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10.6 二阶电路微分方程的建立

10.6 二阶电路微分方程的建立. 初始值为：. 由 KVL ：. 令左式 t=0, 得：. RLC 串联电路. 选 i L 作变量：. 求一次导数，得：. 二阶微分方程. 初始条件. 初始值为：. 由 KVL ：. 建立网络方程. RLC 串联电路. 选 u C 作变量：. 二阶微分方程. 初始条件. 初始值为：. 令左式 t=0, 得：. 建立网络方程. RLC 并联电路. 由 KCL ：. 选 u C 作变量：. 求一次导数，得：. 二阶微分方程. 初始条件. 初始值为：. 建立网络方程. RLC 并联电路.

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10.6 二阶电路微分方程的建立

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  1. 10.6 二阶电路微分方程的建立 初始值为： 由KVL： 令左式 t=0, 得： RLC串联电路 选 iL作变量： 求一次导数，得： 二阶微分方程 初始条件

  2. 初始值为： 由KVL： 建立网络方程 RLC串联电路 选 uC作变量： 二阶微分方程 初始条件

  3. 初始值为： 令左式 t=0, 得： 建立网络方程 RLC并联电路 由KCL： 选 uC作变量： 求一次导数，得： 二阶微分方程 初始条件

  4. 初始值为： 建立网络方程 RLC并联电路 由KCL： 选 iL作变量： 二阶微分方程 初始条件

  5. 两网络及方程的对偶关系 对偶关系 对偶关系

  6. 网络的固有频率 • RLC串联电路： • 两个微分方程的特征方程都为： 对偶关系 令 特征根： 对偶关系 称为网络的固有频率或自然频率。 • RLC并联电路： • 两个微分方程的特征方程都为： 令 特征根： 称为网络的固有频率或自然频率。

  7. 10.7零输入响应 形式之一：过阻尼 特征根： 若 即： RLC串联电路 RLC并联电路 S1，S2 是不等的负实根。 零输入响应的通解为：

  8. 零输入响应的四种形式之二：临界阻尼 特征根： 若 即： RLC串联电路 RLC并联电路 S1 = S2 = - 是重根。 零输入响应的通解为：

  9. 零输入响应的四种形式之三：欠阻尼 特征根： 若 即： RLC串联 RLC并联电路 令： 一对共轭复数。 零输入响应的通解为： 其中：为衰减系数， d为振荡频率。 衰减振荡

  10. 零输入响应的四种形式之四：无阻尼 特征根： 若 即： RLC串联 RLC并联电路 令： 一对共轭虚数。 零输入响应的通解为： 波形是等幅振荡的

  11. 例题 1 电路如图所示，它的固有响应的性质是_____。 B （A）过阻尼 （B）欠阻尼 （C）临界阻尼 （D）无阻尼

  12. 例题 2（自测题10-20） 如图所示电路中的二极管是理想的，其中_____电路中的二极管有时能导通，_____电路中的二极管不会导通。 B A + - + - S S 图A 图B 只要电路是振荡的，二极管才有可能导通。 可见，图B为欠阻尼，图A为过阻尼。

  13. 例题 3 （自测题10-21） 二阶电路的电容电压 uC的微分方程为 此电路属______情况。 B （A）过阻尼 （B）欠阻尼 （C）临界阻尼 （D）无阻尼 特征方程为： 可见特征根为一对共轭复数。故选B。

  14. 10.8 二阶电路电路的全响应 已知： 由KVL： 通解为： 通解＝特解＋齐次解， 即： 特解为稳态解， 设特征根为：S1，S2则齐次解为： 故通解为： 这是二阶非齐次线性常系数微分方程。

