线性代数 (B2)

1. 王新茂 中国科学技术大学数学系 线性代数(B2)

2. 线性代数的研究对象 • 具有“线性”结构的数学对象。例如：数域、整数环、多项式环、向量空间、函数空间、变换空间、矩阵群 ...

3. 线性代数的研究方法 几何方法 —线性空间理论线性组合、线性相关、线性空间、同构、直和、直积、子空间、补空间、商空间、线性变换、对偶空间、像、核、特征子空间、不变子空间、根子空间、循环子空间、内积、正交、规范 ... 代数方法 —矩阵运算技巧一般数域、多项式运算、向量运算、矩阵运算、乘积分解、逆矩阵、行列式、初等变换、分块运算、相抵、相似、相合、对角化、三角化、标准形、二次型 ... 3

4. 教材及参考书 • 《线性代数》，李尚志，高等教育出版社，2006年5月第1版。 • 《线性代数》，李炯生、查建国，中国科学技术大学出版社，1989年4月第1版，2010年1月第2版。

5. 课程内容 一、域与多项式（4学时） • 域的定义 • 域上的多项式 • 最大公因式、辗转相除法 • 因式分解、重根、重因式 • 复/实系数不可约多项式

6. 课程内容 二、矩阵运算（10学时） • 行列式（Laplace、Binet-Cauchy公式） • 分块运算（幂级数、 Schur公式、张量积） • 初等变换（LU分解、QR分解） • 幺模变换（Smith标准形）

7. 课程内容 三、线性空间（10学时） • 抽象线性空间 • 同态与同构 • 子空间（交、和、直和、补） • 积空间 • 商空间

8. 课程内容 四、线性变换（10学时） • 线性映射与线性变换 • 线性函数与对偶空间 • 像空间与核空间、秩不等式 • 不变子空间、特征多项式 • 相似三角化、零化多项式、最小多项式 • 特征子空间、相似对角化

9. 课程内容 五、复数域上的相似标准形问题（10学时） • 根子空间 • 循环子空间 • Frobenius标准形 • Jordan标准形

10. 课程内容 六、一般数域上的矩阵相似问题（10学时） • 特征方阵 • 行列式因子、不变因子、初等因子 • 相似标准形 • 实相似与复相似

11. 课程内容 七、内积空间（10学时） • 内积、Euclid空间 • 标准正交基、正交变换 • 正交方阵、实规范方阵 • 实方阵的正交相似、正交相抵 • 酉内积、酉空间 • 双线性函数

12. 课程内容 八、二次型（8学时） • 二次型、内积、双线性函数 • 相合标准形 • 正定性 • 最小二乘法 • 二次函数的极值 • 矩阵广义逆

13. 一、数域与多项式

14. 域：定义了加法、乘法运算的非空集合，满足性质：（A1）加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c)（A2）加法交换律 a+b=b+a（A3）有加法单位元0 a+0=0+a（A4）有加法逆元 a+(–a)=(–a)+a=0（M1）乘法结合律 (a∙b)∙c=a∙(b∙c)（M2）乘法交换律 a∙b=b∙a（M3）有乘法单位元1 a∙1=1∙a=a（M4）有乘法逆元 a∙(a-1)=(a-1)∙a=1,∀a≠0（D1）加乘分配律 a∙(b+c)=a∙b+a∙c域：定义了加法、乘法运算的非空集合，满足性质：（A1）加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c)（A2）加法交换律 a+b=b+a（A3）有加法单位元0 a+0=0+a（A4）有加法逆元 a+(–a)=(–a)+a=0（M1）乘法结合律 (a∙b)∙c=a∙(b∙c)（M2）乘法交换律 a∙b=b∙a（M3）有乘法单位元1 a∙1=1∙a=a（M4）有乘法逆元 a∙(a-1)=(a-1)∙a=1,∀a≠0（D1）加乘分配律 a∙(b+c)=a∙b+a∙c

15. 域的例子：C、R、Q、Q[ ]、Q[ ]、Fq不是域的例子：Z、Q[π]、F[x] • F[x]中多项式的带余除法 • F[x]中两个多项式的最大公因式的定义 • 辗转相除法求两个多项式的最大公因式 • gcd(f,g)=1存在a,b使得a(x)f(x)+b(x)g(x)=1Sylvester Matrix 可逆。

16. F[x]中每个多项式可唯一分解为不可约因式的乘积F[x]中每个多项式可唯一分解为不可约因式的乘积 • f(x)没有重因式gcd(f(x),f’(x))=1 • 代数基本定理：次数≥1的复系数多项式在复数域中至少有一个复根。 • 实系数不可约多项式的次数不超过2

17. 二、矩阵运算

18. 行列式的计算 • 定义及初等变换 • Laplace展开定理：给定 ，则 • Laplace展开定理的几何涵义。 • Binet-Cauchy公式：当 时， • Binet-Cauchy公式的几何解释。

19. 例．设 ，求f’(x), f”(x), … • 例．设A是复矩阵，则 。 • 例．Vandermonde、Sylvester、Cauchy矩阵的行列式 • 例．设 ，则

