定义 4.3 　含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程．未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程．微分方程中出现的未知函数导数 ( 或微分 ) 的最高阶数，称为微分方程的阶．

　　一阶微分方程的一般形式为 . 4.5.1基本概念定义4.3　含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程．未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程．微分方程中出现的未知函数导数(或微分)的最高阶数，称为微分方程的阶．

　　例如　　　　　　　， 都是一阶微分方程． 4.5.1基本概念定义4.4　如果一个函数代入微分方程后，使得方程两端恒等，则此函数称为该微分方程的解．

　　例如，　　　　，　　　　都是微分方程　　　的解．其中,　　　　含有一个任意常数，它称为该微分方程的通解，而　　　是　　　时，该微分方程的解，它称为该微分方程的特解． 4.5.1基本概念

　　一般，如果一阶微分方程的解中含有一 个任意常数，则称此解为微分方程的通解，在通解中，如果可确定任意常数的值，所得到的解称为微分方程的特解．为了确定任意常数的值，通常需给出　　　时未知函数对应的值　　，记作　　　　或　　　　．这一条件称为初始条件． 4.5.1基本概念

　　如果一阶微分方程　　　　　　可以化为 (4.5.1) 的形式，则　　　　　　称为可分离变量的微分方程．微分方程(4.5.1)称为变量已分离的微分方程．　　在(4.5.1)式两边积分，得，(4.5.2) 4.5.2可分离变量的一阶微分方程

其中　是任意常数．(4.5.2)就是微分方程 (4.5.1)的通解表达式．应注意，不定积分　　　　，　　　　分别表示　　和的一个原函数，任意常数　要单独写出来． 4.5.2可分离变量的一阶微分方程

例1　解微分方程　　　　　　． 解　原方程可改写为　　　　　　．分离变量，得．， 4.5.2可分离变量的一阶微分方程两边积分，得

，即　　　　　　　　　　　．　　记　　　　，则方程的通解为　　　　　． 4.5.2可分离变量的一阶微分方程

例2　解微分方程　　　　　　　　　　　． ，， 4.5.2可分离变量的一阶微分方程解　分离变量，原微分方程化为两边积分，得

，即　　　　　　　　　　　　．得　　　　　　　　　． 4.5.2可分离变量的一阶微分方程所以

解　原方程可化为　　　　　　　　． 分离变量，得例3　求微分方程　　　　　　　　　满足初始条件　　　　的特解．，， 4.5.2可分离变量的一阶微分方程两边积分，得

所以，　　　　是原方程的通解．由初始条件　　　，可得．故所求特解为　　　．可分离变量的微分方程往往具有或的形式．经过代数运算，它们都可以化(4.5.1)的形式． 4.5.2可分离变量的一阶微分方程

例4　设某厂生产某种商品的边际收入 函数为　　　　　　　，其中　为该种产品的产出量．如果该产品可在市场上全部售出．求总收入函数　　　．解　　　　　　　是变量已分离的微分方程．两边积分得． 4.5.2可分离变量的一阶微分方程

当　　　，应有　　　　．由此可得　　　． 所以，总收入函数为． 4.5.2可分离变量的一阶微分方程

例5设某水库的现有库存量为　(单位：　　），水库已被严重污染．经计算，目前污染物总量已达　（单位：吨），且污染物均匀地分散在水中．如果现已不再向水库排污，清水以不变的速度　（单位：　/年）流入水库，并立即和水库的水相混合，水库的水也以同样的速度　流出．如果记当前的时刻为　　．例5设某水库的现有库存量为　(单位：　　），水库已被严重污染．经计算，目前污染物总量已达　（单位：吨），且污染物均匀地分散在水中．如果现已不再向水库排污，清水以不变的速度　（单位：　/年）流入水库，并立即和水库的水相混合，水库的水也以同样的速度　流出．如果记当前的时刻为　　． 4.5.2可分离变量的一阶微分方程

(1)求在时刻　，水库中残留污染物的数量　　．(1)求在时刻　，水库中残留污染物的数量　　．解(1)根据题意，在时刻　　　，的变化率＝－(污染物的流出速度)．污染物流出速度=污水流出速度． 4.5.2可分离变量的一阶微分方程 (2)问需经多少年才能使用水库中污染物的数量降至原来的10%.

