第四章工程图形技术

第四章工程图形技术 罗天洪博士副教授重庆交通大学机电与汽车工程学院

4.1三维几何造型技术 一、计算机内部表示及建模技术计算机内部表示：在计算机内部采用什么样的数字化模型来描述、存储和表达现实世界中的物体。模型：由数据、结构、算法三部分组成。建模技术：研究产品数据模型在计算机内部的建立方法、过程及采用的数据结构和算法。

二、建模方法及其发展 建模方法：几何建模和特征建模。主要的产品数据模型：二维模型、三维线框模型、曲面模型、实体模型、特征模型、集成产品模型。

4.1.1几何造型方法 一、线框模型线框模型是计算机图形学和CAD领域中最早用来表示形体的模型。它用顶点和棱边表示形体。定义　　线框建模是利用基本线素来定义设计目标的棱线部分而构成的立体框架图。

线框建模生成的实体模型是由一系列的直线、圆弧、点及自由曲线组成，描述的是产品的轮廓外形。在计算机内部生成三维映像，还可实现视图变换及空间尺寸的协调。线框建模生成的实体模型是由一系列的直线、圆弧、点及自由曲线组成，描述的是产品的轮廓外形。在计算机内部生成三维映像，还可实现视图变换及空间尺寸的协调。数据结构　　线框建模的数据结构是表结构，在计算机内部存贮的是物体的顶点和棱线信息。

4.2 三维物体的几何表示 下图为一立方体的线框模型。表分别为立方体的顶点表和边表，构成该物体的线框模型的全部信息。

线框建模所构造的实体模型，只有离散的边，而没有边与边的关系，由于信息表达不完整，会对物体形状的判断产生多义性。 　　下图表示同一线框模型可能产生的几种不同理解

线框建模的优点 所需信息最少，数据运算简单，所占存贮空间较小，硬件的要求不高，容易掌握，处理时间短。线框建模的局限性几何意义的二义性：一个线框模型可能被解释为若干个有效几何体。 1. 结构体的空间定义缺乏严密性 2. 拓扑关系缺乏有效性 3. 描述的结构体无法进行消隐、干涉检查、物性计算

2 曲面建模 一、曲面造型的基本概念曲线与曲面的基本理论：工程设计中常遇到具有复杂形体的产品，如汽车外壳、飞机的机身、电话机等，这些产品由复合曲面构成，其曲面生成的过程是：首先确定一系列的离散点，再由一组点来生成一条曲线或一个曲面，通过多条曲线或多个曲面之间的光滑连接，构造达到要求的复杂形状。

构造曲面的方法：首先通过一系列离散点确定一组曲线（称为控制曲线），再由这些曲线构造要求的曲面。构造曲面的方法：首先通过一系列离散点确定一组曲线（称为控制曲线），再由这些曲线构造要求的曲面。

曲面建模（Surface Modeling）又叫表面建模，是通过物体的各种表面进行描述的一种三维建模方法。主要适用于表面不能用简单的数学模型进行复杂描述的物体形面。曲面建模的重点：是由给出的离散点数据构成光滑过渡的曲面，使这些曲面通过或逼近这些离散点。

数据结构: 表面建模的数据结构是表结构，除给出边线及顶点的信息之外，还提供了构成三维立体各组成面素的信息。

表面建模举例说明: • 下图为一立方体，在计算机内部除提供了顶点表和边表之外，还提供了面表。

自由曲面的建模方法 产品的外形设计涉及大量的曲线和曲面造型，工程上通常是给出曲线或曲面上的许多离散点的数据，然后由这些点构造光滑过渡的曲面，这类曲线和曲面称为自由曲线或自由曲面。

曲线和曲面的参数表示 在解析几何中，空间曲线上一点P的每个坐标被表示成参数化u的函数：同样在三维空间内一张任意曲面可用带参数u、v的参数方程表示为：

参数化曲面 • Bezier曲线和曲面 • 1. 下图所示为三次Bezier曲线的形成原理，这是由四个位置矢量Q0、Q1、Q2、Q3定义的曲线。

Bezier曲线的一般数学表达式为： 式中Qi各顶点的位置矢量，为Bernstein基函数，并有

当n=3时，上式变为三次Bezier曲线： 写成矩阵形式则为：

B样条曲线和曲面 1．B样条曲线采用特征多边形及权函数定义曲线，权函数是B样条基函数，便于局部修改。B样条基函数定义为：式中i是基函数的序号，； n是样条次数，j表示一个基函数是由哪几项相加。