20. 分块运算 • 方阵的幂级数 何时收敛？ • Schur公式

21. 例．若AC=CA，则 • 例． 张量积 • 性质： • 例．X↦AXB的矩阵表示。 • 例．f(x)=det(xI-A)，f(A)=0。

22. 初等变换 • 平延 • 旋转 • 反射 • （LU分解）每个矩阵A∈Fmxn都可表为A=PLU的形式，其中P是置换阵，L是可逆下三角阵，U是上三角阵。 • （QR分解）每个实矩阵A∈Rmxn都可表为A=QR的形式，其中Q是正交阵，R是上三角阵。

23. 幺模变换 • 幺模阵：行列式为±1的整数方阵，或行列式为非零常数的多项式方阵。 • 每个整数/多项式矩阵A都可表为A=QR的形式，其中Q是幺模阵, R是上三角阵。 • Smith标准形：每个整数/多项式矩阵A都可表为A=PDQ的形式，其中P,Q是幺模阵, D=diag(d1,…,dr,O)是对角阵，d1|…|dr≠0。

24. 三、线性空间

25. 域F上的线性空间(V,F,+,∙) • 线性空间V：具有加法、数乘运算的非空集合。 • V的子空间：对V的加法、数乘运算封闭的非空子集。 常见的线性空间 • Fn、Fm×n、F[x]、F[x1,…,xn]、Cn(Ω)、Lp(Ω) 向量组S的线性组合 向量组S的线性相关性 向量组S生成的子空间<S>

26. 向量组S的极大无关组M • 定理：<M>=<S>。 • 定理：任意两个极大线性无关组的元素数目相同。 • 定义：向量组的秩 = 极大线性无关组的向量个数。 线性空间的基、维数 向量v在基M下的坐标x v∈V x∈FM，其中x具有有限非零分量。

27. 同态与同构 • 同态：满足(1)(2)的映射σ：V1→V2。 • 同构：满足(1)(2)的一一映射σ：V1→V2。 (1)σ(x+y)=σ(x)+σ(y)，x,y∈V1(2)σ(a∙x) = a∙σ(x)，a∈F, x∈V1 • 域F上的有限维线性空间V与Fn同构，其中n=dimV。 • 例．设V1={[0,1]上连续函数}, V2={[0,1]上可微函数}是同态、是单射、非满射。

28. 子空间的交、和、直和、补 • (任意多个)子空间的“交”是子空间。 • (任意多个)子空间的“和”定义为生成的子空间。 • 若“和” 的分解式是唯一的，则“和”称为“直和”。 例．设{ai}是V的一组基，则V是一维子空间<ai>的直和。 定理：dim(V1+V2) = dim(V1) + dimV2－dim(V1∩V2) • 若V=U⊕W，则W称为U在V中的一个补空间。

29. 两个线性空间的直积 • U×V = { (u,v) | u∈U,v∈V } (u1,v1)+(u2,v2) = (u1+u2,v1+v2) λ(u,v) = (λu,λv) • 无穷多个线性空间的直积 ∏Vi ≠ 直和 ∑Vi 商空间 • 设U是V的子空间，V/U = { v+U | v∈V } ≌ W， 其中W是U在V中的一个补空间。

30. 四、线性变换

31. 线性映射 f：V1→V2 • f(x+y)=f(x)+f(y)，f(cx)=c f(x)，∀c∈F，x,y∈V1 • 线性映射 f：V→V 也称为线性变换。 线性映射的运算 • 加法 (f+g)(x) = f(x)+g(x) • 数乘 (cf)(x) = c f(x) 线性映射的表示 • (f(α1),…, f(αn))=(β1,…, βm)AA 称为 f 在基{α1,…,αn}和{β1,…, βm}下的矩阵。

32. 线性映射在不同基下的矩阵B=Q-1AP。 • 线性变换在不同基下的矩阵B=P-1AP。 对偶空间 • L(V1,V2) = {V1到V2的线性映射全体} 在线性映射的加法、数乘运算下构成域F上的线性空间。 • V* = L(V,F) = {V上线性函数全体} 称为V的对偶空间。 • L(V1,V2) ≌ Fmxn，其中m=dim(V1)，n=dim(V2)。 • 当V是有限维时，V* ≌ V。

33. 线性映射的像与核 • Im(f) = { f(x) | x∈V1 }，Ker(f) = { x∈V1 | f(x)=0 } • Im(f)和Ker(f)分别是V2和V1的子空间。 • Im(f) ≌ V1 / Ker(f) • dim(V1) = dim(Im(f)) + dim(Ker(f)) • （Frobenius秩不等式）： rank(AB)+rank(BC)≤rank(B)+rank(ABC) • 例．设A是n阶方阵，则 rank(An) = rank(An+1) = …

