Онтологии и правила

1. Онтологии и правила Две установленные парадигмы в моделировании знаний Играют важную роль для Semantic Web

2. Преимущества интеграции • ОнтологиибазируютсянаДескриптивных логиках (и т.о. на логиках первого порядка). • Web – открытая среда. • Повторное использование / интероперабельность. • Онтологии – модель, простая для понимания • Правила основываются на логическом программировании. • Для сохранения разрешимости, языки онтологий жертвуют выразительностью (например, не предоставляют конструкторов составных свойств). Тогда как, правила это делают хорошо. • Существует эффективная поддержка суждений. • Правила – хорошо известны на практике.

3. Правила • Правила в основном основываются на подмножестве Логики 1-го порядка (FOL) + возможные расширения. • Базовые формализмы правил(в Semantic Web): • Semantic Web Rule Language (SWRL) • Answer Set Programming (ASP) (Datalog∨¬)

4. Основные трудности интеграции • Монотонные/НемонотонныеСвойства • Open-world/Closed-world assumption • отрицание-как-невыполнение/классическое отрицание • Строгое отрицание /классическое отрицание • эквивалентность • разрешимость Логика 1 порядка /Логическое программирование

5. Не-базовый вывод • Семантики LP определяются в терминах минимальной модели Herbrand, т.е. множествами не базовых фактов. • Пример: likesFootball(x) liverpoolSupporter(x) liverpoolSupporter(x) liverpoolPlayer(x) liverpoolPlayer(gerrard). И в LPи вклассической логикевыводятся фактыliverpoolSupporter(gerrard),likesFootball(gerrard). Толькоклассическая логикапозволяет дальнейший не фактические выводы, liverpoolPlayer(x) likesFootball(x)

6. Open-world /Closed-world assumption • Логическое программирование – CWA • If KB |= a, then KB = KB a • Классическая логика – OWA • Сохраняет мир открытым. • KB: Man ⊑ Person, Woman ⊑ Person Bob ∈ Man, Mary ∈ Woman Запрос: “найти все индивиды, которые не являются женщинами”

7. Отрицание как невыполнение/Классическое отрицание • Пример: KBLP: likesFootball(x) liverpoolSupporter(x) didNotCelebrateLVPEuroCup(x) not liverpoolSupporter(x) likesFootball(gerrard). KBCL: x liverpoolSupporter(x) likesFootball(x) x liverpoolSupporter(x) didNotCelebrateLVPEuroCup(x) likesFootball(gerrard). KBLP |= didNotCelebrateLVPEuroCup(gerrard)!

8. Строгое/Классическое отрицание • Строгое отрицание: способ имитации классического отрицания в LP. • Пример: KBLP: footballPlayer(x) liverpoolPlayer(x) ~footballPlayer(me). ~liverpoolPlayer(me). KBCL: liverpoolPlayer(x) footballPlayer(x) ~footballPlayer(me). ~liverpoolPlayer(me). • DL-KB повлечетme ∈ ~liverpoolPlayer (ошибка согласованности). • В ASP: liverpoolPlayer(x) ∨ ~ liverpoolPlayer(x)

9. Эквивалентность • LP ----> Unique Name Assumption (UNA) • Классическая Логика ----> различные имена могут представлять один и тот же атом • Пример: differentPlayers(x,y) player(x), player(y), x=y player(gerrard_of_liverpool). player(gerrard_of_england). • ВLP, можно сделать заключение: differentPlayers(gerrard_of_liverpool, gerrard_of_england)

10. Разрешимость • Самое большое препятствие! • Компромисс между выразительностью и разрешимостью. • Проблема разрешимости под разными углами • ВLP: конечность домена • Вклассическойлогике(ит.о.вДЛ): комбинация конструкторов • Проблема: Комбинация “простых” ДЛи логики Horn неразрешима. (Levy & Rousset, 1998)

11. Правила + Онтологии • Существует множество различных подходов: SWRL, DLP, dl-programs,DL-safe rules, Conceptual Logic Programs (CLP), AL-Log, DL+log. • 2 основные стратегии: • Тесная семантическая интеграция(Гомогенные подходы) • Строгое семантическое разделение(Гибридные подходы)

12. Гомогенный подход • Интеграция правил и онтологий достигается путем определения нового языка, где правила могут использоваться для определения новых классов и новых свойств онтологий. Новый язык, полученный таким способом, это еще один язык онтологий, более выразительный, чем OWL DL. Он требует разработки новых техник суждений и новых резонеров (механизмов суждения).