三次均匀B样条曲线的矩阵表达式为：

2．同理B样条曲面也可视为由B样条曲线网格绘制而成的。通用B样条曲面方程为：2．同理B样条曲面也可视为由B样条曲线网格绘制而成的。通用B样条曲面方程为：双三次B样条曲面方程为：

3. B样条曲线、曲面的优点 具有局部可修改性和很强的凸包性，较成功地解决了自由型曲线、曲面的描述问题。

非均匀有理B样条（NURBS）曲线和曲面 NURBS曲线提供了对标准解析几何和自由曲线、曲面的统一数学描述方法，它可通过调整控制顶点和权因子，方便地改变曲面形状，同时也可方便地转换成对应Bezier曲面。1.给定n+1个控制点及权因子，则k阶（k-1）次NURBS曲线的表达式为：

其中为非均匀有理B样条基函数，按照deBoor-Cox公式递推地定义：

2．给定一张（m+1）（n+1）的网络控制点 ，以及各网络控制点的权值 NURBS曲面的表达式为：式中和分别为NURBS曲面u和v参数方向的B样条基函数；k，l为B样条基函数的阶次。

表面建模的特点 表达了零件表面和边界定义的数据信息，有助于对零件进行渲染等处理，有助于系统直接提取有关面的信息生成数控加工指令，因此，大多数CAD/CAM系统中都具备曲面建模的功能。在物体性能计算方面，表面建模中面信息的存在有助于对物性方面与面积有关的特征计算，同时对于封闭的零件来说，采用扫描等方法也可实现对零件进行与体积等物理性能有关的特征计算。

一般来说，表面建模方式生成的零部件及产品可分割成板、壳单元形式的有限元网格。一般来说，表面建模方式生成的零部件及产品可分割成板、壳单元形式的有限元网格。曲面建模事实上是以蒙面的方式构造零件形体，因此容易在零件建模中漏掉某个甚至某些面的处理，这就是常说的“丢面”。同时依靠蒙面的方法把零件的各个面贴上去，往往会在两个面相交处出现缺陷，如重叠或间隙，不能保证零件的建模精度。所以曲面建模并不宜用于表示机械零件的一般方法。

3.实体建模 一、定义实体建模是定义一些基本体素，通过基本体素的集合运算或变形操作生成复杂形体的一种建模技术，其特点在于三维立体的表面与其实体同时生成。由于实体建模能够定义三维物体的内部结构形状，因此能完整地描述物体的所有几何信息和拓扑信息，包括物体的体、面、边和顶点的信息。

二、实体建模的优点 • 1. 可以提供实体完整的信息； 2. 可以实现对可见边的判断，具有消隐的功能； 3. 能顺利实现剖切、有限元网格划分、直到NC刀具轨迹的生成。 • 三、实体建模的方法 • 按照物体生成的方法不同可分为 • 体素法 • 扫描法

四、体素及其布尔运算 实体模型的构造常常采用在计算机内存储一些基本体素（如长方体、圆柱体、球体、锥体、圆环体以及扫描体等），通过集合运算（布尔运算）生成复杂形体。实体建模主要包括两部分，即体素的定义及描述和体素的运算（并、交、差）。

（一）基本体素的定义 体素是现实生活中真实的三维实体。分为两大类体素： 1.基本体素:有长方体、球、圆柱、圆锥、圆环、锥台等，如下图所示。 2.扫描体素:又可分为平面轮廓扫描体素和三维实体扫描体素。

（二）布尔运算 • 定义几何建模中的集合运算理论依据的是集合论中的交（Intersection）、并（Union）、差（Difference）等运算，是用来把简单形体（体素）组合成复杂形体的工具。

一、体素法生成实体 下图所示是采用体素法，从定义基本体素到生成实体模型的全过程，通过定义4个基本体素，经过三次集合运算，完成三维实体的建模。

二、扫描体素法 定义利用基体的变形操作实现表面形状较为复杂的物体的建模方法称为扫描法，扫描法又分为平面轮廓扫描和整体扫描两种方法。基本原理　　用曲线、曲面或形体沿某一路径运动后生成2D或3D的物体。扫描变换需要两个分量，一是给出一个运动形体，称为基体；另一个是指定形体运动的路径。

优点 • 1.三维实体建模能唯一、准确、完整地表达物体的形状，容易理解和实现; • 2.是对在某一方向具有固定剖面产品形状造型的一种实用而有效的方法; • 3.可对产品进行描述、特性分析、运动分析、干涉检验以及有限元分析、加工过程的模拟仿真等。

