第二篇动态电路

第二篇动态电路 第五章动态电路的时域分析第六章动态电路的复频域分析第七章动态电路的状态变量分析

第五章动态电路的时域分析 5.1 动态元件 5.2 动态电路方程 5.3 动态电路的初始状态和变量初始值 5.4 一阶动态电路的零输入响应 5.5 一阶动态电路的零状态响应 5.6 一阶动态电路的全响应 5.7 二阶动态电路的响应 5.8 高阶电路的响应

S=1/C，称为倒电容(inverse capacitance) 单位为倒法[拉]（F1）或记忆特性：上式表明，线性非时变电容元件在t时刻的电压值取决于从 –∞ 到t时刻的电流值。即电容电压u与电容元件的电流i历史有关;电容元件具有“记忆”电流的性质，是一种记忆元件(memory element)。当t<0时，电流的积累可以用初始电容电压来反映。

当t0=0时，在t时刻有 电容电压的连续性：在t+△t时刻有如果在时间区间[t，t+∆t]内，电流i均为有限值，即（M为有限常数）那么当∆t→0时，就有∆u→0。表明只要电容电流是有界函数，电容电压就是连续函数，不会跳变。

非零初始电压电容元件的等效电路 具有初始电压的电容可以等效成无初始电压的电容与电压源的串联。 • 若干个没有初始储能的电容并联

或 • 若干个没有初始储能的电容串联

1.特性方程为 或 2.伏安关系二、线性时变电容元件线性时变电容元件：如果电容元件的库伏特性曲线是随时间变化，通过原点的直线。

1.特性方程为 荷控电容压控电容单调型电容既非荷控又非压控电容三、非线性电容元件非线性电容元件:电容元件如果其库伏特性不是线性。符号非线性电容也可按其库伏关系的性质:

在时间间隔[t0，t]内，电容元件吸收的能量为 若q(t0)=0,则四、电容元件的能量 1.瞬时功率(instantaneous power) 若电容电流和电压取一致参考方向，当pC>0时，电容吸收功率；当pC <0时，电容发出功率。电容元件中储存的能量如图中阴影部分的面积。

如果电容元件的库伏特性曲线通过原点位于第一或第三象限，它所储存的能量总是正的，这种电容元件称为无源电容元件。若为线性非时变电容元件，则有上式表明，当电压一定时，电场能与电容C成正比，电容C的大小反映电容储存电场能的能力。电场能的大小只取决于电容端电压的瞬时值。与电压的建立过程无关；也与电容中的电流无关。

(a) (b) 例5.1.1如图 (a)所示电路中电容与电压源连接，已知电压源电压波形如图 (b)所示，试求电容电流及电容的储能。解由图(b)所示波形曲线，可求得电压源电压的表达式为

电容电流随时间变化的波形曲线 则电容电流为：

电容储能随时间变化的波形曲线 则电容的储能为：

例5.1.2如图(a)所示电路中电容与电流源连接，已知电流源电流波形如图(b)所示，试求电容电压及电容吸收的功率。假设u(0)=0V。例5.1.2如图(a)所示电路中电容与电流源连接，已知电流源电流波形如图(b)所示，试求电容电压及电容吸收的功率。假设u(0)=0V。解：由图(b)所示波形曲线，可求得电流的表达式为

当0.5s≤t≤1s时 电容电压随时间变化的曲线如图中实线所示当0≤t<0.5s时

当0.5s≤t≤1s时 电容吸收的功率随时间变化的曲线如图中虚线所示电容吸收的功率为当0≤t<0.5s时

1.特性方程 或 5.1.2电感元件定义：一个二端元件，如果在任一时刻t，它的磁通(flux)与流过它的电流i之间的关系是由-i平面（或i-平面）上的一条曲线所确定，则此二端元件称为电感元件(inductor)。这条曲线称韦安特性曲线。一、线性非时变电感元件 L是与磁通和电流无关的电路参数。

动态特性： 上式表明，t时刻的电感电压i取决于该时刻电感电流i随时间t的变化率，称为动态元件。或 2.伏安关系电流i和电压u取一致参考方向线性非时变电感元件中的u和i之间的关系也可用积分形式表示 Г=L-1，称为倒电感(inverse inductance)

电感电流的连续性： 当t0=0时如果在时间区间[t，t+∆t]内，u均为有限值，即记忆特性：线性非时变电感元件在t时刻的电流值取决于从 –∞ 到t时刻的电压值。即电感电流i与电感元件的使用历史有关，可通过电感电压在时刻t以前的全部历程来反映。电感元件具有“记忆”电压的性质，是一种记忆元件。那么当∆t→0时，就有∆i→0。即只要电感电压是有界函数，电感电流就是连续函数，不会跳变。

