　　定义 3.1 设函数　　　　在点　的某个领域内有定义 .

　　定义3.1设函数　　　　在点　的某个领域内有定义.　　定义3.1设函数　　　　在点　的某个领域内有定义. (2)如果对于该领域内任意的总有　　　　　，则称　　为函数　　的极小值，并且称点　是　的极小值点. (1)如果对于该领域内任意的　　　　总有　　　　　，则称　　　为函数　　的极大值，并且称点　是　　的极大值点. 3.4.1 函数的极值

3.4.1 函数的极值 　　函数的极大值与极小值统称为函数的极值，极大值与极小值值点统称为极值点.

　　定理3.5(极值存在的必要条件)如果　　在点　处取得极值且在点　处可导,则　　定理3.5(极值存在的必要条件)如果　　在点　处取得极值且在点　处可导,则 . 3.4.1 函数的极值

定理3.6(极值判别法Ⅰ)设函数　　在点　的邻域内连续且可导(允许　　　不存在)，当　由小增大经过　点时，若定理3.6(极值判别法Ⅰ)设函数　　在点　的邻域内连续且可导(允许　　　不存在)，当　由小增大经过　点时，若 (1) 　由正变负，则　是极大值点； (2)　　　由负变正，则　是极小值点； (3)　　　不改变符号，则　不是极值点. 3.4.1 函数的极值

　　例1求函数　　　　　　　　　的极值． 　　解，令　　　　，解得　　　，　　　，　　.得到三个驻点，没有导数不存在的点. 3.4.1 函数的极值

极大值 无极值极小值 3.4.1 函数的极值

　　由表可见函数的极大值为　　　　　　， 极小值为　　　　．　　例2求函数　　　　　　　　　的极值．　　解， 3.4.1 函数的极值

　　令　　　　，解得　　. 　　当　　时，　　不存在．极大值极小值 3.4.1 函数的极值

　　函数极大值为　　　　，极小值为 　　　　．　　定理3.7(极值判别法Ⅱ)设函数　　在点处有二阶导数，且　　　　，　　　　存在， 3.4.1 函数的极值

(1)若　　　　　，则函数　　在点　处取得极大值；(1)若　　　　　，则函数　　在点　处取得极大值； (2)若　　　　　，则函数　　在点处取得极小值； (3)若　　　　　，则不能判断　　是否是极值. 3.4.1 函数的极值

　　对于　　　　的情形：　　可能是极大值，可能是极小值，也可能不是极值．　　对于　　　　的情形：　　可能是极大值，可能是极小值，也可能不是极值．例如　　　　，　　　，　　　是极大值；　　　　，　　　，　　　是极小值；　　　，　　　　，但　　　　不是极值．因此，当　　　　　时，第二判别法失效，只能用第一判别法判断. 3.4.1 函数的极值

　　例3求函数　　　　　　　　　的极值． 　　解　　　　　　　　　　　　　　　　，　　令　　　　，解得　　　，　　. 　　　　　　　　　，所以　　　是极大值点.　　的极大值为　　　　. ， 3.4.1 函数的极值

　　　　　　　　　，所以　　是极小值点.的极小值为　　　　　.　　　　　　　　　，所以　　是极小值点.的极小值为　　　　　. 3.4.1 函数的极值　　求函数极值的步骤：

　　①求　　的导数　　　； 　　②解方程　　　　，求出　　在定义域内的所有驻点；　　③找出　　在定义域内所有导数不存在的点； 3.4.1 函数的极值　　④分别考察每一个驻点或导数不存在的点是否为极值点,是极大值点还是极小值点；　　⑤求出各极值点的函数值.

