Chapter 5 Sets, Relations, and Functions

1. Chapter 5Sets, Relations, and Functions Fuculty of Informatics, BUU

2. ทฤษฎีเซต • เซต(set)ใช้แทนกลุ่มของวัตถุหรือสิ่งของที่แตกต่างกัน โดยสมาชิกของเซตอาจมีศูนย์หรือมากกว่าศูนย์ชิ้นก็ได้ และลำดับการเขียนสมาชิกของเซตนั้นไม่มีความสำคัญ นิยมใช้อักษรอังกฤษพิมพ์ใหญ่แทนเซตใดๆ เช่น A, B เป็นต้น • aA“a เป็นสมาชิกของ A”aA“a ไม่เป็นสมาชิกของ A” • กำหนดให้A = {a1, a2, …, an} “A มีสมาชิก a1, …, an” • ลำดับของสมาชิกไม่มีความแตกต่าง เช่น{a, b, c} = {a, c, b} • สมาชิกที่เหมือนกัน ถือว่าเป็นสมาชิกตัวเดียวกัน เช่น {a, a, b, a, b, c, c, c, c} = {a, b, c} Fuculty of Informatics, BUU

3. ตัวอย่างของเซต • A =  = {} “เซตว่าง” หมายถึง เซตที่ไม่มีสมาชิก • A = {z} zA • A = {{b, c}, {c, x, d}} เซตของเซต • A = {x | P(x)} “เซตของ x ทุกตัวที่ทำให้ P(x) เป็นจริง” P(x) เป็นฟังก์ชั่นสมาชิก(membership function)ของเซต A x (P(x)  xA) • A = {x | x N x > 7} = {8, 9, 10, …}“เป็นการนิยามเซตแบบบอกเงื่อนไขของสมาชิกภายในเซต(set builder notation)” Fuculty of Informatics, BUU

4. เซตอนันต์(Infinite Sets) • เซตอาจมีจำนวนสมาชิกไม่จำกัดเรียกว่า เซตอนันต์(infinite) • สัญลักษณ์ของเซตอนันต์ เช่น: • Q = {a/b | aZ  bZ+} เซตของจำนวนตรรกยะ N = {0, 1, 2, …} เซตของจำนวนนับZ = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …} เซตของจำนวนเต็มR = เซตของจำนวนจริง เช่น{-0.15, 3.67,30, 74.18284719818125…} • นิยมเขียนเป็นตัวพิมพ์ใหญ่และเข้มหรือเขียนด้วยเส้นคู่เช่น ℕ, ℤ, ℝ • เซตอนันต์แต่ละเซตอาจมีจำนวนสมาชิกที่แตกต่างกัน! Fuculty of Informatics, BUU

5. ตัวอย่างของเซต เซต “มาตรฐาน”: • จำนวนนับ(Natural numbers)N = {0, 1, 2, 3, …} • จำนวนเต็ม(Integers)Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …} • จำนวนเต็มบวก(Positive Integers)Z+ = {1, 2, 3, 4, …} • จำนวนจริง(Real Numbers)R = {47.3, -12, , …} • จำนวนตรรกยะ(Rational Numbers)Q = {1.5, 2.6, -3.8, 15, …} Fuculty of Informatics, BUU

6. การเท่ากันของเซต • เซต A และ B เท่ากัน ก็ต่อเมื่อ เซตทั้งสองมีสมาชิกที่เหมือนกันทุกตัว เช่น: • A = {9, 2, 7, -3}, B = {7, 9, -3, 2} : A = B • A = {หมา, แมว, ม้า}, B = {แมว, ม้า, กระรอก, หมา} : A  B • A = {หมา, แมว, ม้า}, B = {แมว, ม้า, หมา, หมา} : A = B • A = {1, 2, 3, 4}, B = {x | xเป็นจำนวนเต็ม โดยที่x>0 และx<5 }: A = B Fuculty of Informatics, BUU

7. เซตย่อย(Subset)และซุปเปอร์เซต(Superset)เซตย่อย(Subset)และซุปเปอร์เซต(Superset) • ST (“Sเป็นเซตย่อยของT”) หมายถึง สมาชิกทุกตัวของ Sเป็นสมาชิกของT ด้วย • ST  x (xS  xT) • S (เซตว่างจะเป็นเซตย่อยของเซตใดๆเสมอ) • SS (เซตใดๆจะเป็นเซตย่อยของตัวเองเสมอ) • ST (“Sเป็นซุปเปอร์เซตของT”) หมายถึงTS • ข้อสังเกต :S=T  ST ST • หมายถึง (ST), นั่นคือ x(xS  xT) Fuculty of Informatics, BUU

