoznaczone, pojawił się znak Obecnie, możemy pokazać, dlaczego jest to symbol nieoznaczony. Ciągi : są ciągami, których granice są typu Wyznaczmy ich granice . Wiemy, że Granice są różne i zależne od przepisów ciągów. * * *

14. Ćwiczenie 4. Wyznacz granicę ciągu Aby obliczyć tą granicę, najprawdopodobniej trzeba korzystać z poznanych twierdzeń. Ale bezpośrednio, takiego wzoru nie mamy. Spróbujmy przepis tego ciągu, doprowadzić do postaci gdzie Stąd

15. Wykorzystaliśmy intuicyjnie oczywiste, zmodyfikowane twierdzenie : * * * Gdy rozpatrywaliśmy ciągi, poznaliśmy ciekawy ciąg, zwany ciągiem Fibonacciego. Udowodniliśmy kilka jego własności. Poznajmy jeszcze jedną własność. Obliczmy Przypomnijmy jak zdefiniowany był ciąg Fibonacciego. Badając ten ciąg wykazaliśmy, że

16. ułamek skróćmy przez , a dla ułatwienia obliczeń licznik dzielimy przez i obliczmy Występują ciągi geometr. gdzie

17. Zatem Granica ta jest równa szczególnej liczbie, którą nazywamy złotą liczbą ( wartość złotego podziału ). O złotym podziale w prezentacji : @ Złota liczba, boska proporcja. @ * * * Poznaliśmy nowe ciągi i wyznaczyliśmy ich granice. Oto one : ciąg geometryczny

18. Konsekwencje tych wzorów poznawać będziemy w zadaniach, i następnej prezentacji : @ Dalsze twierdzenia o granicach ciągów. @ Opr. WWW. i-lo. tarnów. Bardzo proszę o krytyczne przeanalizowanie prezentacji i przekazanie uwag, by po korekcie, można było ją uznać za poprawną. Z góry dziękuję. belferwww.one.pl Koniec prezentacji