非零初始电流电感元件的等效电路 具有初始电流的电感可以等效成无初始电流的电感与电流源的并联。 • 若干个没有初始储能的电感串联

或 • 若干个没有初始储能的电感并联

1.特性方程 或 2.伏安关系二、线性时变电感元件线性电感元件的韦安特性曲线是随时间变化，通过原点的直线。

1.特性方程 非线性电感也可按其韦安关系的性质: 磁控电感流控电感单调型电感非流控的又非磁控三、非线性电感元件电感元件如果其韦安特性不是线性的就称为非线性电感元件。符号

在[t0，t]内，电感元件吸收的能量为 若(t0)=0，则四、电感元件的能量 1.瞬时功率电流和电压取一致参考方向当pL>0时，电感吸收功率；当pL<0时，电感发出功率。如果电感元件的韦安特性曲线通过原点位于第一或第三象限，这种电感元件称为无源电感元件。

若电流和电压取一致参考方向 （1）当pL>0时，wL增加，外电路供给电感能量；（2）当pL<0时，wL减少，电感中的磁场能返回给外电路；（3）当pL=0时，wL为常数，电感元件储能保持不变，与外电路间无能量交换线性非时变电感元件上式表明，当电流一定时，电感元件中储存的磁场能与电感L成正比，电感L的大小反映了电感储能的能力；电感储能的大小只取决于电感电流的瞬时值，与电流的建立过程无关，也与电感中的电压无关。

解：由输出回路可得： 可得：其中L=r2C 例5.1.3在图所示电路中，回转器的输出端口接有一个电容元件C，试求回转器输入端口的电压-电流关系。代入回转器的输入输出关系式可看出：从回转器输入端口的电压电流关系看相当于一个电感为L=r2C的电感元件。

它们之间的关系可表示为 5.1.3 耦合电感元件如果两个线圈或两个以上线圈中每个线圈所产生的磁通都与另一个线圈相交链，则称这些线圈有磁耦合(magnetic coupling)或者说具有互感(mutual induction) 电感元件1的磁通1及电感元件2的磁通2分别由两个电感元件中的电流i1和i2共同产生。

一、线性耦合电感元件 线性耦合电感，每一电感元件的磁通可以表示为自感磁通与互感磁通之代数和，且自感磁通、互感磁通均与电流之间呈现线性函数关系，即式中，L1和L2分别为线圈1和线圈2的自感(self inductance)；M12、M21为线圈1和线圈2之间的互感(mutual inductance)。可以证明M12=M21 以后将不加区别地用M表示耦合电感元件的互感

用矩阵形式表示为 自感L1和L2恒为正值，但是互感M既可为正又可为负。（1）如果互感为正，自感磁通和互感磁通相互加强；（2）如果互感为负，互感磁通是对自感磁通的减弱。

M>0 M<0 由于互感M的正负，不仅和电感元件中的电流流向有关，而且和相耦合线圈的相对绕向、相对位置有关。在实际情况下，线圈的绕向通常是很难观察出来的，并且用来表示耦合电感元件的电路符号，也无法表示线圈的绕向。为了解决这个问题，在耦合电感每个线圈的端钮上用同名端加以标记。同名端(corresponding terminals):当两个线圈的电流i1和i2同时流进或流出这两个端钮时，它们产生的磁通是互相增助。同名端一般用符号“·”或“*”作为标记。

此时有 耦合系数(coefficient of coupling)k：为了反映互感耦合的程度。 0≤ k ≤1 （1）当k =1时，为全耦合；（2）当k接近1时，称为紧耦合（3）当k值较小时，称为松耦合；（4）当k =0，即两电感元件的轴线相互垂直时，两线圈无磁耦合。全耦合(perfectly coupled):当两个相耦合电感元件的磁通全部相互交链。

或用符号表示为 三个线圈组成的线性耦合电感元件磁通与电流的关系：矩阵形式表示为

端口电压、电流取一致参考方向时，有 式中，u11及u22称为自感电压；u12及u21称为互感电压。 称为磁通向量，i称为电流向量，L为一方阵，称为电感矩阵。位于矩阵主对角线上的元素Ljj为各个电感元件的自感， Lij其他元素则为元件之间的互感。 1. 线性耦合电感元件端口电压电流关系