8. เซตย่อยแท้และซุปเปอร์เซต(Proper Subsets & Supersets) • ST (“Sเป็นเซตย่อยแท้ของT”) หมายถึงST แต่ • ตัวอย่าง:ถ้า A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 1}, C = {3} • ดังนั้น B = A, C  A, C  B • ตัวอย่าง: ถ้า U = 1, 2, 3,  , 11, 12 และ T = 1, 2, 3, 6 • ดังนั้นT  U และ T  U Fuculty of Informatics, BUU

9. ขนาดของเซต(Cardinality) • |S| (อ่านว่า “ขนาดของS”) แสดงจำนวนสมาชิกที่แตกต่างกันในเซตS • เช่น, ||=0, |{1,2,3}| = 3, |{a,b}| = 2, |{{1,2,3},{4,5}}| = ____ • ถ้า |S|N, แล้ว กล่าวได้ว่าSเป็นเซตจำกัด(finite)กรณีอื่น เรากล่าวได้ว่าSเป็นเซตอนันต์(infinite) 2 D = { xN | x  7000 } |D| = 7001 E = { xN | x  7000 } E เป็นเซตอนันต์ Fuculty of Informatics, BUU

10. เซตกำลัง(Power Set) • เซตกำลัง P(S) ของเซตSคือเซตของเซตย่อยทั้งหมดของเซตSP(S) :≡ {x | xS} • เช่น P({a,b}) = {, {a}, {b}, {a,b}} • A = , P(A) = {}, ดังนั้น: |A| = 0, |P(A)| = 1 • ถ้าS เป็นเซตจำกัด, |P(S)| = 2|S| • ดังนั้นS:|P(S)|>|S|, เช่น|P(N)| > |N| Fuculty of Informatics, BUU

11. ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซตผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต • สำหรับเซตA, B, ผลคูณคาร์ทีเซียน(Cartesian product)AB : {(a, b) | aA  bB }. • A = , A =  • ตัวอย่าง เช่น: A = {x, y}, B = {a, b, c}AB = {(x, a), (x, b), (x, c), (y, a), (y, b), (y, c)} • สังเกตุว่า (x, a)  (a, x)  (a, x, x) • กรณีที่เซต A และ B ไม่ใช่เซตว่าง: AB  AB  BA • สำหรับเซตจำกัดA, B จะได้ว่า, |AB|=|A||B| Fuculty of Informatics, BUU

12. 2 5 3 7 Required Form ตัวดำเนินการผลรวม(Union Operator) • กำหนดเซตA, B, ผลรวม(nion)ABคือ เซตของสมาชิกทั้งหมดที่อยู่ในA, หรืออยู่ในB (หรืออยู่ในทั้งสองเซต) • เขียนได้ว่า, A,B:AB = {x | xAxB} • สังเกตว่าAB เป็นซุปเปอร์เซต ของทั้งเซตAและเซตB A, B: (AB  A)  (AB  B) {a,b,c,2,3} • {a,b,c}{2,3} =__________ • {2,3,5}{3,5,7} =___________ {2,3,5,3,5,7} = {2,3,5,7} Fuculty of Informatics, BUU

13. 3 2 4 6 5 ตัวดำเนินการส่วนตัด(Intersection Operator) • กำหนดเซตA, B, ส่วนตัด(intersection)ABคือ เซตของสมาชิกทั้งหมดที่อยู่ในเซตA และ(“”) ในเซตB • เขียนได้ว่า, A,B:AB={x | xAxB} • สังเกตว่าAB เป็นเซตย่อย ของทั้งเซต A และ B:A, B: (AB  A)  (AB  B)  • {a,b,c}{2,3} = ___ • {2,4,6}{3,4,5} = ______ {4} Fuculty of Informatics, BUU

14. Inclusion-Exclusion Principle • จำนวนสมาชิกของAB เท่ากับเท่าไร?|AB| = |A|  |B|  |AB| • ตัวอย่าง: จำนวนนิสิตในห้องนี้ที่อยู่ในรายการเมล์(Mailing List)มีกี่คน? พิจารณา เซตE  I  M, I = {s | sส่งข้อมูลผ่านแบบฟอร์มกระดาษ}M = {s | s ส่งข้อมูลผ่านอีเมล์} • นิสิตบางคนทำทั้งสองอย่าง!|E| = |IM| = |I|  |M|  |IM| Fuculty of Informatics, BUU