13. Гомогенный подход • Взаимодействие с жесткой семантической интеграцией. • И онтологии и правила встраиваются в общий логический язык. • Нет различий между предикатами правил и предикатами онтологии. • Правила могут использоваться для определения классов и свойств онтологии. • Пример: SWRL, DLP

14. Гибридный подход • Онтологии обеспечивают общую разделенную концептуализацию домена, но могут существовать различные программы правил, специфичные для различных приложений домена. • Онтология остается неизменной и правила надстраиваются сверху онтологии. Это делает возможной интеграцию существующего резонера правил с резонером существующей онтологией для суждений в гибридной языке, скорее чем разработку нового резонера с нуля. • Правила не могут определять классы и свойства онтологии, но могут - некоторые специфичные для приложения отношения. • Коммуникация через “безопасный интерфейс”. • Пример: Answer Set Programming (ASP)

15. SWRL и правила DL-safe • OWL добавляет существенную выразительную мощность Semantic Web, однако, сохранение разрешимости ключевых задач вывода в OWL DL и OWL Lite, OWL имеет ограничения выразительности (например, нет композиции). • SWRL – попытка расширить OWL некоторыми формами “языка правил”. • SWRL неограничен объединением OWL DL (т.е. приблизительно SHOIN(D)) и (бинарной) логики Хорна без функций. Результат - очень выразительный формализм, который, неразрешим. • Разрешимость восстанавливается наложением условий безопасности на SWRL правила - DL-Safety (DL-Safe SWRL Rules): по сути, возможные значения (явных) переменных в SWRL правилах ограничены только именованными индивидами, что ограничивает действие таких правил на ABox

16. SWRL • Основная идея - расширить OWL DL формой правил, при сохранении максимальной обратной совместимости с существующим синтаксисом и семантиками OWL. Для этого, SWRL добавляет новый тип аксиом к OWL DL, а именно правила клозов Хорна, расширяющие абстрактный синтаксис OWL и прямые модельно –теоретические семантики для OWL DL, чтобы обеспечить формальные семантики и синтаксис для OWL онтологий, включающих такие правила. • SWRL правила имеют форму импликации между предшественником (body) и последователем (header). Неформальное значение правила может читаться как: всякий раз, когда выполняются условияв предшественнике, условия в последователе тоже должны выполняться.

17. SWRL • Множество атомов в body обрабатывается как конъюнкция. Пустой body, обрабатывается как тривиальная истинна (т.е. удовлетворяется каждой интерпретацией), т.о., header тоже должен удовлетворяться каждой интерпретацией. • Множество атомов в header обрабатываются как отдельные последовательности, т.е. они все должны удовлетворяться. • Пустой header обрабатывается как тривиальная ложь (т. е. не удовлетворяется любой расширенной интерпретацией). Такие правила удовлетворяются предшественник не удовлетворяется ни одной расширенной интерпретацией. • правила с множественными атомами в header могут быть просто преобразованы в множественные правила, каждое с атомным последователем.

18. SWRL • Расширяет OWL аксиомами, чтобы включить Horn-подобные положения (clauses). • Максимальная совместимость с OWL • Надстройка над OWL (те же семантики) • Общая формула: a1 ∧… ∧an←b1 ∧. . . ∧ bk • Ограничения • Отрицание, Дизъюнкция • Неразрешимость • Не очень хорошо понятен: для него не существует родных механизмов суждений (reasoners), не размечены четко отношения с другими формализмами, фактически нет опыта использования SWRL для моделирования онтологий.

19. Синтаксис • Абстрактный • Человеко-читаемый • Конкретный

20. Абстрактный синтаксис • абстрактный синтаксис для правил определяется посредством версии Расширенного BNF. В этой системе обозначений, терминальные символы заключаются в кавычки; не терминальные символы выделяются жирным и в кавычки не заключаются. Альтернативы либо разделяются вертикальной чертой ( | ). Компоненты, которые могут встречаться не более одного раза заключаются в квадратные скобки ([..]);компоненты, которые могут встречаться произвольное количество раз (включая 0) заключаются в фигурные скобки ({. . . }). Пробелы - игнорируются. Имена – это ссылки RDF URI. • Значение каждого конструктора в абстрактном синтаксисе для правил неформально описывается, когда он вводится.

