江苏省扬中高级中学卞国文

2012年高考辅导讲座 平面向量江苏省扬中高级中学卞国文

[考试内容] 向量：向量的加法与减法，实数与向量的积。平面向量的坐标表示。线段的定比分点。平面向量的数量积。平面两点间的距离平移。

[考试要求] 1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。 2、掌握向量的加法和减法。 3、掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。 4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。

5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。 6、掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用。掌握平移公式。

[学习指导] 1、本讲重点；向量的概念，加法和减法，共线的充要条件，向量的坐标运算，数量积，垂直的充要条件。定比分点和中点坐标公式，平移公式。 2、本讲难点：将重要的概念、公式、条件、方法与几何、解析几何、三角函数、复数等知识的综合运用。

3、剖析：向量这部分内容为必修教材中的新增知识。由于其应用的广泛性（如相关学科中的物理等），故引进高中学习，并成为考试的重点，热点之一。尤其是运用向量知识分析解决问题更为人们一致看好，下面着重对应用向量知识，分析解决问题举例如下。3、剖析：向量这部分内容为必修教材中的新增知识。由于其应用的广泛性（如相关学科中的物理等），故引进高中学习，并成为考试的重点，热点之一。尤其是运用向量知识分析解决问题更为人们一致看好，下面着重对应用向量知识，分析解决问题举例如下。

y B(0,a) P(x,a-x) x O A(a,0) [典型例题分析] 例1、已知平面内两点A、B的坐标分别为(a,0)，(0,a)（其中常数a>0），线段AB上有一动点P，满足AP=tAB，其中（0≤t≤1）求OP·OA的最大值。

解：如图，设0为坐标原点，A(a,0),B(0,a)由AB=y=-x+a，设P点坐标为(x,a-x)解：如图，设0为坐标原点，A(a,0),B(0,a)由AB=y=-x+a，设P点坐标为(x,a-x) AB=(-a,a)，AP=(x-a,a-x)；由AP=tAB得 x-a=t(-a) a-x=ta OA=(a,0) OP=(x,a-x) 则OA·OP=ax+0(a-x)=ax=(1-t)a2(0≤t≤1) 当t=0时，OA·OP最大=a2。说明：本题主要考查直线方程，向量的数量积，向量的坐标运算，函数的最值。

例2、已知两点M(-1,0),N(1,0)且点p使MP·MN，PM·PN，NM·NP成公差小于零的等差数列。例2、已知两点M(-1,0),N(1,0)且点p使MP·MN，PM·PN，NM·NP成公差小于零的等差数列。（I）点P的轨迹是什么曲线？（II）若点P的坐标为(x0,y0)，θ为PM与PN的夹角，求tanθ

解：（I）记P(x,y),由M(-1,0),N(1,0)得PM=-MP=(-1-x,-y) PN=-NP=(1-x,-y)，MN=-NM=(2,0)，所以，MP·MN=2(1+x)，PM·PN=x2+y2-1，NM·NP=2(1-x)，于是MP·MN，PM·PN，NM·NP是公差小于零的等差数列等价于 x2+y2-1= [2(1+x)+2(1-x)] x2+y2=3 2(1-x)-2(1+x)<0 x>0 所以，点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆。即

(II)点P的坐标为(x0,y0) PM·PN=x02+y02-1=2

说明：本题主要考查向量的数量积，二次曲线和等差数列等基础知识，以及综合分析和解决问题的能力。其中向量与解析几何的综合是目前复习中不可忽视的一类题型。向量作为工具性知识与立几，解几的综合体现了现代数学思想，其作用是重大的。说明：本题主要考查向量的数量积，二次曲线和等差数列等基础知识，以及综合分析和解决问题的能力。其中向量与解析几何的综合是目前复习中不可忽视的一类题型。向量作为工具性知识与立几，解几的综合体现了现代数学思想，其作用是重大的。

解：设交点M的坐标为M(x,y)，依题意 AM·BC=0 (x,y)·(a-c,b)=0 CM·AB=0 (x-a,y-b)·(c,0)=0 (a-c)x+by=0 解得 x=a c(x-a)=0 y= 故填答案(a, ) y C M (0) A B x 例3、在ABC中，A(0,0),B(c,0),C(a,b)则△ABC三条高的交点坐标为。

说明：如果AB边不在x轴上，用传统方法求解运算相当繁杂且要考虑斜率不存在的情况，而用向量求解避开了讨论斜率存在与不存在的两种情况，且运算简单，切入点低。说明：如果AB边不在x轴上，用传统方法求解运算相当繁杂且要考虑斜率不存在的情况，而用向量求解避开了讨论斜率存在与不存在的两种情况，且运算简单，切入点低。

解：易知F1(- ,0)，F2( ,0)设点P的坐标为(x,y)，则∠F1PF2为钝角的充要条件是PF1·PF2<0 ∵PF1=(- -x,0-y)，PF2=( -x,0-y) ∴(- -x)( -x)+(0-y)(0-y)<0 即x2-5+y2<0① 又因为 ② 故由①，②得例4、椭圆的焦点为F1，F2，点P为其上动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是。

说明：本题若用传统方法，可以有几种解法，用向量来解，切入点低，且避免了直线斜率不存在的讨论，今后应注意，向量这一工具性知识在解题过程中的应用。说明：本题若用传统方法，可以有几种解法，用向量来解，切入点低，且避免了直线斜率不存在的讨论，今后应注意，向量这一工具性知识在解题过程中的应用。

例5、设a=(1+cosα,sinα)，b=(1-cosβ,sinβ)，c=(1,0)，α∈(0, π)，β∈(π,2π)，a与c的夹角为θ1，b与c的夹角为θ2，且θ1-θ2= ，求sin 的值。解:a=2cos (cos ,sin ),b=2sin (sin ,cos ) ∵α∈(0, π),β∈(π,2π) ∈(0, ), ∈(,π) 故|a|=2cos ,|b|=2sin

说明：计算两个向量的夹角问题，与三角函数有关，故向量可与三角函数的运算自然结合，使试题简洁优美。说明：计算两个向量的夹角问题，与三角函数有关，故向量可与三角函数的运算自然结合，使试题简洁优美。

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