15. SetAB ส่วนต่างของเซต(Set Difference) • กำหนดเซตA, B, ส่วนต่างของ A และ B, เขียนแทนด้วยAB, คือเซตของสมาชิกทั้งหมดในเซตAแต่ไม่อยู่ในBเขียนได้ว่า: A  B : x  xA  xB: x  xA  xB  • จำนวนสมาชิกของเซต: |A-B| = |A| - |AB| A−Bคือ เซตของสมาชิกของ A ที่เหลือจากการตัดสมาชิกของB ออกไปแล้ว Set A Set B Fuculty of Informatics, BUU

16. Set Difference Examples • {1,2,3,4,5,6}  {2,3,5,7,9,11} = ___________ • Z  N  {… , −1, 0, 1, 2, … }  {0, 1, … } = {x | xเป็นจำนวนเต็มที่ไม่ใช่จำนวนนับ} = {x | xเป็นจำนวนเต็มลบ} = {… , −3, −2, −1} {1,4,6} Fuculty of Informatics, BUU

17. ส่วนเติมเต็มของเซต(Set Complements) • เซตของเอกภพสัมพัทธ์(universe of discourse)แทนด้วยU คือเซตที่แสดงขอบเขตของเซตที่กำลังศึกษา • เซตA ใดๆที่AU,ส่วนเติมเต็มของ A(complement)แทนด้วย , เรากล่าวว่า และ เป็นส่วนเติมเต็มของAเมื่อเทียบกับU, นั่นคือ= UA • เช่น, ถ้าU=N, Fuculty of Informatics, BUU

18. Set Identities • เอกลักษณ์(Identity) : A = A = AU • ครอบคลุม(Domination): AU = U , A =  • สะท้อน(Idempotent): AA = A = AA • ส่วนเติมเต็มซ้อน(Double complement): • สลับที่(Commutative): AB = BA , AB = BA • กระจาย(Distributive):A(BC) = (AB)(AC) • เปลี่ยนกลุ่ม(Associative): A(BC)=(AB)C ,A(BC)=(AB)C • ซึมซับ(Absorption):A(AB) = A, A(AB) = A • ส่วนเติมเต็ม(Complement):A = U, A =  Fuculty of Informatics, BUU

19. ใช้นิยามของเซต และตัวดำเนินการต่างๆ ช่วยในการพิสูจน์ ตัวอย่าง เช่น: ทฤษฎีย่อย:จงพิสูจน์กฎการเปลี่ยนกลุ่มของการรวม(Unions) (AB )C = A(B C ) พิสูจน์: (AB )C = {x | x  A B  x  C }(จากนิยาม) = {x |(x  A  x  B )  x  C } (จากนิยาม) = {x | x  A  ( x  B  x  C ) } (กฎการเปลี่ยนกลุ่ม) = {x | x  A  (x  B  C ) } (จากนิยาม) = {x | x  A(B C ) } (จากนิยาม) = A(B C ) (จากนิยาม) การพิสูจน์การเท่ากันของเซต Fuculty of Informatics, BUU

20. ตัวอย่าง 2 • จงพิสูจน์การเท่ากันของเซตที่กำหนดโดยใช้ set builder notation และ logical equivalence • Proof: Fuculty of Informatics, BUU

21. แบบฝึกหัด • จงพิสูจน์ว่า (AB)B = AB • นักเรียนห้องหนึ่งมี 180 คน ทุกคนชอบเล่นกีฬา จากการสำรวจพบว่า มีนักเรียนที่ชอบเล่นปิงปอง 100 คน นักเรียนที่ชอบว่ายน้ำ 92 คน นักเรียนที่ชอบเล่นตะกร้อ 115 คน นักเรียนที่ชอบทั้งเล่นปิงปองและว่ายน้ำมี 52 คน นักเรียนที่ชอบทั้งว่ายน้ำและเล่นตะกร้อมี 57 คน นักเรียนที่ชอบเล่นทั้งปิงปองและตะกร้อมี 43 คน • มีนักเรียนกี่คนที่ชอบเล่นกีฬาทั้งสามประเภท • มีนักเรียนกี่คนที่ชอบว่ายน้ำอย่างเดียว • มีนักเรียนกี่คนที่ชอบเล่นปิงปองอย่างเดียว Fuculty of Informatics, BUU

