理论力学

1. 理论力学 2011.9修改稿

2. 课本及内容 • 力学与理论力学（下册） • 中国科学技术大学国家基础科学人才培养基地物理学丛书 • 作者：秦敢，向守平 • 科学出版社，2008 • 其中，上册以力学为主，下册以分析力学为主，是经典力学或理论力学课程的主要内容。 • 首先，我们需回顾力学的内容并进行必要的衔接。

3. 《力学》内容概要 • 质点运动学（观测并记录质点的运动） • 质点的位置、速度、加速度，轨迹 • 质点动力学（找出运动的规律和原因） • 质点的受力，由初始位置和速度确定之后的运动 • 质点系力学（应用于多个质点的体系） • 质点系，多个质点体系的守恒量 • 非惯性参考系，平动和转动（牛顿力学不适用的参考系中的处理） • 刚体的平面运动（刚体是特殊的质点组） • 角速度，角动量，转动动能 • 一些简单应用（如有心力场，碰撞，振动等）

4. 力学基础内容（回顾） • 质点运动学 • 质点的模型，质点运动的描述： • 已知位置随时间变化，求速度、加速度随时间的变化 • 轨迹（消去时间 t，得空间曲线） • 坐标系： • 直角坐标系（x,y,z） • 柱坐标系 (r,j,z) （极坐标系）(r,q) • 球坐标系 (r, q, j) • 其他正交曲线坐标系 • 自然坐标系

5. 力学基础内容（重温） • 质点动力学 • 牛顿三定律 • 从分析受力，来计算加速度、速度、位置随时间的变化（已知初始位置，初始速度） • 牛顿三定律的深入探讨，哪个更基本？ • 惯性系。力的定义。惯性质量与引力质量。 • 对于粒子与场的作用，作用力与反作用力的关系。 • 相对论情况下，第二定律成立的形式。

6. 力学基础内容（重温） • 质点系力学 • 内力和外力 • 动量和角动量 • 动能和势能 • 质点系的质心，质心系 • 动量守恒和角动量守恒及其成立的条件 • 机械能守恒及其成立的条件 • 非惯性参考系，非惯性力 • 平动参考系 • 转动参考系，科里奥利力，离心力

7. 力学基础内容（重温） • 刚体力学 • 刚体模型 • 角速度和角加速度 • 转动惯量 • 转动的角动量和转动动能 • 力矩 • 刚体的平面运动

8. 其他一些应用课题 • 有心力场（万有引力和行星运动，带电粒子散射） • 碰撞（两体碰撞，散射截面） • 振动（阻尼振动，受迫振动，多维小振动） • 带电粒子的运动 • 狭义相对论 • 非线性力学 • 流体力学 • 连续介质体系的力学

9. 分析力学主要内容 • 约束与虚功原理 • 拉格朗日力学 • 达朗贝尔原理，拉格朗日方程，泛函变分和哈密顿原理，运动积分、对称性和守恒定律 • 哈密顿力学 • 正则方程，正则变换，泊松括号，哈密顿-雅克比方程 • 刚体的运动学和动力学

10. 分析力学的基础 • 以牛顿三定律的经典力学为理论基础 • 应用数学方法建立完整的理论体系 • 得到一些原理性的结果 • 有些结果推广到非经典的领域（如相对论和量子力学）更加自然

11. 分析力学与牛顿力学方法比较 第1次课

12. z y o x 直角坐标系 坐标：(x,y,z)

13. 直角坐标系中的矢量运算 矢量的表示和爱因斯坦求和约定： 点乘： 叉乘：

14. 直角坐标系的矢量运算举例 证明： 其中： 可证：

15. z p y o r x 柱坐标系 坐标：

16. z p r o y x 球坐标系 坐标： 坐标转换可用单位并矢点乘：

17. z p r o y x 球坐标系与直角坐标的关系 通过求导可得球坐标中：

18. p z y o x 一般的正交曲线坐标系 坐标： 称为拉梅系数。曲线长度满足

19. p z y o x 自然坐标系 • 自然坐标系不是数学上严谨的坐标系，但符合人们的自身体验，因而应用于日常生活中十分容易理解。 • 轨迹确定，之后能用路程确定位置。 • 力(矢量)分为是改变速率的部分(沿速度方向)和改变方向的部分(垂直于速度方向)。

