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第 7 章 行 列 式

第 7 章 行 列 式. A 矩陣的 行列式以 det( A ) 或 | A | 表示. det( A ) 或 | A | 表示一個數值， 它可能為正，為負或為 0. 22 矩陣的 行列式. +. −. 33 矩陣的 行列式. −. +. 餘因子展開. 子行列式 (Minor) 若 A 為 nn 矩陣， a ij 的子 行列式表為 M ij ，它是 A 中去掉第 i 列第 j 行所得的 (n-1) (n-1) 階矩陣的行列式。. 餘因子 (Cofactor) ( −1) i+j M ij 稱為 a ij 的餘因子.

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第 7 章 行 列 式

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  1. 第 7 章 行 列 式

  2. A矩陣的行列式以 det(A) 或 |A| 表示 det(A)或|A|表示一個數值， 它可能為正，為負或為0.

  3. 22矩陣的行列式 + −

  4. 33矩陣的行列式 − +

  5. 餘因子展開 子行列式(Minor) 若A為nn矩陣，aij的子行列式表為 Mij，它是A中去掉第i列第j行所得的 (n-1)(n-1)階矩陣的行列式。 餘因子(Cofactor) (−1)i+j Mij稱為aij的餘因子.

  6. 利用列的餘因子展開求行列式 若A為nn矩陣，則對任意整數 i， 1 ≤ i ≤ n， 第 i 列的餘因子展開式

  7. 44矩陣的行列式 選某一列展開： 例如以第2列展開

  8. 利用行的餘因子展開式求行列式 若A為nn矩陣，則對任意整數 j， 1 ≤ j ≤ n， 第 j 行的餘因子展開式

  9. 44矩陣的行列式 選某一行展開： 例如以第1行展開

  10. 排列 分為奇排列與偶排列 說明如下 考慮1, 2, 3, 4, 5的一種排列 2, 5, 1, 4, 3 問題：2, 5, 1, 4, 3 的排列順序須經 過幾次相鄰位置的交換，才 能變回 1, 2, 3, 4, 5 之順序？

  11. 2, 1, 5, 4, 3 2, 5, 1, 4, 3 → 1, 2, 5, 4, 3 → 1, 2, 5, 3, 4 → 1, 2, 3, 5, 4 → 1, 2, 3, 4, 5 →  奇排列 5次交換

  12. 從 2, 5, 1, 4, 3 排列中的每一個 數字 k，數算在其右邊較 k 小的 個數，再加總起來，即可判定 為奇排列或偶排列。 1+3+0+1+0 2, 5, 1, 4, 3 ： = 5 →奇排列 2+0+1+1+0 3, 1, 4, 5, 2 ： = 4 →偶排列

  13. 令 p = 排列 2, 5, 1, 4, 3 則 p(1)=2, p(2)=5, p(3)=1 p(4)=4, p(5)=3 若 p 為一排列，定義

  14. 若A為nn矩陣，則A的行列式等於 下列乘積的總和 (−1)sgn(p)a1p(1)a2p(2)  anp(n) p 為 1,2, , n 的所有排列，即 |A| =Σ(−1)sgn(p)a1p(1)a2p(2) anp(n) p

  15. 1,2,3的排列共有6種：(1,2,3),(1,3,2), (2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),其排列 分別為 偶,奇,奇,偶,偶,奇

  16. 行列式的性質 • 展開的每一項一定從每列僅取 • 一個元素，同時也從每行僅取 • 一個元素。 2. 若有零列或零行，行列式必等 於 0。 3. 經列運算或行運算後，若可造 成零列或零行，行列式必等於 0。

  17. 4. 某一列或某一行乘以一常數 k ， 則行列式將變成原來的 k 倍。 5. 若將某兩列交換或某兩行交換， 則行列式的值將變更正負號。 6. 以某一列(行)的純量倍加到另一 列(行)則行列式的值不變. 7. 設A與B均為nn階矩陣，則 | AB | = |A| |B|

  18. 7.5 習 題 1. 3. 5. 9.

  19. 反矩陣的行列式表法 設A為nn階非奇異矩陣 (即|A|≠0)， 定義另一nn階矩陣 B如下 則 B=A−1.

  20. 令 B=A−1.

  21. 7.7 習 題 3. 5.

  22. 克蘭姆法則(Cramer’s rule) 利用行列式法求解方程組 AX = B， 其中A為nn階非奇異矩陣.

  23. 設A為nn階非奇異矩陣，則AX=B 的唯一解為 ，其中 而A(k；B)為A中第k行以B替代後 所得的矩陣.

  24. 證明

  25.  xn  x2  x1 再將每一第 j 行( j≠k )乘以 xj 後加 於第 k 行，如此並不影響行列式值

  26. 試解方程組：

  27. 7.8 習 題 2. 4. 8.

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