Перпендикуляр і похила

1. Перпендикуляр і похила

2. Епіграф Геометрія, учителька точності, готує наш розум до глибинних досліджень природи. Т.Ф. Осиповський Головне значення перпендикуляра – це його роль у техніці і у всьому нашому вжитку. О.Д. Александров

3. Мета уроку • сформувати поняття перпендикуляра до площини; похилої; проекції похилої на площину; відстань від точки до площини; • установити взаємозв’язок між довжинами похилих, проведених з однієї точки до площини, і довжинами їхніх проекцій на площину. • розвивати вміння застосовувати здобуті знання для розв’язування задач.

4. Бліц-опитування 1. Сформулюйте означення перпендикулярних прямих. • 2. Дайте означення прямої, перпендикулярної до • площини. • 3. Сформулюйте ознаку перпендикулярності прямої • та площини. • 5. Скільки прямих, перпендикулярних до даної • площини, можна провести через дану точку?

5. Бліц-опитування • 6.Пряма перпендикулярна до двох сторін трикутника. Чи можна стверджувати, що ця пряма перпендикулярна до площини трикутника?

6. Бліц-опитування • 7. Пряма а перетинає площину α і перпендикулярна до прямої b, яка лежить у цій площині. Чи може пряма а не бути перпендикулярною до площини α? • а b α

7. Бліц-опитування • 8. Точка S лежить поза площиною ромбаАВСD, причомуSВВС, SВАВ, ВАD= 60°. Які з наведених тверджень правильні, а які – неправильні? • S  • 1) пряма SВ перпендикулярна до площини АВС; • С  • В • 2) пряма АВ перпендикулярна до площини SВС; • 3) пряма ВС перпендикулярна до площини АSВ;  • 60° • А • D  • 4) пряма SВ перпендикулярна до прямої ВD?

8. Бліц-опитування • 9. Точка Sлежить поза площиною трикутника АВС, причому SА АС, АВ АС, SА = SВ = АВ. Які з наведених тверджень правильні, а які - неправильні: • S  • 1) пряма SА не перпендикулярна до площини АВС; • А  • С • 2) пряма АВ перпендикулярна до площини SАС; • 60°  • 3) пряма АС перпендикулярна до площини SАВ;  • 4) пряма ВС перпендикулярна до площини АSС? • В

9. Математичний диктант • Дано: АВСDMNLK– прямокутний паралелепіпед, АВСD – квадрат. • Користуючись зображенням, запишіть: • 1) площину, яка проходить через точку М прямої АМ і перпендикулярна до неї; (MNK) • N • L • 2) пряму, яка перпендикулярна до площини АВС і проходить через точку D; KD • М • K • 3) пряму, яка перпендикулярна до площини АВС і проходить через точку N; BN • 4) площину, яка перпендикулярна до прямої ВD; (ACM) • В • С • 5) прямі, які перпендикулярні до площини АМС; BD і KN • А • D • 6) площини, які перпендикулярні до прямої DС. (ADK) і (BCL)

10. Повторення планіметричного матеріалу • А • Як називають відрізок АВ? • Як називають відрізок АC? • Як називають точку В, точку С? • а • Як називають відрізок ВC? • В • С • Скільки перпендикулярів можна провести з даної точки до даної прямої?

11. Повторення планіметричного матеріалу • А • Скільки похилих можна провести з даної точки до даної прямої? • а • Скільки рівних похилих можна провести з даної точки до даної прямої? • В • С • Якщо до прямої з однієї точки проведені перпендикуляр і похила, то що більше: перпендикуляр чи похила?

12. Повторення планіметричного матеріалу • А • Якщо похилі, проведені з однієї точки до даної прямої, рівні, то що можна сказати про їх проекції? • а • D • В • С • Якщо проекції у похилих різні, то яка похила буде більша?

14. Перпендикуляр і похила до площини • Перпендикуляром, проведеним з даної точки до даної площини, називається відрізок, що сполучає дану точку з точкою площини і лежить на прямій, перпендикулярній до площини. • А • В • С • АВ - перпендикуляр • α • Точка В – основаперпендикуляра • Відстанню від даної точки до площини називається довжина перпендикуляра, проведеного з даної точки до даної площини.