21. Правила в АС • SWRL расширяет аксиомы аксиомами правил, путем добавления постановки:axiom ::= rule • SWRL онтология может содержать смесь правил и других конструкторов OWL DL, включая аннотации онтологий, аксиомы о классах и свойств, и факты об OWL индивидах, также как и сами правила • Аксиома правила состоит из body и header, каждое из которых состоит из (возможно пустого) множества атомов. Как и для аксиом классов и свойств, аксиома правила может иметь аннотации; может назначаться URI ссылке • Атомы могут ссылаться на индивиды, литералы данных, переменные индивидов или переменные данных. Переменные обрабатываются как квантор универсальности, с их областью, ограниченной заданным правилом. Только переменные, которые встречаются в предшественнике правила, могут встречаться в последователе

22. Человеко-читаемый • АС подробный и не является легко читаемым часто используется относительно неформальная “человеко читаемая” форма • правило имеет форму: antecedent → consequent, где оба: предшественник и последователь, являются конъюнкциями атомов, записанными a1⋀ . . . ⋀ an • Переменные указываются, используя префиксы со знаком вопроса (?x).

23. Конкретныйсинтаксис • SWRL обеспечен как конкретным синтаксисом XML, так и RDF. Конкретный синтаксис XML - комбинация синтаксиса представления XML языка онтологий OWL с синтаксисом RuleML XML. Он имеет несколько преимуществ: • произвольные OWL классы (например, дескрипции) могут использоваться как предикаты в правилах; • могут свободно смешиваться аксиомы правил и онтологии; • упрощена интероперабельность между OWL и RuleML, содействие развитию/адаптации инструментов и расширение SWRL дополнительными свойствами из RuleML. • существующая таблица стилей XSLT может быть расширена, чтобы обеспечить отображение в RDF графы, которое расширяет синтаксис обмена OWL RDF/XML.

24. Определение SWRL • SWRL содержит OWL DL как часть свойств (все аксиомы OWL DL являются аксиомами SWRL). Кроме того, БЗ SWRL может содержать набор правил, состоящих из условия (body) и следствия (header), которые сами являются наборами SWRL атомов. Atom1∧ . . . ∧ Atomn→ Atomn+1∧ . . . ∧ Atomm Условие (body) Следствие (header)

25. SWRL атомы • Унарные атомы: C(arg1), гдеC – произвольное выражение класса OWL DL D(dataArg1) где D – тип данных URI или диапазон перечисленных значений • Бинарные атомы: P(arg1, arg2) где P – свойство объекта Q(arg1, dataArg1) где Q -свойство типа данных arg1 = arg1 равенство, или“sameAs” arg2 ≠ arg2 неравенство, или “differentFrom” • Аргументы arg1 | arg2 - либо индивиды, обозначающие URI, либо переменные, задающие диапазон индивидов dataArg1 - либо литералы данных, либо переменные, задающие диапазон значений данных

26. Трансляция в SWRL Ψ = ψ1 ∧ . . . ∧ ψn → ψn+1 ∧ . . . ∧ ψm - SWRL правило, такое что Var(Ψ) = V1 . . . Vk- все SWRL переменные в атомах ψ1 . . . ψm. π– функция трансляции Xи Y – мета-переменные, пробегают диапазон SWRL переменных (имена индивидов и переменные объектов - x, y, z) A- произвольный атомный концепт, Cи D- произвольные выражения класса, aи b- произвольные константы, P- произвольная роль.

27. Трансляция в SWRL • Атомы ТерминТрансляция π(x) или π(y) или π(V) y или x или V(соот.) π(A,X) A(X) π(P,X,Y) P(X,Y) • Аксиомы АксиомаТрансляция π(Ψ) ∀V1 . . . Vk(π(ψ1) ∧ . . . ∧ π(ψn) → π(ψn+1) ∧ . . . ∧ π(ψm))где ψ имеет форму A(X) или P(X,Y)

28. Трансляция в SWRL • SWRL правила могут полностью заместить аксиомы ролей SH • Аксиома FOL • Trans(P) ∀x, y, z(P(x, y) ∧ P(y, z) → P(x, z)) • P(X, Y ) ∧ P(Y,Z) → P(X, Z) ∀X, Y,Z(P(X, Y ) ∧ P(Y,Z) → P(X,Z)) • P ⊑Q ∀x, y(P(x, y) → Q(x, y) • P(X, Y ) → Q(X, Y ) ∀X, Y (P(X, Y ) → Q(X, Y )

29. Ограничение безопасности • Вводится специальный предикат ДЛ, O, который -истинный для всех именованных индивидов (т.е. существует факт O(a) для всех имен индивидов, a, встречающихся в онтологии) и не встречается в каком-либо выражении концепта онтологии (и, таким образом, не попадает в область квантора существования). • Затем, для каждой переменной в правиле ДЛ-безопасности, к телу добавляется O-атом с этой переменной.