20. 约束与自由度 • 一般情况下，约束为k个方程 • 假设约束有k个。对于n个质点，3n个坐标中，有k个约束，则自由度为s=3n-k，从理论上说，可以用s个独立变量来描述系统。 • 这些独立变量描述系统，在分析力学中对应于由这些自变量组成一个函数（系统函数）。

21. 约束的类型 • 约束方程分类，依照含不含速度，分为：完整约束或几何约束，非完整约束运动约束或微分约束，如果可以积分，可将微分约束转化为几何约束； • 依照是否显含时间，分为：稳定约束，非稳定约束； • 依照是否为等号，分为：不等号时是可解约束，等号是不可解约束。

22. 约束的类型 • 完整约束（几何约束） • 稳定的几何约束 • 不稳定的几何约束 • 不完整约束 且不可积分成完整约束，也称为微分约束。 • 可解约束： 或 或双面可解

23. 可积分的条件 • 非完整约束是否可以通过乘以某个函数变为可积分的？若使 • 必须 • 即 • 则 • 反之亦然

24. O O (x,y) (x,y) x2+y2=l2 x2+y2≤ l2 不可解和可解约束 每个不可解约束，会使系统降低一个自由度。

25. 约束的线性变分 • 完整约束使得自由度减少，一般的完整约束可写为方程 • 变分之后，可成为线性变分，形如

26. 可化为线性变分的非完整约束 • 完整约束使得自由度减少，非完整约束中，一般不可积分，因此不影响独立变量的个数，但如果是线性约束，能影响广义坐标变分的独立性。线性非完整约束形如 可导致变分约束（注意到dt=0） 作业：1.1，1.2，1.3，1.4 第2次课

27. 广义坐标 • 坐标的个数比系统的自由度s多的时候，存在约束。约束的个数k正好等于坐标的个数减去系统自由度。 • 用s个独立坐标来描述系统，这些独立变量称为广义坐标，而这些坐标的数目即为系统的自由度。对应满足约束条件的质点坐标位置，有 • 对于可解约束，是将其视为不可解约束来处理，如果发生离开约束的情况，就放弃约束，增加一个独立坐标，重新处理。

28. 广义坐标的选用 • 各个质点的真实坐标可以入选系统的广义坐标。 • n个质点的系统，真实坐标有3n个，但广义坐标只有s=3n-k个。由于存在k个约束，广义坐标的个数较少，需要选择使用。 • 广义坐标也可以选用其他参数。选取的原则是：能够方便地表示系统每个质点的几何位置。即表达式 越简洁越好。

29. 虚位移 • 假想系统的各质点瞬时发生了微小的符合约束条件的位移，称为虚位移。 • 位移发生在与约束面相切的方向，而约束力是发生在与约束面垂直的方向。 • 用广义坐标表示了各个质点的位置之后，虚位移可以看作当广义坐标任意变化之后，各个质点位置随之变动而产生的位移。 • 广义坐标的变化可以任意选取，但真实坐标的变化因为有约束存在而不能任意选取。

30. 理想约束 • 约束力常常与约束面的方向相垂直，或在系统中作为内力双双出现，有 • 其中 是虚位移 • 习惯上，将虚位移视为变分，实位移视为微分。 分析力学中处理的约束情况绝大多数（或者说默认为）是理想约束。非理想约束的情况下，分析力学常用的方法是不成立的，通常可以将某些引起虚位移做功的约束力视为主动力，化为理想约束处理。

31. 理想约束 • 两质点A和B安置在刚性轻杆两端，杆可绕中央的O点旋转。在质点A上施加一个力F，考虑两质点所受到的约束力，是否一定与虚位移方向垂直？是否为理想约束？ • 这个例子，虽然每个质点的约束力并不与虚位移垂直，可验证其仍是理想约束。 A B O F

32. 理想约束 • 考虑空间曲面的约束，取3维空间直角坐标为广义坐标，曲面的几何约束为 • 对于曲面上相邻的任意点，相距d r，有 • 即 与曲面的切面垂直。同时，约束力也与曲面的切面垂直，因而两者平行，满足关系 • 其中c是常数，R是约束力。