　　对于一个闭区间上的连续函数　　,它的最大值、最小值只能在极值点或端点上取得．　　对于一个闭区间上的连续函数　　,它的最大值、最小值只能在极值点或端点上取得．因此,只要求出函数　　的所有极值和端点值，它们之中最大的就是最大值，最小的就是最小值. 3.4.2 函数的最大值与最小值

　　③比较前面求出的所有函数值，其中最大的就是　　在　　上的最大值　, 最小的就是　　在　　上的最小值　. 　　①求出　　在　　内的所有驻点和一阶导数不存在的连续点，并计算各点的函数值. 　　②求出端点的函数值　　和　　. 3.4.2 函数的最大值与最小值求最大值和最小值的方法如下：

　　计算出　　　　　，　　　，　　　　， 　　再算出　　　　　　，　　　　，　　例4求函数　　　　　　　　　　在　　　上的最大值与最小值. 解．　令　　　　，解得　　，　　，　　， 3.4.2 函数的最大值与最小值

　　比较这五个函数值，得出　　在　　　上的最大值为　　　　　，最小值为　　比较这五个函数值，得出　　在　　　上的最大值为　　　　　，最小值为 . 3.4.2 函数的最大值与最小值

　　解，　　令　　　　，解得　　　，　　，　　，　　计算出　　　　　　，　　　　，　　比较这五个函数值，得出　　在　　上的最大值为　　　　，最小值为　　　　. 　　再算出　　　　　　　　，　　例5求函数　　　　　　　　在　　上的最大值与最小值. 3.4.2 函数的最大值与最小值

　　例6求函数　　　　　　在　　　上的最大值与最小值.　　例6求函数　　　　　　在　　　上的最大值与最小值. 　　解，　　令　　　　，解得　　　，　　计算出　　　　　　　　，　　再计算出　　　　　　，　　　　， 3.4.2 函数的最大值与最小值

比较以上三个函数值得出在 上的最大值为，最小值为 . 　　事实上，有　　　　　　，故　　是单调增加的，单调函数的最大值和最小值都发生在区间的端点处. 3.4.2 函数的最大值与最小值

　　特别值得指出的是：　在一个区间(有限或无界，开或闭 )内可导且只有一个驻点　，并且这个驻点是　　的唯一极值点，那么，当　　是极大值时，　　就是　　在该区间上的最大值；当　　是极小值时，　　就是　　在该区间上的最小值．在应用问题中往往遇到这样的情形．这时可以当作极值问题来解决，不必与区间的端点值相比较． 3.4.2 函数的最大值与最小值

　　例7欲用长　　的铝合金料加工一日字形窗框，问它的长和宽分别为多少时，才能使窗户面积最大，最大面积是多少？　　例7欲用长　　的铝合金料加工一日字形窗框，问它的长和宽分别为多少时，才能使窗户面积最大，最大面积是多少？　　解　设窗框的宽为　，则长为 . 3.4.2 函数的最大值与最小值于是窗户的面积

　　因为　　　　　，所以　　是极大值点.由于　在区间(0，2)内有唯一的极大值，则这个极大值就是最大值. 　　令　　　，求得驻点　　　，　　于是得到，窗户的宽为　　，长为　　时，窗户的面积最大，最大面积为．． 3.4.2 函数的最大值与最小值

　　例8某厂生产某种产品，其固定成本为 3万元，每生产一百件产品，成本增加2万元．　　其总收入　(单位：万元)是产量　(单位：百件)的函数. ，　　求达到最大利润时的产量． 3.4.3 最大值与最小值在经济问题中的应用举例 1.最大利润问题

　　解　利润函数为 ．，令　　　，得 (百件). 　　　　　　　　，所以当　　　时，函数取得极大值，因为是唯一的极值点，所以就是最大值点. 3.4.3 最大值与最小值在经济问题中的应用举例　　即产量为300件时取得最大利润.

　　例9已知某个企业的成本函数为 ，　　其中　－成本(单元：千元)，　－产量(单位：吨)，求平均可变成本　(单位：千元)的最小值． 3.4.3 最大值与最小值在经济问题中的应用举例 2.最小成本问题

　　解　平均可变成本 ，，令　　　，得　　　(吨). 3.4.3 最大值与最小值在经济问题中的应用举例

　　　　　　　　，所以　　　时，　取得极小值，由于是唯一的极值，所以就是最小值．　　　　　　　　，所以　　　时，　取得极小值，由于是唯一的极值，所以就是最小值． (千元). 　　即产量为4.5吨时，平均可变成本取得最小值9 750元. 3.4.3 最大值与最小值在经济问题中的应用举例

定义 3.1 设函数 在点 的某个领域内有定义 .