由此可得微分方程 ，．分离变量得两边积分,得，即　　　　　　　　，　　　． 4.5.2可分离变量的一阶微分方程

　　由题意，初始条件为　　　　，代入上式，得　　　，故微分方程的特解为　　由题意，初始条件为　　　　，代入上式，得　　　，故微分方程的特解为． (2)当污染物降至原来10%时，有　　　　　．代入上式得， 4.5.2可分离变量的一阶微分方程

　　例如，当水库的库存量　　　　　　，流入(出)速度为150(/年)时，可得　　(年)．　　例如，当水库的库存量　　　　　　，流入(出)速度为150(/年)时，可得　　(年)．解得　　　　　　　　　(年)． 4.5.2可分离变量的一阶微分方程

　　未知函数及其导数都是一次的微分方程，称为一阶线性微分方程．一阶线性微分方程　　未知函数及其导数都是一次的微分方程，称为一阶线性微分方程．一阶线性微分方程的一般形式为．　　(4.5.3) 如果　　　　，(4.5.3)式化为．　　　　(4.5.4) 4.5.3 一阶线性微分方程

(4.5.4) 式称为一阶线性齐次微分方程．当 　　时，(4.5.3)式称为一阶线性非齐次微分方程． 4.5.3 一阶线性微分方程

两边积分，得 ，所以方程(4.5.4)的通解为．　　　　(4.5.5) ， 4.5.3 一阶线性微分方程 1.一阶线性齐次微分方程的通解(4.5.4)分离变量后，化为

(4.5.3)的通解可以利用“常数变易法”得到：首先求得微分程(4.5.3)对应的一阶线性齐次方程　　　　　　　的通解(4.5.5)，然后将(4.5.5)式中的任意常数　换为待定的函数　　　　．即设方程 (4.5.3)的通解为．　　　(4.5.6) 4.5.3 一阶线性微分方程 2.一阶线性非齐次方程的通解

因此．(4.5.7) 将(4.5.6)式和(4.5.7)式代入(4.5.3)，得即　　　　　　　　　　　　　， 4.5.3 一阶线性微分方程

两边积分，得 ，将上式代入(4.5.6)式，得．(4.5.8) 可以验证，(4.5.8)就是非齐次方程(4.5.3)的通解． 4.5.3 一阶线性微分方程

例6　求微分方程　　　　　　　的通解． 解　先解对应的一阶线性齐次方程，可得其通解为　　　　． 令原方程的通解为，则　　　　　　　　　　　　． 4.5.3 一阶线性微分方程

　　将　和　代入原方程，原方程化为 ，即，所以．　　于是原方程的通解为． 4.5.3 一阶线性微分方程

例7　求微分方程　　　　　　　　　的通解．例7　求微分方程　　　　　　　　　的通解．解法1先求对应的齐次方程的通解．由，分离变量，得， 4.5.3 一阶线性微分方程

．因此，对应的齐次方程的通解为． 4.5.3 一阶线性微分方程两边积分，得

　　令　　　　　　，则 ．将　和　代入原方程，得，即　　　　　　　　　　　．两边积分，得　　　　　　．所以，原方程的通解． 4.5.3 一阶线性微分方程

　　解法2用公式(4.5.8)求方程的通解，由于 ，，易求， 4.5.3 一阶线性微分方程

代入公式(4.5.8)，则原方程的通解为 ． 4.5.3 一阶线性微分方程

定义 4.3 含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程．未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程．微分方程中出现的未知函数导数 ( 或微分 ) 的最高阶数，称为微分方程的阶．