22. Relations Fuculty of Informatics, BUU

23. ความสัมพันธ์(Relations) • หากเราต้องการเขียนความสัมพันธ์ระหว่างสมาชิกของเซต 2 เซต คือเซต A และ B, สามารถใช้คู่อันดับ(ordered pairs)โดยสมาชิกตัวแรกมาจากเซต A และสมาชิกตัวที่สองมาจากเซต B โดยความสัมพันธ์ระหว่างเซตสองเซต จะเรียกว่า ความสัมพันธ์ทวิภาค(binary relation) • นิยาม:ให้ A และ B เป็นเซต binary relation จาก A ไป B คือเซตย่อยของ AB • หรือกล่าวได้ว่า binary relation R ใดๆ, R  AB เราใช้สัญลักษณ์ aRb เพื่อแทน (a, b)R และเขียน a R b เพื่อแทน (a, b)R ตัวอย่าง ให้ A = {0, 1, 2} และ B = {a, b} ดังนั้น R = {( 0, a) , ( 0, b) , ( 1, a) , ( 0, b) }เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B Fuculty of Informatics, BUU

24. ความสัมพันธ์(Relations) • เมื่อ (a, b) อยู่ในความสัมพันธ์ R กล่าวได้ว่า a สัมพันธ์กับ b ด้วย R • ตัวอย่าง:ให้ P เป็นเซตของคน, C เป็นเซตของยี่ห้อรถ, และ D เป็นความสัมพันธ์ที่ใช้อธิบายว่าคนขับรถยี่ห้อใด • P = {สมร, สุรีย์, พีระ, อาภา}, • C = {ฮอนด้า, บีเอ็มดับบลิว, โตโยต้า} • D = {(สมร, ฮอนด้า), (สุรีย์, ฮอนด้า), (สุรีย์, บีเอ็มดับบลิว), (พีระ, โตโยต้า)} • จากความสัมพันธ์ที่กำหนดแสดงว่า สมรขับรถฮอนด้า สุรีย์ขับรถฮอนด้าและบีเอ็มดับบลิว พีระขับรถโตโยต้า ส่วนอาภาไม่ได้ขับรถยี่ห้อใดเลย Fuculty of Informatics, BUU

25. 1 1 2 2 3 3 4 4 ความสัมพันธ์บนเซต • ความสัมพันธ์จากเซตAไปยังตัวมันเองเรียกว่า ความสัมพันธ์บนเซตA • เช่น ความสัมพันธ์ “<” เป็นความสัมพันธ์บนเซตของจำนวนนับN • ความสัมพันธ์เอกลักษณ์(identity relation)IAบนเซตAคือเซต{(a,a)|aA} • ตัวอย่าง:กำหนดให้ A = {1, 2, 3, 4} จงหาคู่อันดับในความสัมพันธ์R = {(a, b) | a < b} ? • Solution:R = {(1, 2), (1, 4), (2, 3), (1, 3), (3, 4)} (2, 4), Fuculty of Informatics, BUU

26. คุณสมบัติของความสัมพันธ์คุณสมบัติของความสัมพันธ์ • นิยาม:ความสัมพันธ์ R บนเซต A เป็นความสัมพันธ์สะท้อน(reflexive)ถ้า (a, a)R สำหรับ สมาชิกทุกตัว aA • หมายเหตุ ถ้า U =  แล้วประโยคข้างต้นเป็นจริง • ตัวอย่าง เช่น: • ความสัมพันธ์<ไม่เป็น reflexive เนื่องจากx < xไม่จริง, ดังนั้น (x, x) R • ความสัมพันธ์≥ :≡ {(a,b) | a≥b}เป็น reflexive เนื่องจาก (x, x) R • ความสัมพันธ์บนเซต {1, 2, 3, 4} ต่อไปนี้เป็น reflexive หรือไม่? • R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 3), (4, 4)} Yes • R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} No • นิยาม:ความสัมพันธ์บนเซต A เป็นความสัมพันธ์ไม่สะท้อน(irreflexive)ถ้า (a, a)R สำหรับสมาชิกทุกตัวaA ตัวอย่าง เช่น: <เป็น irreflexive Fuculty of Informatics, BUU

