第五章拉格朗日方程

第五章拉格朗日方程 §5.1 广义坐标 §5.2 虚功原理 §5.3 拉格朗日方程 §5.4 守恒定律 §5.5 小振动

§5.1 广义坐标 虚位移原理是应用功的概念分析系统的平衡问题，是研究静力学平衡问题的另一途径。对于只有理想约束的物体系统，由于未知的约束反力不作功，有时应用虚位移原理求解比列平衡方程更方便。虚位移原理与达朗伯原理结合起来组成动力学普遍方程，又为求解复杂系统的动力学问题提供另一种普遍的方法。这些理论构成分析力学的基础。

x O l A0 A y （一）约束及其分类约束——物体运动所受到的限制. 1.几何约束与运动约束几何约束在质点系中，所加的约束只能限制各质点在空间的位置或质点系的位形。

y yB B vC C y A yA vA O xB x x O xA C* 运动约束在质点系中，所加的约束不仅限制各质点在空间的位置，还限制它们运动的速度。

v x O M y 2.定常约束与非定常约束定常约束－约束方程中不显含时间的约束：非定常约束－约束方程中显含时间的约束：

y x O B y x O B 3.单面约束与双面约束双面约束—— 约束方程可以写成等式的约束。单面约束—— 约束方程不能写成等式、但是可以写成不等式的约束。

x x O O l l A A0 A A0 y y 单面约束还是双面约束？约束方程？

4.完整约束与非完整约束 完整约束—— 约束方程不包含质点速度，或者包含质点速度但约束方程是可以积分的约束。非完整约束—— 约束方程包含质点速度、且约束方程不可以积分的约束。

y yB B vC C y A yA vA O xB x x O xA D 约束方程不可积分，所以导弹所受的约束为非完整约束。圆轮所受约束为完整约束。

a l  A(x1, y1)  x x O O b  B(x2, y2) A(x, y) y y （二）广义坐标与自由度广义坐标—确定质点系位形的独立参量。

广义坐标—— 确定质点系位形的独立参变量。用 q1，q2，…表示。自由度—— 在完整约束条件下，确定质点系位置的独立参变量的数目等于系统的自由度数。对于稳定的完整约束，各质点的坐标可以写成广义坐标的函数形式

（三）位形空间 1. X-空间对于个质点的自由质点系，自由度是3n。确定它的位形需要3n个独立变量。这3n个量的集合构成一个3n维的高维空间，称为质点系的位形空间，简称X空间。位形空间中任意一个点都对应质点系的一个位形，称为位形点。位形空间中的一条曲线则对应质点系的一个特定的运动过程，故称为位轨线。这样一来，我们就可以把任何一个质点系的复杂运动化为位形空间中一个位形点的运动。对于n个质点的约束质点组，仍然可以采用上述的方法。设质点组受到个几何约束，约束方程是

每一个约束方程都代表位形空间中的一个超曲面。约束方程中显含t ,表示超曲面是变化的。质点组受到约束，意味其位形点只能在约束所对应的超曲面上运动。现在质点组受到k个约束，所以位形点必须在这个超曲面的交集子空间中运动。这个交集的维数是S，就是质点组的自由度数。上述结果表明，质点组的约束运动相当于位形点在位形空间中的约束运动。

2.Q-空间 引入广义坐标，可以把约束运动转化为自由运动。S 个广义坐标可以构成一个S 维的高维空间，简称 Q空间。由于个广义坐标可以确定质点组的位形及其变化的规律，所以Q空间中的一个点也对应质点组的一个位形。由此可见，Q空间也是质点组的位形空间，不过它是约束质点组的位形空间。 3n 维的 X 空间与 S 维的 Q 空间都是位形空间。对于自由质点组，二者是一回事。对于约束质点组，二者是有差别的；差别就在于，X空间中位形点的运动是约束运动，而Q空间中位形点的运动是自由的。

（四）广义速度与广义动量 1.广义速度沿用速度的定义，我们把广义坐标对时间的一阶导数定义为广义速度.即广义速度的量纲和物理意义显然随广义坐标而定. 广义坐标为线量时,广义速度为线速度;广义坐标为角量时,广义速度为角速度.