  15. (1) 过阻尼： (2) 临界阻尼： (3) 欠阻尼： (4) 无阻尼： 的曲线如图所示： 全响应的四种情况 按特征根的不同，有四种情况：

  16. 二阶电路的解法 • 主要研究RLC串联电路和RLC并联电路；由于这两个基本电路如何选变量、建立电路方程、求解过程都有详细的结论。故其它形式的电路尽量转化成这两个基本电路，应用已有的结论进行分析计算。 • 二阶电路的响应形式由特征根确定，即由R与L、C的关系确定。其后才确定响应的通解形式，用初始值确定积分常数。 • 一般的二阶电路的求解比较麻烦，要列写出电路的微分方程就不容易。故一般不研究。这部分内容用拉普拉斯变换方法求解就简单了。放在《信号与系统》课程中学习。

  17. 电路如图所示，由t=0至t=1s期间开关与a接通。在t=1s时，开关接至b。已知uC(0+)=10V以及t1时，iL=0，试计算uC(t)，t0+，并绘波形图。电路如图所示，由t=0至t=1s期间开关与a接通。在t=1s时，开关接至b。已知uC(0+)=10V以及t1时，iL=0，试计算uC(t)，t0+，并绘波形图。 例 10-15 解：在 0t1s，如图为RC放电电路 =RC=1s 故有 uC(t)=10e-t V t1s: 初始值为 uC(1+) = uC(1-)=10e-1 V iL(1+) =0 通解：R=0，无阻尼情况。特征根为 s1,2=j1 • uC(t)=Kcos[(t-1)+] 10e-1= Kcos 0 = -Ksin 代入初值： • 解得： =0 • K=10e-1 所以， uC(t)=10e-tcos(t-1) V t1s 波形如图所示。

  18. 用MATLAB求解微分方程 • 例10-16的微分方程为 • 初始值为 • 函数 dsolve( ) uc=dsolve('0.25*D2u+5*0.25*Du+u=24','u(0)=4','Du(0)=16')

  19. 用MATLAB求解微分方程 %R=5 uc1=dsolve('0.25*D2uc+5*0.25*Duc+uc=24','uc(0)=4','Duc(0)=16') ic1=0.25*diff(uc1) %R=4 uc2=dsolve('0.25*D2uc+4*0.25*Duc+uc=24','uc(0)=4.8','Duc(0)=19.2') ic2=0.25*diff(uc2) %R=1 uc3=dsolve('0.25*D2uc+1*0.25*Duc+uc=24','uc(0)=12','Duc(0)=48') ic3=0.25*diff(uc3)

  20. 用MATLAB求解微分方程 % 电压波形 figure(1) t=linspace(0,9,300); u1=subs(uc1);u2=subs(uc2);u3=subs(uc3); plot(t,u1,t,u2,t,u3,'linewidth',2),grid title('电容电压的波形'),xlabel('Time(sec)'),ylabel('uc(V)') % 电流波形 figure(2) i1=subs(ic1);i2=subs(ic2);i3=subs(ic3); plot(t,i1,t,i2,t,i3,'linewidth',2),grid title('电容电流的波形'),xlabel('Time(sec)'),ylabel('ic(A)')

  21. 用MATLAB求解微分方程 • 计算结果 >> uc1 = 24-64/3*exp(-t)+4/3*exp(-4*t) ic1 = 16/3*exp(-t)-4/3*exp(-4*t) uc2 = 24-96/5*exp(-2*t)-96/5*exp(-2*t)*t ic2 = 24/5*exp(-2*t)+48/5*exp(-2*t)*t uc3 = 24-12*exp(-1/2*t)*cos(1/2*15^(1/2)*t)+28/5*15^(1/2)*exp(- 1/2*t)*sin(1/2*15^(2)*t) ic3 = 12*exp(-1/2*t)*cos(1/2*15^(1/2)*t)+4/5*15^(1/2)*exp(-1/2*t)*sin(1/2*15^(1/2)*t)

  22. 用MATLAB绘波形

  23. 用MATLAB绘波形

  24. 课堂练习 • 自测题10-18 • 自测题10-19 • 自测题10-22 • 自测题10-23 • 自测题10-24

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