27. Symmetry & Antisymmetry • ความสัมพันธ์RบนเซตAเป็นความสัมพันธ์สมมาตร(symmetric) ก็ต่อเมื่อR = R−1,นั่นคือ ถ้า(a,b)R↔ (b,a)R • เช่น, = (เท่ากับ) เป็น symmetric เพราะถ้าx = yแล้ว y = xสำหรับทุกๆxและyแต่ความสัมพันธ์<ไม่เป็น symmetric • “แต่งงานกับ” เป็น symmetric, “ชอบ” ไม่เป็น • ความสัมพันธ์Rเป็นความสัมพันธ์ปฏิสมมาตร(antisymmetric) ถ้าa≠b, (a,b)R→ (b,a)R • ตัวอย่าง เช่น : <เป็น antisymmetric, “ชอบ” ไม่เป็น • ความสัมพันธ์RบนเซตAเป็นความสัมพันธ์ไม่สมมาตร(asymmetric) ถ้าa,bA, (a,b)R →(b,a)R Fuculty of Informatics, BUU

28. คุณสมบัติของความสัมพันธ์คุณสมบัติของความสัมพันธ์ • ความสัมพันธ์บนเซต{1, 2, 3, 4} ต่อไปนี้เป็น symmetric, antisymmetric, หรือ asymmetric? • R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (3, 3), (4, 4)} symmetric • R = {(1, 1)} sym. and antisym. • R = {(1, 3), (3, 2), (2, 1)} antisym. and asym. • R = {(4, 4), (3, 3), (1, 4)} antisym. Fuculty of Informatics, BUU

29. คุณสมบัติของความสัมพันธ์คุณสมบัติของความสัมพันธ์ นิยาม:ความสัมพันธ์Rเป็นความสัมพันธ์ถ่ายทอด(transitive)ก็ต่อเมื่อ(a,b,c) (a,b)R  (b,c)R→ (a,c)R • ความสัมพันธ์จะเป็นความสัมพันธ์ไม่ถ่ายทอดintransitiveก็ต่อเมื่อไม่เป็นความสัมพันธ์ถ่ายทอดตัวอย่าง เช่น: • “เป็นบรรพบุรุษ” เป็น transitive • “ชอบ” ระหว่างคนเป็น intransitive • ความสัมพันธ์ = < >   เป็น transitive • ความสัมพันธ์บนเซต {1, 2, 3, 4} ต่อไปนี้เป็น transitive หรือไม่? • R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 1), (3, 3)} Yes • R = {(1, 3), (3, 2), (2, 1)} No • R = {(2, 4), (4, 3), (2, 3), (4, 1)} No Fuculty of Informatics, BUU

30. Exercise • ให้ A={1,2,3,4} และ R,S,T,U เป็นความสัมพันธ์บนเซต A • R={(1,3), (3,4)} • S={(1,1), (2,2), (3,3), (2,3), (3,2), (1,4)} • T={(1,1), (2,2), (1,2), (2,1), (3,3), (4,4)} • U={(1,1), (2,2), (3,3), (2,3), (3,2), (1,4), (4,2), (1,2),(1,3)} Fuculty of Informatics, BUU

31. Answer • R มีคุณสมบัติIrreflexive, Antisymmetric และAsymmetric • S มีคุณสมบัติTransitive • T มีคุณสมบัติReflexive, Symmetric, และTransitive • U ไม่มีคุณสมบัติใดเลย Fuculty of Informatics, BUU

32. ความสัมพันธ์สมมูล(Equivalence Relations) • ความสัมพันธ์สมมูลใช้เชื่อมโยงสิ่งที่มีคุณสมบัติบางอย่างเหมือนกันไว้ด้วยกัน • นิยาม:ความสัมพันธ์บนเซต A เรียกว่าความสัมพันธ์สมมูล ถ้าความสัมพันธ์นั้นเป็นความสัมพันธ์สะท้อน(Reflexive) สมมาตร(Symmetric)และถ่ายทอด(Transitive) • สมาชิกสองตัวใดๆที่ถูกเชื่อมโยงกันด้วยความสัมพันธ์สมมูล R จะกล่าวได้ว่าสมาชิกทั้งสองตัวนั้นสมมูลกัน Fuculty of Informatics, BUU