30. Ограничение безопасности • Трансляция расширяется в FOL с.о.: • Пусть Ω(K) = c1 . . . cn – множество имен индивидов, встречающихся в БЗ K. • K’ = K∪{c1 : O. . . cn : O}. Затем к элементам K’применяется Π. • Пусть Ψdls = α1∧ . . . ∧ αn → αn+1 - правило ДЛ-безопасности такое, что каждый α является атомом и V ar (Ψdls) = v1 . . . vk– это все SWRL переменные в атомах α1 . . . α n+1. Тогда: • Аксиома трансляции π(Ψdls) ∀v1 . . . vk(π(α1) ∧ . . . ∧ π(αn) ∧ O(v1) ∧ . . . ∧ O(vk) → π(αn+1))

31. Пример • DL-safety версия SWRL слабее, чем SWRL Foot ⊑∃partOf.Leg (1) BurnOnFoot ⊑∃locatedIn.Foot (2) LegInjury ≡ ∃locatedIn.Leg (3) < burn1, foot1 > : locatedIn (4) < foot1, leg1 > : partOf (5) leg1 : Leg (6) foot1 : Foot (7) burn2 : BurnOnFoot (8) locatedIn(X, Y) ∧ partOf(Y, Z) → locatedIn(X, Z) (9) Если мы интерпретируем (8) как неограниченное SWRL правило, то можем вывести (10)-(13), а если DL -safe, то только (10) и (11): < burn1, leg1 > : locatedIn (10) burn1 : LegInjury (11) BurnOnFoot ⊑ LegInjury (12) burn2 : LegInjury (13)

32. Встроенные модули • Это атомы с фиксированной, предопределенной интерпретацией. • SWRL утверждение включает, среди других, встроенные модули для сравнения значений, математических и строковых манипуляций. • Основная проблема: • Как интерпретировать встроенные модули, если их переменные находятся под-экземплярами, при оценивании (т.е., они должны интерпретироваться как произвольные ограничения или более процедурно, например, “выбрасывание” ошибки, когда ограничительным является неподходящий тип)

33. Прямыемодельно-теоретическиесемантикиПрямыемодельно-теоретическиесемантики • Модельно-теоретические семантики для SWRL - простое расширение семантик для OWL DL • Основная идея - мы определяем привязки (bindings)—расширения OWL интерпретаций, которые отображают переменные в элементы домена. • Правило удовлетворяется интерпретацией, если каждая привязка, удовлетворяющая body удовлетворяет также header. • Семантические условия относительно аксиом и онтологий не меняются, т.o.интерпретация удовлетворяет онтологии, если она удовлетворяет каждой аксиоме (включая правила) и факту в онтологии.

34. Правила интерпретации • Абстрактная интерпретация OWL - кортеж вида 𝓘 = ‹R,EC,ER,L, S, LV›, где R– множество ресурсов, LV⊆ R - множество значений литералов, EC– отображение из классов и типов данных в подмножества R и LV, соответственно, ER – отображение из свойств в бинарные отношения на R, L– отображение из типизированных литералов в элементы LV , S– отображение из имен индивидов в элементы EC(owl : Thing).

35. Правила интерпретации • 𝓘 - абстрактная OWL интерпретация привязка B(𝓘) -абстрактная OWL интерпретация, расширяющая 𝓘 т.о., что S отображает i-переменные в элементы EC(owl : Thing) и L отображает d-переменные в элементы LV. • Условия интерпретации АтомУсловие интерпретации C(x) S(x) ∊ EC(C) D(z) S(z) ∊ EC(D) P(x, y) ‹S(x), S(y)› ∊ ER(P) Q(x, z) ‹S(x),L(z)› ∊ ER(Q) sameAs(x, y) S(x) = S(y) differentFrom(x, y) S(x) ≠S(y) builtIn(B, z1, . . . , zn) ‹S(z1), . . . , S(zn )› ∊ Ext(B)

36. Правила интерпретации • Атом удовлетворяется привязкой B(𝓘) при условиях, заданных выше, где C– дескрипция OWL DL, D– ранг данных OWL DL, P- свойство individual-valued OWL DL , Q - OWL DL data-valued Property, B - встроенный предикат, x, y - переменные или OWL индивиды, z, z1, . . . , zn- переменные или значения данных OWL, и Ext– отображение из встроенных предикатов в подмножество ⋃1..nLV n. • Данная интерпретация встроенных предикатов очень гибкая и разрешает, например, предикаты с переменной арностью и использование предикатов с неправильным количеством аргументов: если ‹S(z1), . . . , S(zn )› не является расширением встроенного предиката, то атом просто не удовлетворяется.

