Угол между прямой и плоскостью

1. Угол между прямой и плоскостью Суфиярова М.А., учитель математики МОУ СОШ №2 городского округа ЗАТО Светлый Саратовской области

2. Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярную к ней, называют угол между прямой и её проекцией на плоскость При решении задач углом между прямой и плоскостью будет служить угол между наклонной и её проекцией. Наибольшее затруднение при построении такого угла вызывает построение перпендикуляра от точки до плоскости

3. Алгоритм • Чётко выяснить где прямая, где плоскость • Жирной точкой выделить основание наклонной (точку пересечения прямой с плоскостью) • Отправиться от этой точки вдоль этой прямой в поисках удобной точки, из которой могли бы опустить перпендикуляр на данную плоскость • Могут быть следующие ситуации:

4. Найдётся и удобная точка и перпендикуляр опущенный из этой точки до данной плоскости, тогда построить проекцию и угол найден • перпендикуляра готового нет, тогда придётся построить плоскость, проходящую через удобную точку и перпендикулярную данной плоскости; При построении такой плоскости необходимо пользоваться теоремой: плоскость, перпендикулярная линии пересечения двух плоскостей, перпендикулярна каждой из них; или признаком перпендикулярности плоскостей: если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны; или следующей теоремой: Найти линию пересечения этих двух перпендикулярных плоскостей; • Из удобной точки опустить перпендикуляр на линию пересечения плоскостей (чаще всего этот перпендикуляр является высотой образовавшегося треугольника; • Построить проекцию; • Угол между наклонной и её проекцией и будет углом между прямой и плоскостью

5. Дано:В прямом параллелепипеде АВСDA1B1C1D1 основанием служит ромб. Сторона ромба равна а, < BAD=600. Диагональ параллелепипеда В1Dсоставляет с плоскостью боковой грани угол 450. • Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда • 1.Построение. D-основание наклонной ,(B1K1D1) ┴(DD1C1) B1K┴D1C1 <B1DK-есть угол между прямой В1D и гранью DD1C1C. • 2.Вычисление. ΔB1KC1; sin 600=B1K/B1C1; B1K=a /2 DK=B1K. Cos600 =KC1/a; KC1=а/2 ΔDD1K. DD1= =a /2 Sпол=2Sосн+Sбок; Sосн = /2; Sбок=4a х a /2=2 Sпол= +2 = ( +2 )

6. Задача 2 • Дано:ABCA1B1C1-прямоугольная призма,<ACB=90,AC=BC=а, Прямая B1C образует с плоскостью грани AA1B1B угол 300. • Найти : площадь боковой поверхности призмы. • Построение. (ABC) ┴(AA1B1) (ABC) (AA1B1)=AB CE ┴AB <EB1C-есть угол между прямой B1C и плоскостью AA1B1B • Вычисление. Sпол=2Sосн+Sбок Sосн=1/2aхa= а2/2 ;Sбок=p x CC1 AB= =a P=2a+a EC= = Sin300 = ;B1C= ;B1C= = a • ΔBB1C. BB1= =a; Sбок= 2a2 +a2 • Ответ: Sбок= 2a2 +a2

7. Задача 3 Дано: ABCDA1B1C1D1-куб, M- середина B1C1, F-середина D1C1, К-середина DC, О- точка пересечения диагоналей квадрата ABCD Найти угол между: • MF и DD1C; • MF и DD1B; • AC и MKF; • AC1и BCC1; • AA1и AMF; • BB1 ┴(ABC), AB- проекция, то <B1AB есть угол между прямой AB1 и плоскостью ABC и равен 45. • MC1 ┴(DD1C), FC1-проекция , <СFM есть угол между прямой MF и плоскостью DD1Cи равен 45. • MF||(DD1B), значит угол между ними равен 0. • AC┴(MKF),значит угол между прямой AC и плоскостью MKF равен 90. • AB ┴(BCC1),BC1-проекция , то <AC1B есть угол между прямой AC1 и плоскостью BCC1 • (AMF) ┴(AA1C1); (AMF) (AA1C1)=QA; A1H-проекция <A1AH есть угол между прямой AA1 и плоскостью AFM

8. Задача 3 • Дано:ABCA1B1C1-прямая призма; Δ ABC-основание <C= 900; <A=300; BC=2 ; K-середина СС1; B1K┴A1B • Найти:тангенс угла между прямой A1B и плоскостью основания призмы. • Решение: C2H2 =32+32-64cos 1200; C2H2=64=32=96; С2H= 4 ΔC2B1H: <B1= 900 ; B1H=A1B=B1C2 X2+x2=96; 2x2=96; x2=48; x=4 ΔAA1B: AA1= =4 tgα=AA1/AB; tgα=4/4 =1/ • Ответ:tgα=1/