与表面建模不同，三维实体建模在计算机内部存贮的信息不是简单的边线或顶点的信息，而是准确、完整、统一地记录了生成物体的各个方面的数据。 • 常见的实体建模表示方法 • 边界表示法 • 构造立体几何法 • 混合表示法（即边界表示法与构造立体几何法的混合模式） • 空间单元表示法

一、边界表示法（Boundary Representation） 1.定义边界表示法简称B-Rep法。它的基本思想是一个实体可以通过它的面的集合来表示，而每一个面又可以用边来描述，边通过点，点通过三个坐标值来定义。边界表示法强调实体外表的细节，详细记录了构成物体的所有几何信息和拓扑信息，将面、边、顶点的信息分层记录，建立层与层之间的联系。

2.数据结构 网状的数据结构。将其按照实体、面、边、顶点描述，在计算机内部按网状的数据结构进行存贮。

3.优点 1) 有较多的关于面、边、点及其相互关系的信息; 2)有利于生成和绘制线框图、投影图，有利于计算几何特性; 3)易于同二维绘图软件衔接和同曲面建模软件相关联。 4.局限性 1)对几何物体的整体描述能力相对较差; 2)无法提供关于实体生成过程的信息; 3)无法记录组成几何体的基本体素的元素的原始数据; 4)描述物体所需信息量较多，边界表达法的表达形式不唯一。

二、构造立体几何法(Constructive Solid Geometry) 1.定义构造立体几何法简称CSG法，是一种通过布尔运算将简单的基本体素拼合成复杂实体的描述方法。 2.数据结构数据结构为树状结构。树叶为基本体素或变换矩阵，结点为运算，最上面的结点对应着被建模的物体。

3.CSG法相对于B-Rep法的主要特点 CSG法对物体模型的描述与该物体的生成顺序密切相关，即存贮的主要是物体的生成过程。同一个物体完全可以通过定义不同的基本体素，经过不同的集合运算加以构造。 CSG结构生成的数据模型比较简单，每个基本体素无需再分解，而是将体素直接存贮在数据结构中。采用CSG法可以方便地实现对实体的局部修改。例如在物体上倒角、倒圆等，如下图所示。

4.CSG法的优点 1)方法简洁，生成速度快，处理方便，无冗余信息; 2)能够详细地记录构成实体的原始特征参数; 3)在必要时可修改体素参数或附加体素进行重新拼合。 5.CSG法的缺点由于信息简单，无法存贮物体最终的详细信息，例如边界、顶点的信息等。

三、混合模式（Hybird Model） 1.定义混合模式是建立在边界表示法与构造立体几何法的基础上，在同一系统中，将两者结合起来，共同表示实体的方法 2.原理　　以CSG法为系统外部模型，以B-Rep法为内部模型，CSG法适于做用户接口，而在计算机内部转化为B-Rep的数据模型。

4.3.1 现代造型方法 CAD技术从二维绘图起步，经历了三维线框、曲面和实体造型发展阶段，注重于描述产品的几何信息；而特征造型则是着眼于更好地表达产品完整的功能和生产管理信息，为建立产品的集成信息模型服务。特征(feature)在这里作为一个专业术语，兼有形状和功能两种属性，它包括产品的特定几何形状、拓扑关系、典型功能、绘图表示方法、制造技术和公差要求。

特征造型技术使得产品的设计工作在更高的层次上进行，设计人员的操作对象不再是原始的线条和体素，而是产品的功能要素。特征的引用直接体现了设计意图，使得建立的产品模型更容易为人理解和组织生产，为开发新一代的基于统一产品信息模型的CAD/CAPP/CAM集成系统创造了前提。特征造型技术使得产品的设计工作在更高的层次上进行，设计人员的操作对象不再是原始的线条和体素，而是产品的功能要素。特征的引用直接体现了设计意图，使得建立的产品模型更容易为人理解和组织生产，为开发新一代的基于统一产品信息模型的CAD/CAPP/CAM集成系统创造了前提。

交互式特征定义 特征造型特征识别基于特征的设计

一、特征定义 特征是一种综合概念，它作为“产品开发过程中各种信息的载体”，除了包含零件的几何拓扑信息外，还包含了设计制造等过程所需要的一些非几何信息。二、特征建模定义特征建模是一种建立在实体建模的基础上，利用特征的概念面向整个产品设计和生产制造过程进行设计的建模方法，它不仅包含与生产有关的信息，而且还能描述这些信息之间的关系。

第四章 工程图形技术