2.广义动量动量是质量与速度的乘积，我们可以用动能对速度的偏导数来定义为动量.即2.广义动量动量是质量与速度的乘积，我们可以用动能对速度的偏导数来定义为动量.即同理，我们也可以用动能对广义速度的偏导数来定义为广义动量.即

§5-2 虚功原理 （一）虚位移 1. 实位移实位移——质点或质点系在其真实运动中，在一定的时间间隔内发生的位移。实位移是个运动学量 ,记为 2. 可能位移可能位移——质点或质点系只满足约束条件的位移，称为可能位移。因为可能位移不一定满足动力学方程,所以它可能有若干个，甚至无穷多。可能位移只受约束的限定，是约束所允许的位移。实位移是可能位移中的一组，而不能是可能位移之外的某种位移。

y A M F x O B 3. 虚位移质点或质点系任意两个可能位移之差定义为虚位移. 它是在给定瞬时，为约束所允许的无限小位移.记为（1）虚位移是假定约束不改变而设想的位移；（2）虚位移不是任何随便的位移，它必须为约束所允许；（3）虚位移是一个假想的位移，它与实位移不同；（4）在完整定常约束下，虚位移方向沿其速度方向。

dre M dr M1 r 3. 虚位移与实位移的区别和联系（1）在完整定常约束下，实位移是诸多虚位移中的一个；（2）在完整定常约束下，虚位移方向沿其速度方向。 dr ——实位移 r ——虚位移

（二）理想约束 1. 虚功质点或质点系所受的力在虚位移上所作的功——虚功。 W = F·r W = M·  2. 理想约束质点或质点系的约束反力在虚位移上所作的虚功等于零，我们把这种约束系统称为理想约束。 ∑Ni ·ri= 0

m1 Fi Ni ri mi m2 （三）、虚位移原理 Fi + Ni = 0 Fi ·ri + Ni ·ri= 0 ∑Fi ·ri + ∑Ni ·ri= 0 ∑Ni ·ri= 0 ∑Fi ·ri = 0 对于具有理想约束的质点系，其平衡条件是：作用于质点系的主动力在任何虚位移中所作的虚功的和等于零——虚位移原理 Fi ——主动力 Ni——约束反力 ri——虚位移

∑Fi ·ri = 0 上式称为虚位移原理的解析表达式应用虚位移原理解题时，主要是建立虚位移间的关系，通常采用以下方法：（1）通过运动学关系，直接找出虚位移间的几何关系；（2）建立坐标系，选广义坐标，然后仿照函数求微分的方法对坐标求变分，从而找出虚位移（坐标变分）间的关系。

（四）广义坐标表示的平衡条件 ——广义虚位移

——广义力 Q1= Q2=… = =0

★ 质点系的平衡条件是所有的广义力都等于零广义力的计算方法

(五) 保守场中的平衡问题 1. 平衡条件某质点系由n 个质点组成，内有d 个完整、定常的理想约束，处于势力场中。作用在各质点上的主动力 Fi 都是有势力，因此，该质点系是保守系统，它的势能函数 V 可以表示为各质点坐标的函数，即

这些主动力 Fi 主可以有势能函数对坐标的偏导数表示，即将上式代入虚功方程，得

上式表明，在势力场中，具有完整、定常的理想约束的质点系其平衡的充分必要条件是：该质点系势能的一阶变分等于零。当选择广义坐标，则直角坐标表示的势能函数可改写为用广义坐标表示的势能函数