15. Перпендикуляр і похила до площини • Похилою, проведеною з даної точки до даної площини, називається будь-який відрізок, який сполучає дану точку з точкою площини і не є перпендикуляром до площини. • А • АС - похила • В • С • Точка С – основа похилої • α Відрізок, який сполучає основи перпендикуляра та похилої, проведених з однієї і тієї самої точки, називають проекцією похилої. • ВС – проекція похилої

16. Властивості перпендикуляра й похилої Якщо з точки, взятої поза площиною, проведено до площини перпендикуляр і похилі, то: • перпендикуляр коротший за будь-яку похилу; • проекції рівних похилих є рівними й, навпаки, похилі, що мають рівні проекції, є рівними; • з двох похилих більша та, проекція якої більша. а b b а c а b c d d c c > a, c > b • Якщо a = b, то c = d • Якщо c = d , то a = b • Якщо c > d , то a > b • Якщо a >b, то c > d

17. Властивості перпендикуляра й похилої На відміну від площини, де з даної точки до прямої можна провести тільки дві рівні похилі, у просторі з точки до площини можна провести нескінченну множину рівних похилих, основи яких утворюють коло. • а

18. Властивості перпендикуляра й похилої Властивості перпендикуляра і похилої застосовуються на практиці. Наприклад, якщо встановлюють щоглу на радіостанції, то стяжки беруть рівної довжини. Нижні кінці їх закріпляють на однакових відстанях від основи щогли (рівномірно по колу). Це сприяє стійкості щогли.

19. Розв’язування задач З точки М, що не належить площині, проведені дві похилі МВ і МА та перпендикуляр МО. 1.Яка точка є проекцією точки М? 2.Назвіть відрізок, довжина якого дорівнює відстані від точки М до площини α? • М 3.Якщо МА = 9 см, МВ = 12 см, то яка проекція буде більша? 4.Якщо АО = 3 см, ОВ = 1 см, то яка похила більша? • О • А • В 5.Якщо МА : МВ = 5 : 6, то яка проекція буде менша? • α

20. Розв’язування задач Дано куб АВСDA'B'C'D'. Укажіть проекцію діагоналі B'D на площину: а) АВС б) ВВ'С' в) DD'C' г) AA'D' д) AA'B' е) A'D'C' • В'C • В' • С' • A'D • А' • D' • A В' ВD • В • С • В' D' • А • D • C' D

21. Розв’язування задач • Розв’язання простіших задач на похилу та її проекцію на площину зводиться до розв’язання прямокутного трикутника, сторонами якого є похила, її проекція на площину і перпендикуляр до площини. • Якщо такого трикутника немає на малюнку, то, щоб його утворити, проводимо допоміжні відрізки.

22. Розв’язування задач • А Задача 1. Знайдіть довжину похилої, якщо довжина перпендикуляра дорівнює 6 см, а проекції похилої на площину – 8 см. • В • С • α

23. Розв’язування задач • А • Задача 2. • Знайдіть довжину перпендикуляра, якщо довжина похилої становить 17 см, а її проекції на площину – 15 см. • В • С • α

24. Розв’язування задач • Задача 3. • З вершини Aквадрата АВСD проведено перпендикуляр KAдо його площини. Знайдіть відстань CK, якщо KAдорівнює 6 см, а сторона квадрата - 4 см. • K • B • A • D • C

25. Розв’язування задач • Якщо в задачі йдеться про дві похилі, проведені з однієї точки до площини, то розглядаємо два прямокутних трикутники, спільним катетом яких є перпендикуляр, опущений з даної точки на площину. • А • З ∆АОВ та ∆АОС: • АО2 = АВ2 – ОВ2 = АС2 – ОС2 • В • О • С

26. Розв’язування задач • А • Задача 4. • З точки до площини проведені дві похилі, які дорівнюють 10 см і 17 см, а їх проекції відносяться, як 2:5. Знайдіть відстань від даної точки до площини. • D • B • C • α

27. Розв’язування задач • Якщо дано кілька рівних похилих, проведених з точки до площини, то їх кінці лежать на колі, центром якого є основа перпендикуляра, опущеного на площину зі спільної точки похилих. • М • Якщо МА = МВ = MD = MC, • то OA = OB = OC = OD = R • D • А • С • О • В

28. Розв’язування задач Задача 5. З даної точки до площини проведено три рівні похилі довжиною 14 см. Відстані між кінцями похилих дорівнюють 9 см. Знайдіть відстань від даної точки до площини. • X • С • В • О • А

29. К р о с в о р д 2. Похилі, які мають рівні проекції, ………. . 1. Найкоротша відстань від точки до площини. 3. Трикутник це геометрична ………. . 4. Кінець перпендикуляра, що лежить у площині. 5. Одна із сторін прямокутного трикутника. 6. Відрізок, який сполучає дану точку, з точкою площини, але не перпендикуляр. 7. Відрізок, що сполучає основи перпендикуляра і похилої, проведених з однієї точки. І Ф А Г О Р П Ключове слово:

30. Домашнє завдання Вивчити § 38, розв'язати задачі №223, №241, ст. 209.

31. Дякуємо за урок!