33. ความสัมพันธ์สมมูล(Equivalence Relations) • ตัวอย่าง:สมมติR เป็นความสัมพันธ์บนเซตของข้อความภาษาอังกฤษโดย aRb ก็ต่อเมื่อ l(a) = l(b), ซึ่งl(x) แทนความยาวของข้อความ x จงพิจารณาว่า R เป็นความสัมพันธ์สมมูลหรือไม่? • ตอบ: • R เป็นความสัมพันธ์สะท้อน เพราะ l(a) = l(a) ดังนั้น aRa สำหรับข้อความ a ใดๆ • R เป็นความสัมพันธ์สมมาตร เพราะถ้า l(a) = l(b) แล้ว l(b) = l(a) ดังนั้นถ้า aRb แล้ว bRa • R เป็นความสัมพันธ์ถ่ายทอดเพราะถ้า l(a) = l(b) และ l(b) = l(c), แล้ว l(a) = l(c), ดังนั้นถ้า aRb และ bRc แล้ว aRc • ดังนั้น R เป็นความสัมพันธ์สมมูล Fuculty of Informatics, BUU

34. ชั้นสมมูล(Equivalence Classes) • นิยาม:ให้ R เป็นความสัมพันธ์สมมูลบนเซต A เซตของสมาชิกทุกตัวที่สัมพันธ์กับสมาชิกaของเซต A จะเรียกว่าชั้นสมมูลของa • ชั้นสมมูลของaภายใต้ความสัมพันธ์ R แทนด้วยสัญลักษณ์[a]Rโดย [a]R :≡ { b | aRb } • ในกรณีที่พิจารณาชั้นสมมูลภายใต้ความสัมพันธ์เพียงความสัมพันธ์เดียว อาจแทนชั้นสมมูลของ aสั้นๆด้วย[a] ก็ได้ • ถ้าb[a]R, bเรียกว่า ตัวแทน(representative)ของชั้นสมมูลนี้ Fuculty of Informatics, BUU

35. ชั้นสมมูล(Equivalence Classes) ตัวอย่าง:จากตัวอย่างของข้อความที่มีความยาวเท่ากัน จงหาชั้นสมมูลของคำว่า mouse, โดยแทนด้วยสัญลักษณ์ [mouse] ? ตอบ: [mouse] คือเซตของคำที่มีความยาวเท่ากับ 5 ตัวอักษร [mouse]={horse, table, white,…} จะเห็นว่า‘horse’จัดเป็นตัวแทนตัวหนึ่งของชั้นสมมูลนี้ Fuculty of Informatics, BUU

36. ชั้นสมมูล(Equivalence Classes) ทฤษฎีบท:ให้ R เป็นความสัมพันธ์สมมูลบนเซต A ประโยคต่อไปนี้สมมูลกัน: • aRb • [a] = [b] • [a]  [b]   นิยาม:ผลแบ่งกั้น(partition)ของเซต S คือกลุ่มของเซตย่อยของ S ที่ไม่ใช่เซตว่าง และไม่มีสมาชิกร่วมกันโดยเมื่อนำเซตย่อยทั้งหมดมารวม(union) กันจะเท่ากับเซต S หรือกล่าวได้ว่า กลุ่มของเซตย่อย Ai โดย iI ทำให้เกิดการแบ่งส่วนของ S ก็ต่อเมื่อ(i) Ai   โดย iI (ii) Ai  Aj = , ถ้า i  j (iii) iI Ai = S Fuculty of Informatics, BUU

37. ผลแบ่งกั้น(Partition) • ตัวอย่าง:กำหนดให้Sเป็นเซต{u, m, b, r, o, c, k, s}เซตต่อไปนี้เป็นผลแบ่งกั้น(partition)ของเซตSหรือไม่? {{m, o, c, k}, {r, u, b, s}} yes {{c, o, m, b}, {u, s}, {r}} no (ไม่มี k) {{b, r, o, c, k}, {m, u, s, t}} no (t ไม่เป็นสมาชิกของ S) {{u, m, b, r, o, c, k, s}} yes {{b, o, o, k}, {r, u, m}, {c, s}} yes ({b,o,o,k} = {b,o,k}) {{u, m, b}, {r, o, c, k, s}, } no (เป็น  ไม่ได้) Fuculty of Informatics, BUU