因此用广义坐标表示的平衡条件可写成如下形式：因此用广义坐标表示的平衡条件可写成如下形式： 2. 平衡稳定性的概念（a）稳定平衡（b）非稳定平衡（c）随遇平衡

3. 单自由度系统平衡稳定性质的判别方法 平衡位置：

已知：OA=r, AB=l,不计各杆质量。 例题5-1 求：平衡时F与M 间的关系。 A  M O F B 解：取系统为研究对象 ∑Fi ·ri = 0 由运动学关系可知：

例题5-2 a 1 A(x1, y1) x O b 2 B(x2, y2) F FA FB y 求平衡时1、 2 与FA 、FB 、F 间的关系。解法一：按定义计算，取1、 2 为系统的广义坐标。

a 1 A(x1, y1) x O b 2 B(x2, y2) F FA FB y 解得

1 A x O B y 解法二：（1）令：1≠ 0，2= 0

解得

1 A x O B y 解得（2）令：1 = 0，2 ≠0

例题5-3 y x  O B C A mg 已知：AB=l，m, R 。求：平衡位置并判别其稳定性。解：取为  其广义坐标，建立图示坐标系。

结论与讨论 1. 虚位移质点系在给定瞬时，为约束所允许的无限小位移——虚位移作用在质点上的力在虚位移上所做的功——虚功 2. 理想约束质点或质点系的约束反力在虚位移上所作的虚功等于零，我们把这种约束系统称为理想约束。 3. 虚位移原理具有理想约束的质点系，其平衡条件是：作用于质点系的主动力在任何虚位移中所作的虚功的和等于零—虚位移原理 ∑Fi ·ri = 0

通常用虚位移原理求解机构中主动力的平衡问题。解除约束，代之以约束反力，并将此约束反力当作主动力，可和其它主动力一起应用虚位移原理求解。 4. 广义坐标与自由度广义坐标—— 确定质点系位形的独立参变量。用 q1，q2，…表示。自由度—— 在完整约束条件下，确定质点系位置的独立参变量的数目等于系统的自由度数。

5. 建立虚位移关系间的方法 （1）通过运动学关系，直接找出虚位移间的几何关系；（2）建立坐标系，选广义坐标，然后仿照函数求微分的方法对坐标求变分，从而找出虚位移间的关系。

§5.3 拉格朗日方程 （一）经典动力学的两个发展方面 1.拓宽研究领域牛顿运动定律由单个自由质点 ★受约束质点和质点系(以达朗贝尔原理为基础) 欧拉将牛顿运动定律 ★刚体和理想流体矢量动力学又称为牛顿－欧拉动力学

2.寻求新的表达形式 将虚位移原理和达朗贝尔原理综合应用于动力学 ★建立分析力学的新体系拉格朗日力学

主动力 约束力惯性力（二）达朗贝尔原理考察由n个质点的、具有理想约束的系统。根据达朗贝尔原理，有令系统有任意一组虚位移系统的总虚功为

（三）动力学普遍方程 系统的总虚功为利用理想约束条件得到 —— 动力学普遍方程任意瞬时作用于具有理想、双面约束的系统上的主动力与惯性力在系统的任意虚位移上的元功之和等于零。

动力学普遍方程的直角坐标形式 动力学普遍方程适用于具有理想约束或双面约束的系统。动力学普遍方程既适用于具有定常约束的系统，也适用于具有非定常约的系统。动力学普遍方程既适用于具有完整约束的系统，也适用于具有非完整约束的系统。动力学普遍方程既适用于具有有势力的系统，也适用于具有无势力的系统。

动力学普遍方程 主要应用于求解动力学第二类问题，即：已知主动力求系统的运动规律。 应用动力学普遍方程求解系统运动规律时,要正确分析运动,并在系统上施加惯性。  应用动力学普遍方程 ,需要正确分析主动力和惯性力作用点的虚位移,并正确计算相应的虚功。 由于动力学普遍方程中不包含约束力，因此，不需要解除约束，也不需要将系统拆开。

由n个质点所 组成的质点系（四）拉格朗日(Lagrange)方程主动力虚位移广义坐标第i个质点的位矢由动力学普遍方程，得 Qk——广义力

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