第三节用矩阵分解法求解线性方程组

第三节用矩阵分解法求解线性方程组 七、三对角方程组的解法

lupdsv.m %功能：调用列主元三角分解函数[LU,p]=lupd(A) % 求解线性方程组Ax=b。 %解法：PA=LU, Ax=b←→PAx=Pb % LUx=Pb, y=Ux % Ly=f=Pb, f(i)=b(p(i)) %输入：方阵A，右端项b（行或列向量均可） %输出：解x（行向量）

function x=lupdsv(A,b) n=length(b); [LU,p]=lupd(A); y(1)=b(p(1)); for i=2:n y(i)=b(p(i))-LU(i,1:i-1)*y(1:i-1)'; end x(n)=y(n)/LU(n,n); for i=(n-1):-1:1 x(i)=(y(i)-LU(i,i+1:n)*x(i+1:n)')/LU(i,i); end

lupqdsv.m %功能：调用全主元三角分解函数[LU,p,q]=lupqd(A) % 求解线性方程组Ax=b。 %解法：PAQ-1=LU, Ax=b←→(PAQ-1)(Qx)=Pb % LU(Qx)=Pb, z=Qx, y=Uz % Ly=f=Pb, f(i)=b(p(i)) % Uz=y, z=Qx , x(q(i))=z(i). %输入：方阵A，右端项b（行或列向量均可） %输出：解x（行向量）

function x=lupqdsv(A,b) n=length(b); [LU,p,q]=lupqd(A); y(1)=b(p(1)); for i=2:n y(i)=b(p(i))-LU(i,1:i-1)*y(1:i-1)'; end z(n)=y(n)/LU(n,n);x(q(n))=z(n); for i=(n-1):-1:1 z(i)=(y(i)-LU(i,i+1:n)*z(i+1:n)')/LU(i,i); x(q(i))=z(i); end

定义1若n阶矩阵A=(aij)的元素满足:对于1<p,q<n的正整数p、q,有j≥i+p及i≥j+q时，aij=0，则A称为带状矩阵. 带宽为w=p+q-1。七、三对角方程组的解法较常见带状矩阵为带宽为3（p=q=2,w=3)的矩阵。 A称为三对角矩阵。系数矩阵为三对角矩阵的线性方程组称为三对角方程组。

三对角线性方程组 应用追赶法求解三对角线性方程组。追赶法仍然保持LU分解特性,它是一种特殊的LU分解。充分利用了系数矩阵的特点，而且使之分解更简单,得到对三对角线性方程组的快速解法。

定理如果带宽为 w=p+q-1 的n阶带状矩阵A有LU 分解:A=LU，则L是带宽为p的下三角矩阵，U是带宽为q的上三角矩阵。

求解Ly=b, y1=1, y2=1.5, y3=1, y4=0.5 求解Ux=y , x4=0.3333, x3=-0.3333, x2=-1, x1=-1

周期三对角方程组的一般形式 基本思想：利用谢尔曼-莫里森公式（Sherman-Morrison)将方程化为三对角方程求解。

谢尔曼-莫里森公式（Sherman-Morrison)

如何选取U,V

二版习题 P115----15 , 16 三版习题 P138----10 , 11

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