37. Правила интерпретации • Привязка B(𝓘) удовлетворяет body A, если A- пустое или B(𝓘) удовлетворяет каждому атому в A. • Привязка B(𝓘) удовлетворяет header C, если C – пусто и B(𝓘) удовлетворяет каждый атом в C. • Правило удовлетворяется интерпретацией 𝓘, если для каждой привязки B такой, что B(𝓘) удовлетворяет body, B(𝓘) также удовлетворяет header. • Семантические условия относительно аксиом и онтологий не меняются. В частности, • интерпретация удовлетворяет онтологию, если она удовлетворяет каждой аксиоме (включая правила) и факту в онтологии; • онтология согласована, если она удовлетворяется по крайней мере одной интерпретацией; • онтология O2 влечется онтологией O1, если каждая интерпретация, которая удовлетворяет O1 также удовлетворяет O2.

38. Пример • Свойство uncle – импликация свойств parent и brother • Parent, brother, uncle – individualvaluedPropertyID, задана интерпретация 𝓘 = ‹R,EC,ER,L, S, LV ›, привязка B(𝓘) расширяет S для отображения переменных ?a, ?b, и ?c в элементы EC(owl : Thing); a, b и c, соответственно, используются для обозначения этих элементов • Body правила удовлетворяется B(𝓘), если (a, b) ∊ ER(parent) и (b, c) ∊ ER(brother). • Header правила удовлетворяется B(𝓘), если (a, c) ∊ ER(uncle). • Т.о., правило удовлетворяется интерпретацией 𝓘, если для каждой привязки B(𝓘) такой, что (a, b) ∊ ER(parent) и (b, c) ∊ ER(brother), выполняется (a, c) ∊ ER(uncle), т.е.: • ∀a, b, c ∊ EC(owl : Thing). • ((a, b) ∊ ER(parent) ⋀ (b, c) ∊ ER(brother)) → (a, c) ∊ ER(uncle)

39. Мощностьправил • В OWL, только отношение между свойствами, является subsumption между именами атомных свойств, например, hasFather - subPropertyOf hasParent. • Правило может утверждать более сложные отношения между свойствами. • повышенная выразительная мощностьприводит к неразрешимости ключевых задач вывода, в частности, согласованности онтологии • Расширенные языки требуют возможность представления бесконечный 2-мерный грид, чтобы согласованность стала неразрешимой. С добавлением правил, такое кодирование тривиально.

40. Мощностьправил • x-succ и y-succ – свойства • Правило x-succ(?a, ?b) ⋀ y-succ(?b, ?c) ⋀ y-succ(?a, ?d) ⋀ x-succ(?d, ?e) → sameAs(?c, ?e), вместе с утверждением, что каждый узел грида связан точно с одним другим узлом посредством каждого x-succ и y-succ, позволяет представить такой грид. • SWRL правила выходят за рамки базовых клозов Хорна в следующих моментах: • конъюнктивные последовательности; • дескрипции классов также как и имена классов как предикаты в атомах класса; и • равенства и неравенства.

41. Мощностьправил • Однако большинство из них не добавляет мощности языка. • Конъюнктивные последовательности можно исключить, используя стандартное преобразование Lloyd-Topor: Например, правило вида A → C1 ⋀ C2 можно преобразовать в семантически эквивалентную пару пару:A → C1, A → C2. • Дескрипцияd может быть исключена из правила просто добавлением OWL аксиомы, которая вводит новое имя класса и утверждает, что оно эквивалентно d, например, EquivalentClasses(D d) - d заменяется именем класса D.