38. ชั้นสมมูล(Equivalence Classes) • ทฤษฎีบท:ให้ R เป็นความสัมพันธ์สมมูลบนเซต S ดังนั้นชั้นสมมูลของความสัมพันธ์ R จะทำให้เกิดผลแบ่งกั้น(partition)ของเซต S และ หากกำหนดผลแบ่งกั้น {Ai | iI} ของเซต S มาให้ จะมีความสัมพันธ์สมมูล R ซึ่งมีเซต Ai, iI, เป็นชั้นสมมูลของความสัมพันธ์นั้น • ชั้นสมมูลของความสัมพันธ์สมมูล R ใดๆที่นิยามบนเซต S จะทำให้เกิดผลแบ่งกั้นของเซต S เพราะสมาชิกทุกตัวในเซต S ถูกกำหนดให้อยู่ในชั้นสมมูลได้เพียงชั้นเดียวเท่านั้น Fuculty of Informatics, BUU

39. ชั้นสมมูล(Equivalence Classes) • ตัวอย่าง:สมมติแฟรงก์, ซูซานและจอร์จอาศัยในเมืองบอสตัน, สเตฟานีและแมค อาศัยอยู่ในเมืองเบอลิน เจนนิเฟอร์อาศัยอยู่ในเมืองซิดนีย์ • ให้ R เป็นความสัมพันธ์สมมูล {(a, b) | a และ b อาศัยอยู่ในเมืองเดียวกัน} บนเซต P = {แฟรงก์, ซูซาน, จอร์จ, สเตฟานี, แมค, เจนนิเฟอร์} ดังนั้น R = {(แฟรงก์, แฟรงก์), (แฟรงก์, ซูซาน), (แฟรงก์, จอร์จ), (ซูซาน, แฟรงก์), (ซูซาน, ซูซาน), (ซูซาน, จอร์จ), (จอร์จ, แฟรงก์), (จอร์จ, ซูซาน), (จอร์จ, จอร์จ), (สเตฟานี,สเตฟานี), (สเตฟานี, แมค), (แมค, สเตฟานี), (แมค, แมค), (เจนนิเฟอร์, เจนนิเฟอร์)} • ดังนั้นชั้นสมมูล ของ R คือ: {{แฟรงก์, ซูซาน , จอร์จ}, {สเตฟานี, แมค}, {เจนนิเฟอร์}} ซึ่งเป็นผลแบ่งกั้น(partition) ของ P Fuculty of Informatics, BUU

40. ชั้นสมมูล(Equivalence Classes) • ตัวอย่าง:กำหนดให้R เป็นความสัมพันธ์{(a, b) | a  b (mod 3)} บนเซตของจำนวนเต็ม หรือกล่าวได้ว่า R เป็นความสัมพันธ์ { (a, b) | a-b แล้วหารด้วย 3 ลงตัว} • ความสัมพันธ์R เป็นความสัมพันธ์สมมูลหรือไม่? • เป็น เพราะ R เป็นความสัมพันธ์สะท้อน สมมาตร และถ่ายทอด (ให้เหตุผล เป็นแบบฝึกหัด) • จงหาชั้นสมมูลของความสัมพันธ์ R ? Ans {{…, -6, -3, 0, 3, 6, …}, {…, -5, -2, 1, 4, 7, …}, {…, -4, -1, 2, 5, 8, …}} Fuculty of Informatics, BUU

41. Functions Fuculty of Informatics, BUU

42. นิยามของฟังก์ชั่น นิยาม ให้ A และB เป็นเซตใด ๆ และ f เป็นสับเซตของ AB f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B(f: AB) ก็ต่อเมื่อ f มีคุณสมบัติดังนี้ “แต่ละสมาชิก x ใน A จะมีสมาชิก y ใน B มาจับคู่เพียงตัวเดียวเท่านั้น” หรือ 1. ทุก ๆ x  A มี y  B ซึ่ง (x, y) f 2. ทุก ๆ x  A และ y, z  B ถ้า (x, y) f และ (x, z) f แล้ว y = z Fuculty of Informatics, BUU

43. ตัวอย่าง • A={1, 2, 3, 4} และ B={0, 1, 2, 3, 4} • ความสัมพันธ์ที่กำหนดต่อไปนี้ ข้อใดเป็นฟังก์ชั่นจาก A ไป B? • f = {(1,0), (2,1), (3,2), (4,3)} • g = {(1,1), (2,0), (3,2), (4,1), (2,4)} • h = {(1,4), (2,2), (3,0)} • f เป็นฟังก์ชั่น, แต่g และhไม่เป็นฟังก์ชั่น Fuculty of Informatics, BUU

