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逆矩阵 与 分块矩阵

逆矩阵 与 分块矩阵. 逆矩阵. 对于数的运算，如果对于数 ，存在数 ，使得 ，则称数 为数 的倒数，记作 。. 从而有. ★ 引言. 对于矩阵运算，是否有相似之处呢？. ★ 逆矩阵的概念. 设 A 为 n 阶方阵，如果存在 n 阶方阵 B ，使得 AB=BA=E ，则称 矩阵 B 为方阵 A 的逆矩阵 ，记作 B=A -1 . 逆矩阵也称为 非奇异矩阵 。. 例如：. 所以. 当然. 1 、方阵 的 伴随矩阵.

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逆矩阵 与 分块矩阵

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  1. 逆矩阵 与 分块矩阵

  2. 逆矩阵

  3. 对于数的运算，如果对于数 ，存在数 ，使得 ，则称数 为数 的倒数，记作 。 从而有 ★ 引言 对于矩阵运算，是否有相似之处呢？ ★ 逆矩阵的概念 设A为n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使得AB=BA=E，则称 矩阵B为方阵A的逆矩阵，记作B=A-1.逆矩阵也称为非奇异矩阵。 例如： 所以 当然

  4. 1、方阵 的伴随矩阵 为元素 的 代数余子式 ★ 逆矩阵存在的充分必要条件 注意足标的变化 性质 推论：如果A是n阶方阵，则 2、逆矩阵存在的充分必要条件 且 方阵A可逆 推论：如果A可逆，则

  5. （2） （1） 例1 判断下面的矩阵是否可逆，如果可逆，则求逆矩阵 解 因为 所以矩阵A可逆

  6. 所以

  7. （2）因为 所以，矩阵B不可逆

  8. 例2用逆矩阵求解线性方程组 解 将方程组改写成矩阵形式，得

  9. 因为 所以，系数矩阵A可逆 因而有

  10. 例3求解矩阵方程 解 记原矩阵方程为 AXB=C，因为 所以，矩阵 A、B 都可逆 在原方程两边同时左乘 A-1，右乘 B-1，得

  11. 2、AB=E BA=E 3、若A可逆，则A-1也可逆，且 . 4、若A可逆，数 ，则 5、若A、B为同阶可逆矩阵，则 6、若A可逆，则 7、 ★逆矩阵的性质 1、逆矩阵是唯一存在的。 （此性质可将定义简化）

  12. 例4设三阶方阵A的伴随矩阵为 ，且 ，求 解

  13. 分块矩阵

  14. ★ 分块矩阵的概念 用穿过矩阵的横线和竖线将矩阵A分割成若干个子块，以这些子块为元素的矩阵A称为分块矩阵。 例如 则A可记作 称A为以子块A11、A12、A13、A21、A22、A23为元素的分块矩阵。

  15. 如： ★ 分块矩阵 则不是分块矩阵。

  16. ★分块矩阵的加减运算 设A、B同型，且采用完全相同的分块方法，得 则 注意：A i j与B i j同型

  17. ★ 分块矩阵的数乘及转置 设将A分块得 则

  18. 记作 列分块

  19. 分块矩阵的转置运算——子块当作元素转置后子块本身分块矩阵的转置运算——子块当作元素转置后子块本身 再转置。如 先把子块当作元素运算，然后子块再运算。 ——只适用于矩阵的加、减、数乘、相乘、转置等运算。

  20. 其中 ★ 分块矩阵的乘法运算 设A、B矩阵分块得 则 注意： A的列块数=B的行块数；A i k的列数=B k j的行数

  21. 例题：设 将A、B适当分块，计算AB 解 将A、B作如下分块：在一、二行之间插入横线， 在一、二列之间插入竖线（如题目所示），则

  22. 所以 则 而

  23. ★小结： 1、矩阵的分块运算分两步完成，首先，视子块为元素，按 矩阵的运算法则作第一步运算，然后，在子块的运算中， 再进行实质上的矩阵运算。 2、在对矩阵进行分块时，必须遵守相应运算的前提条件。 如：相加减的矩阵，需采取完全相同的分块方法；相乘 时，左矩阵的列块数必须等于右矩阵的行块数，同时还 须保证子块运算时的左子块的列数必须等于右子块的行 数。

  24. （1） （2）若A可逆，则 ★分块对角矩阵 如果可将矩阵A进行适当分块，得到如下形式，则称矩阵A为分块对角矩阵。 其中A i i 为方阵子块，其余子块 均为零子块 ★分块对角矩阵的性质

  25. ★ 分块对角矩阵 （方阵） 其中对角线上的子块全是方阵，其余子块是零矩阵。如 不是 是

  26. 设 ，求|A|及A-1 例题 解 将A分块：一、二行，三、四行之间各插入横线， 在一、二列，三、四列之间各插入竖线，则 其中 所以

  27. 再见！

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