33. 虚位移和真实的微小位移的差别 • 1.虚位移是瞬时完成的（dt=0），而实位移需要一小段时间（dt≠0）。 • 2.虚位移在满足约束的条件下可以任意选取，并未真是发生，而实位移一般与质点的真实运动相关。 • 3. 虚位移的方向无论是稳定约束还是非稳定约束，都是沿着约束的切线方向，而实位移在非稳定约束时，不一定沿着约束的切线方向。（例如，在膨胀着的气球上爬行的小虫）

34. 虚功原理 • 系统处于平衡时，每个质点所受合力为0 • 考虑虚位移所做的功，有 • 对于理想约束，约束力所作虚功为0。从而在虚位移下主动力做的功总和也为0，即

35. 虚功原理 • 虚功原理可处理系统的平衡问题。此时，我们只要关注系统的主动力的总虚功为0的事实。而约束力在方程中消失，我们不必去解算。 • 显然，这是系统处于平衡的必要条件。对于不可解的(稳定)约束，这个条件可以证明也是充分条件（约束如果不是稳定的，就不会有静力平衡的情况出现）。

36. 虚功原理 • 使用广义坐标，方程可以化为： • 由于广义坐标是独立变量，因此有必要定义广义力 • 方程化为

37. 虚功原理 • 由于广义坐标的独立性，可得 • 对于保守力体系， • 则

38. 虚功原理 • 对于保守力体系，虚功原理可化为 • 则系统的势能达到极值，极小值时平衡是稳定的，极大值时平衡是不稳定的

39. 虚功原理举例 • 双连杆的平衡问题 • 匀质的双连杆一端固定在顶部，另一端受到水平方向恒定的力，求平衡时两杆的角度。 • 求约束力时，可将约束力看成主动力，同时解约束，增加自由度，然后求解。 • （本书29页。秦家桦，285页。陈世民，170页。金尚年，46页。） l1 q1 l2 F q2 作业：1.9，1.10，1.11 第3次课

40. 求解 • 解：

41. R q2 q1 虚功原理举例 • 圆弧中两球的平衡问题 • 半径为R的固定圆弧上，有两个同样大小但质量不同的匀质小球，其半径为R/3，求平衡时两球的位置。 • 这个问题用虚功原理或势能最小原理。

42. 求解 • 解： • 这里三个球心正好构成正三角形。平衡时，小球组的质心正好在铅垂线上，是最低的。

43. y q x O 虚功原理举例 • 求约束面的形状 • 一个均质杆一端靠在光滑的墙壁，另一端所在的约束面是什么形状才能使杆在任何位置都能平衡？（本书第10页） • 用势能最小原理，当虚位移发生时，杆的重心高度应该不变。

44. 达朗贝尔原理 • 考虑动态情况，这时可以将系统中的每个质点的加速运动看成在局部的非惯性参考系下的静力平衡问题，需要加上惯性力，因此

45. 达朗贝尔原理进一步深化 • 由于广义坐标的独立性，从达朗贝尔原理可进一步推出

46. 拉格朗日方程的由来 • 注意到由 同时将广义速度与广义坐标视为不同的变量，可推得

47. 拉格朗日方程 • 因此，得到拉格朗日方程 • 其中T是系统质点的总动能

48. 保守力体系的拉格朗日方程 • 对于保守力，由于 • 拉格朗日方程成为 • 其中L=T-V是系统的拉格朗日量。

49. 拉格朗日方程方法的长处 • 拉格朗日方程依然是从牛顿力学导出的，其方程与牛顿力学给出的结果必然相同。 • 拉格朗日方程方法适合处理具有复杂约束的系统。广义坐标的优选可使得约束的表达式更加简单。约束使自由度减少，从而使方程数减少，未知量减少，自然消去了很多不需要知道的约束力未知数。 • 拉格朗日方法是使用能量作为分析对象的，而能量是标量，处理方便；另外，能量在各种物理过程中普遍存在并相互转化，可方便地推广应用到其他物理领域。而牛顿力学是使用矢量分析，受坐标变换影响大，且矢量有较多的分量，处理较繁琐。

50. 拉格朗日方程解法步骤 • 确定系统自由度 • 选择广义坐标 • 将各个质点的位置矢量用广义坐标表达 • 计算各个质点的速度 • 给出系统的总动能 • 如果是保守系，给出势能，如果不是保守系，给出广义力 • 相应得到拉格朗日方程组 • 结合初始条件求解