44. Function Terminology • ถ้ากำหนดฟังก์ชั่นf:AB, และf(a)=b (โดยที่aAและbB), ดังนั้น กล่าวได้ว่า: • Aคือ โดเมน(domain)ของf • Bคือ โคโดเมน(codomain)ของf • bคือ อิมเมจ(image)ของa ภายใต้f • aคือ พรีอิมเมจ(pre-image)ของbภายใต้f • สังเกตว่าbหนึ่งค่า อาจมีพรีอิมเมจได้มากกว่า 1 ตัว • พิสัย(range)RBของf คือR={b | af(a)=b } Fuculty of Informatics, BUU

45. b เป็น image ของ 2 Domain and Codomain • ถ้า fเป็นฟังก์ชันจากเซต A ไปยัง B, เรากล่าวว่า A คือโดเมน(domain) ของfและ B เป็นโคโดเมน(codomain) ของf • โคโดเมน(codomain)คือเซต ที่ฟังก์ชั่นนั้นถูกประกาศว่าแมปค่าในโดเมนไปยังค่าในเซตนั้น ตัวอย่างนี้ โคโดเมนคือ {a,b,c,d} • พิสัย(range) คือเซตของค่าในโคโดเมน ที่ฟังก์ชั่นแมปสมาชิกของโดเมนไปยังค่านั้นจริง โคโดเมนคือ {a,b,c} f a b c d 1 2345 2 เป็น pre-image ของ b =f(2) Fuculty of Informatics, BUU

46. Functions Example ให้f : Z  Rที่กำหนดโดยf (x ) =x 2 Q1: จงหาโดเมน และโคโดเมนของฟังก์ชั่น? Q2: จงหาอิมเมจของ -3 ? Q3: จงหาพรีอิมเมจของ 3, 4? Q4: จงหาพิสัยของf (Z)? Fuculty of Informatics, BUU

47. Functions Example. Basic-Terms. f : Z  Rที่กำหนดโดยf (x ) =x 2 A1: โดเมน คือZ, โคโดเมน คือR A2: อิมเมจของ -3 = f (-3) = 9 A3: พรีอิมเมจของ 3: ไม่มี เพราะ3 ไม่เป็นจำนวนเต็ม พรีอิมเมจของ 4: -2 และ 2 A4: พิสัยคือ เซตของเลขจำนวนเต็มยกกำลังสอง f (Z)= {0,1,4,9,16,25,…} Fuculty of Informatics, BUU

48. Function Composition Operator • การประกอบกันของสองฟังก์ชั่นg:AB และf:BC, แทนด้วยf○g, นิยามโดย (f○ g)(a) = f(g(a)) หมายความว่า • หาค่าฟังก์ชั่นgโดยใช้ค่าสมาชิก aA แมปค่า a ผ่านฟังก์ชั่น g ไปยังสมาชิกของ B • จากนั้นหาค่าฟังก์ชั่นfโดยใช้ค่าสมาชิกของ B, แล้วแมปค่านั้นผ่านฟังก์ชั่น f ไปยังสมาชิกของ C • ดังนั้น ฟังก์ชั่นประกอบ แมปจาก A ไปยัง C Fuculty of Informatics, BUU

49. Composition ตัวอย่าง ให้ g เป็นฟังก์ชันจาก A = { a, b, c} ไปยังเซต A ซึ่ง g(a) = b, g(b) = c, และ g(c) = a และ f เป็น ฟังก์ชันจาก A = { a, b, c} ไปยัง B = {1, 2, 3 } ซึ่ง f(a) = 3, f(b) = 2, และ f(c) = 1 ดังนั้นสามารถหา fog ได้ fog(a) = f(g(a)) = f(b) = 2 และ fog(b) = f(g(b)) = f(c) = 1 fog(c) = f(g(c)) = f(a) = 3 แต่ gof หาไม่ได้เนื่องจาก พิสัยของ f ไม่เป็นสับเซตของโดเมนของ g Fuculty of Informatics, BUU

50. Composition • ตัวอย่าง ให้ f และ g เป็นฟังก์ชันจากเซต Z ไป Z ซึ่งกำหนด f(x) = 2x + 3 และ g(x) = 3x + 2 จงหา fog และ gof เราสามารถหา fog และ gof ได้ดังนี้ (fog)(x) = f(g(x)) = f (3x + 2) = 2(3x + 2) + 3 = 6x + 7 (gof)(x) = g(f(x)) = g(2x + 3) = 3(2x + 3) + 2 = 6x + 11 Fuculty of Informatics, BUU