四条腿的家俱问题

1. 四条腿的家俱问题

2. 椅子能在不平的地面上放稳吗？ • 四条腿的家俱，如椅子、桌子等，往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地。 • 试建立数学模型加以解释。

3. [模型假设] • 1.椅子四条腿一样长； • 2.椅脚与地面接触处视为一点； • 3.四脚的连线呈长方形; • 4.地面光滑，即地面高度是连续变化的，可视为数学上的光滑曲面。 • 5.地面相对平坦，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。

4. 问1：选择什么量来表示长方形椅子位置的改变？问1：选择什么量来表示长方形椅子位置的改变？ • 用长方形绕它的对称中心O旋转代表椅子位置的改变。 • 问2：这种改变如何量化？ • 以对角线AC为x轴，中心O为原点，建立直角坐标系。 • 长方形ABCD绕O逆时针旋转角θ后，转至A1B1C1D1的位置，则AC与x轴正半轴的夹角θ表示了椅子位置的改变。

5. 问3：椅子在某一位置是否着地如何量化？ • 一只椅脚着地，则它到地面的竖直距离为0，否则大于0。 A,B，C，D到地面的距离分别是关于θ的连续函数，且对于任意θ，其函数值至少有三个为0。 记A,B 与C，D两脚到地面距离之和分别为f(θ) 与g(θ), 它们都是连续函数。 注意：对任意θ，f(θ)g(θ)=0

6. 已知f(θ)和g(θ)是θ的连续函数，且g(0)=0，f(0)>0，那么一定存在α，使f(α)= g(α)=0。 • 注意f(π)=g(0)=0，g(π)=f(0)>0 • 令h(θ)=f(θ)-g(θ), • 则h(θ)是关于θ的连续函数， • 且h(0)=f(0)-g(0)>0, • h(π)=f(π)-g(π)<0， • 于是存在α，使h(α)=0 • 即 f(α)= g(α)。f(α)=g(α)=0。

7. 进一步思考 • 思考1：是否有另外的函数模型？ • 取对角线顶点到地面的距离之和。 • 思考2：四脚连线还可以是什么图形时，结论依然成立？ • 如：中心对称图形

8. 双煎饼问题 • 桌面上放着若干块不重叠的任意形状的均匀煎饼，问能否一刀将这些煎饼同时平分？ • 抽象为数学问题是： • 在平面α放置着若干个任意形状的不重叠的封闭图形，问能否用一直线将它们的面积同时平分？

9. 问题探索设计 • 1.确定多少个图形才有可能用一条直线将它们同时平分？ • 三角形，四边形，圆形等等。 • 结论1：一个或两个。 • 2.考察平面上只有一个封闭图形的情形 • 可以平分，且方式多样。 • 3.双煎饼问题 • 平面α放置着两个任意形状的封闭图形Q和P，证明一定能找到一条直线将它们同时平分。

10. 向高维推广 • 对于空间的任意位置放置着的三个任意形状的封闭图形Q、P和R，一定可以找到一个平面将它们的体积同时平分。 • 该推广被数学家戏称为“三明治问题”。 • 意指必有一刀切下去，能把一个火腿三明治的火腿及上、下底面的两块面包各分为一半。

11. 在平面α上，图形Q与P之间取定一点O,过O画水平数轴OX0。将射线OX0绕O逆时针旋转至OX,OX0到OX的角为θ（00≤θ≤1800）。在平面α上，图形Q与P之间取定一点O,过O画水平数轴OX0。将射线OX0绕O逆时针旋转至OX,OX0到OX的角为θ（00≤θ≤1800）。 可找到平分P、Q且与OX垂直的直线lP,lQ，垂足分别为BP与BQ，则BP与BQ的坐标是关于θ的函数，分别设为P(θ)与Q(θ)，可知P(θ)与Q(θ)均为连续函数。且P(1800)=-P(00)，Q(1800)=-Q(00).问题转化为，找到θ0,使得P(θ0)=Q(θ0)。 令R(θ)=P(θ)-Q(θ)，则它是关于θ的连续函数。 R(00)=P(00)-Q(00)=-P(1800)+Q(1800)=-[P(1800)-Q(1800)]=-R(1800),即R(00)R(1800)≤0，所以必定存在θ0∈[00,1800]，使R(θ0)=0，即P(θ0)=Q(θ0)。此时图形P的平分线与Q的平分线合一，该直线将图形Q和P同时平分。