42. Эквивалентность атомов - свойство sameAs можно заменить подстановкой “определенное пользователем” owl свойство – например, Eq. Оно может быть задано подходящим значением, используя правило вида Thing(?x) → Eq(?x, ?x) и утверждая, что это функционал. Интерпретация Eq соответствует равенству элементов в EC(owl : Thing), т.е., ∀x, y ∊ EC(owl : Thing).‹x, y› ∊ ER(Eq) ⇔ x = y, и поэтому Eq может использоваться вместо sameAs без изменения значения онтологии • Неравенства. Можно ввести owl свойство Neq, чтобы охватить некоторые из значений свойства differentFrom путем добавления правила вида Eq(?x, ?y) ⋀ Neq(?x, ?y) → Nothing(?x) Интерпретация Neq не пересекается с интерпретацией Eq, т.е., ∀x, y ∊ EC(owl : Thing).‹x, y› ∊ ER(Neq) ⇒ x ≠ y, и это приводит к правилу импликации Neq(?x, ?y) → differentFrom(?x, ?y). Т.е. можно исключить differentFrom в header правила, путем подстановки Neq. Но Neq не полностью охватывает значение неравенства, т.к. это могут быть пары элементов в EC(owl : Thing), которые ни в расширении Eq ни Neq, т.е., differentFrom не означает Neq. Т.е. нельзя использовать Neq, чтобы исключить вхождения differentFrom в body правила: чтобы это сделать, потребуется чтобы Neq было равно отрицанию Eq.

43. Фрагменты правил OWL • Программы Дескриптивных Логик (DLP) • Horn – SHIQ • Определение • Пример • Связь с логическим программированием (LP)

44. Определение DLP • Семантический фрагмент OWL (т.е. мы на время абстрагируемся от конкретного синтаксиса) • Каждое OWL положение, которое является семантически эквивалентным – в смысле логики первого порядка – (конечному) множеству функционально свободных клозов Хорна, составляет действительное DLP высказывание. • Разрешены ограничения целостности - DLP IC. • Разрешены ограничения целостности и эквивалентности - DLP ICE. • DLP+ - (семантический) фрагмент, общий для OWL DL и (функционально свободного недизъюнктивного) Datalog. Аналогично, DLP+ IC, IC+, и т.п.

45. ABox • C(a) (утверждение индивида) • R(a, b) (утверждение свойства) • a = b (ICE) (эквивалентность индивидов) Характеристики свойств: • R ≡ Q (эквивалентность) • R ⊑ Q (подсвойство) • ⊤ ⊑∀R.C (C≠⊥) (домен) • ⊤ ⊑ ∀R−.C (C ≠⊥) (ранг) • R ≡ Q− (инверсия) • R ≡ R−(симметрия) • ⊤ ⊑≤1R (ICE) (функциональность) • ⊤ ⊑≤1R− (ICE) (обратная функциональность)

46. TBox • Для DLP разрешается, чтобы имело одну из форм C, {o1, . . . , on}, ⊥ или ⊤, а Rightможет быть C или ⊤. • Для DLP IC - C, {o1, . . . , on}, ⊥ или ⊤, а Right - C, ⊤ или ⊥. • Для DLP ICE - C, {o1, . . . , on}, ⊥ или ⊤, а Right - C, ⊤, ⊥ или {o}. • Для версий DLP+ мы дополнительно разрешаем, чтобы Right имел форму ∃R(−).{a}. • Аксиома OWL будет в DLP, если результатом трансляции в синтаксис ДЛ будет конечное множество положений выше упомянутой формы.

47. Пример Для TBox, мы моделируем следующие положения: • (1) Каждый мужчина или женщина является взрослым человеком • (2) Взрослый (grown-up) - это человек, который является взрослым (adult) • (3) Женщина, имеющая кого-либо в качестве ребенка, это мать • (4) Сирота – это ребенок людей, которые умерли • (5) Одинокий ребенок не имеет братьев и сестер • (6) AIFB исследователи работают в Университете Karlsruhe

48. Пример

49. Примердля RBox parentOf ≡ childOf‾ parentOfиchildOfинверсные роли. parentOf ⊑ ancestorOf parentOf- подрольролиancestorOf. fatherOf ⊑ parentOf fatherOf- подроль роли parentOf. ⊤⊑∀ancestorOf.Human Human– домен ролиancestorOf. ⊤⊑≤1fatherOf‾ fatherOfинверсный функционал.

50. ABox • {Ian, Benjamin, Raphael, Horrocks} ⊑Man • {Yue, Ulrike} ⊑ Woman • Ian = Horrocks • < Ian,UMAN > : employedBy . . . Yue : WomanUlrike : Woman. {Yue, Ulrike} ⊑ Woman Включения классов не могут быть в общем случае заменены эквивалентностями.