34. 线性变换的不变子空间 • 设线性变换A：V→V，U是V的子空间。若A(U)⊂U，则U称为A不变子空间，AU：U→U称为A在U上的限制. • 例．{0}、Im(A)、 Ker(A)、V都是A不变子空间。 • A不变子空间的交空间、和空间都是A不变子空间。 • 一维不变子空间<x>满足A(x)=λx，x称为属于特征值λ的特征向量，φA(x)=det(xI－A)称为A的特征多项式。 • 线性变换A的特征多项式与表示矩阵A的选取无关。

35. 线性变换的特征多项式 • 设 　 。σk等于A的所有k阶主子式之和。 • 设 　。 是 　　的k次初等对称多项式。 • 设 　　，　　　 各不相同。 　 分别称为 的代数重数。

36. 方阵的相似三角化 • 任意复方阵复相似于一个上三角的复方阵。 • 任意实方阵实相似于一个准上三角的实方阵，其中每个准对角块均为1或2阶方阵。 推论 • 设n阶复方阵A的全体特征值是{λ1,…,λn}，f是复系数多项式，则f(A)的全体特征值是{f(λ1),…,f(λn)}。 • Cayley-Hamilton定理：对任意复方阵A，φA(A)=0。

37. 线性变换或方阵的零化多项式 • 若f(x)满足f(A)=0，则称f(x)是A的零化多项式。 • f,g都是A的零化多项式  af+bg也是A的零化多项式。 • 次数最低的并且首项系数为1的A的零化多项式f(x)称为A的最小多项式，记作dA(x)。 • dA(x) | φA(x)

38. 线性变换的特征子空间 • Vλ=Ker(A－λI)是A不变子空间，称为属于特征值λ的特征子空间。dimVλ称为λ的几何重数。 • λ的几何重数≤λ的代数重数。 • 设λ1,…,λt是线性变换A的所有不同的特征值，则有

39. 线性变换可对角化的充分必要条件： • 存在一组由特征向量构成的基 • 每个特征值的几何重数＝代数重数 • 最小多项式无重根

40. 五、复数域上的相似标准形问题

41. 根子空间 • Wλ=Ker(A－λI)n是A不变子空间，称为属于特征值λ的根子空间。dimWλ=λ的代数重数。 定理（根子空间分解）： 定理：任意复方阵都复相似于一个准对角阵的复方阵，

42. 循环子空间 • 对任意α∈V，令αk=Ak-1(α)，k=1,2,…。U=<α1,α2,…>是A不变子空间，称为α生成的A循环子空间，记为F[A]α。 • 线性变换 A|U 在基{α1,…,αm}下的矩阵为 (Companion Matrix)

43. 关于循环子空间的一些定理 • 循环子空间与不变子空间的交一定是循环子空间。 • 两个循环子空间的和空间不一定是循环子空间。 • 设 　，则

44. 向量的零化多项式 • 满足f(A)α=0的多项式f称为α相对于A的零化多项式。 • f,g都是α的零化多项式  af+bg也是α的零化多项式。 • 次数最低的并且首项系数为1的α的零化多项式f(x)称为α的最小多项式，记作dA, α(x)。 • dA, α(x) | dA(x)。 • 设 　，则 。 • 存在 α 满足 dA, α(x) = dA(x)。

45. Jordan形矩阵 • 对任意α∈Wλ，令αk=(A－λI)k-1(α)，k=1,2,…。 • 设αm≠0，αm+1=0，则α1,…,αm线性无关。 • U=<α1,…,αm>=<α,A(α),…,Am-1(α)> • 线性变换 A|U 在基{αm,…,α1}下的矩阵为 (Jordan Matrix Jm(λ)) • dJ(x)=φJ(x)=xm

46. Jordan标准形 • 设α满足dA, α(x)=dA(x)=xm，C=<α,Aα,…,Am-1α>。则存在A不变子空间U满足V=U⊕C。证明：对m用归纳法。假设A不变子空间U1满足 ImA=U1⊕A(C)。设{α,β1,…,βk}是ImA的一个补空间的一组基，则A(βi)=ui+A(ci)，其中ui∈U1，ci∈C。于是，U=U1⊕<β1-c1,…,βk-ck>是A不变子空间。 • 每个根子空间都可分解为一些循环子空间的直和。

47. A 在 　　的某组基下的的矩阵为 (Jordan标准形) • 设 　，称 　为A的一个初等因子， 为A的初等因子组。 • 属于λi的Jordan块的个数ki ＝ λi的几何重数。 • A 的Jordan标准形中Jm(λ)的个数＝

48. 复方阵的Jordan标准形的计算方法 • 计算特征多项式 　； • 分解特征多项式 　　； • 对每个λi，计算 rj=rank(A-λiI)j 直至 rj=rj+1； • 对每个λi，计算 rj-1+rj+1-2rj，j=1,…,mi； • 由此得A的Jordan标准形J中各块的大小和个数； • 求解线性方程组AP=PJ得P。

49. 根子空间 循环子空间 循环子空间 循环子空间

50. 满足AB=BA的复方阵 • A、B有公共的特征向量。 • A、B可同时相似于上三角。 • 若A、B都相似于对角，则可同时相似于对角。 • 若dA(x)=φA(x)，则B是A的多项式，B=f(A)。