端口电压表示端口电流的耦合电感元件的矩阵方程为端口电压表示端口电流的耦合电感元件的矩阵方程为式中，i为电流向量，i(0)为0时刻电流向量，u为电压向量也可表示为式中，u=[u1，u2]T称为电压向量，i=[i1，i2]T称为电流向量受控电压源表示去耦的等效电路模型：

倒电感矩阵(inverse inductance matrix)： i = Г 式中，Г=L-1，称倒电感矩阵。若i(0)=0，则受控电流源表示的去耦的等效电路模型

顺接反接串联等效电感为：顺接：互感M为正值；反接：互感M为负值。 2. 线性耦合电感元件的串联和并联（1）线性耦合电感元件的串联

并联等效倒电感为： （2）线性耦合电感元件的并联设：i1(0)=i2(0)=0

(a) (b) (c) 由：用等效电感表示耦合电感元件的并联

注意：(a)中电流i1、i2从耦合电感的同名端流入，互感M取正值，图(b)中电流i1、i2从耦合电感的异名端流入，互感M取负值。 3. 线性耦合电感元件的T形去耦等效和形去耦等效（1）线性耦合电感元件的T形去耦等效电路

上图端口电压电流关系为

(a) (b) 注意：图中互感M的正负取决于两耦合元件的连接，与流经它们的电流方向无关。当图(a)中的公共端钮为同名端连接时，图(b)中的M 0；图(a)中的公共端钮为异名端连接时，图(b)中的M 0 （2）线性耦合电感元件的形去耦等效电路设：i1(0)=i2(0)=0

图示端口电压电流关系为

(a) (b) 注意：图中互倒电感12=21的正负取决于两耦合线圈的连接，与流经它们的电流方向无关。当图(a)中的公共端钮为同名端连接时，图(b)中的12210；图(a)中的公共端钮为异名端连接时，图(b)中的12210。 T形和形去耦等效电路的局限性在于两个耦合电感元件必须有公共端钮。

根据电磁感应定律可得： 二、非线性耦合电感元件当两个耦合电感元件的磁路中含有某种铁磁物质时，耦合电感元件的磁通和流经的电流之间为非线性关系。

在[t0，t]内，耦合电感元件吸收的能量为 设：i1(0)、i2(0)都为零三、耦合电感元件的能量 1. 瞬时功率若耦合电感的电流和电压取一致参考方向，当p>0时，耦合电感吸收功率；当p<0时，耦合电感发出功率。

可得时刻t线性耦合电感元件所储存的能量为

5.2 动态电路方程 电路中除电阻元件外，还包含有电容和电感等动态元件，这样的电路称为动态电路。由于动态元件的电压电流关系都是导数关系或积分关系，所以描述动态电路输入输出关系的方程通常为微分方程。如果电路的输入-输出方程是一阶微分方程，则称该电路为一阶电路(first order circuit)。如果输入-输出方程是n阶微分方程，则相应的电路称为n阶电路(nth order circuit)。据此，图5.2.1所示电路为一阶电路，而图5.2.2所示电路则为二阶电路(secondorder circuit)。

5.3 动态电路的初始状态和变量初始值 换路(commutation)：在动态电路中，将开关的接通和断开，线路的短接或开断，元件参数值的改变等，引起电路工作状态变动的情况。设t=t0-表示换路前的瞬间，用t=t0+表示换路后的瞬间 t=t0-时的值，称为原始值，在t=t0+时的值，称为初始值动态电路在t=t0+时各独立电容电压uC(t0+)[或电荷q(t0+)]和各独立电感电流iL(t0+)[或磁通(t0+)]等初始值的集合称为电路的初始状态(initial state)。

在t=t0-时各独立电容电压uC(t0-)[或电荷q(t0-)]和各独立电感电流iL(t0-)[或磁通(t0-)]等原始值的集合称为电路的原始状态(original state) 在t=t0-时，各独立电容电压和独立电感电流都为零，则称为零原始状态(zero original state)，简称零状态(zero state) 换路定律(commutation law) 取t0=0，即电路在t=0时发生换路，当电容电流、电感电压为有限值时，则电容电压uC、电感电流iL具有连续性，即

(a) 初始值的确定：uC、iL的初始值可根据换路前t=t0-时的电路和换路定律求得。其他电路变量（如电容电流、电感电压、电阻电流和电压等）初始值，可根据换路后t=t0+时的电路，由uC、iL的初始值，基尔霍夫定律，元件电压电流关系，以及置换定理等来求得。例5.3.1：图(a)所示电路在开关S闭合前已稳定，已知US=12V，R1=4k，R2=2k，试求开关闭合后的电容电压初始值uC(0+)，及支路电流初始值iC(0+)、i1(0+)、i2(0+)

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