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第九节 各种积分间的关系. 一 格林( Green) 公式及其应用. 二 高斯 (Gauss) 公式. 格林 ( Green.George ) 简介. 磨坊工数学家. 格林 ( 1793 — 1841 )十八世纪英国数学家. 8 岁上学, 9 岁辍学。凭着对数学的爱好和惊人的毅 力,在父亲的磨坊一边做工,一边自学。他 35 岁时发表 了他的第一篇也是最重要的论文“论数学分析在电磁理 论中的应用”,随后又完成了三篇论文。 40 岁终于进入 了剑桥大学,四年后获得学士学位。 格林短促的一生共发表了十篇论文,数量不多,却
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第九节 各种积分间的关系 一 格林(Green)公式及其应用 二 高斯(Gauss)公式
格林 (Green.George) 简介 磨坊工数学家 格林 (1793—1841)十八世纪英国数学家 8岁上学,9岁辍学。凭着对数学的爱好和惊人的毅 力,在父亲的磨坊一边做工,一边自学。他35岁时发表 了他的第一篇也是最重要的论文“论数学分析在电磁理 论中的应用”,随后又完成了三篇论文。40岁终于进入 了剑桥大学,四年后获得学士学位。 格林短促的一生共发表了十篇论文,数量不多,却 包含了影响19世纪数学物理发展的宝贵思想。
D D 一 格林公式及其应用 1.区域连通性的分类 设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成 的部分都属于D, 则称D为单连通区域, 否则称为 复连通区域. 单连通区域 复连通区域 3
2.格林公式 二重积分与其区域边界上 的曲线积分之间的联系 定理1 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成, 格林公式 4
规 定 边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边. 5
注: 1.格林公式是牛顿—莱布尼兹公式的推广。 2.边界是反方向,则 3.区域是复连通区域时,格林公式也成立, 边界必须是区域的整个边界。
y E d D B A c C x a o b 证明:(1)特殊情形 7
y E d D B A c C x o 同理可证 8
D 两式相加得 证明(2) 9
格林公式的实质: 揭示了平面闭区域上二重积分与区域 边界上的曲线积分之间的联系. 11
3. 简单应用 (1) 简化曲线积分的计算 12
证:令 则 利用格林公式 , 得 13
y x o 15
解 17
y L x o y x o 18
y x o (注意格林公式的条件) 19
(3) 计算平面区域面积 20
解 由求面积的公式: 22
它与L所围 解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段 区域为D ,则 原式 24
注 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算, 若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;
若区域如图为复连通域,试描述格林公式中曲线积分中L的方向.若区域如图为复连通域,试描述格林公式中曲线积分中L的方向. 思考题 26
思考题解答 L由两部分组成 外边界: 内边界: 27
y G B A x o 4.平面上曲线积分与路径无关的等价条件 如果在区域G内有 28
函数 定理2.设D 是单连通域, 在D 内 具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价: (1) 沿D 中任意光滑闭曲线L , 有 (2) 对D 中任一分段光滑曲线L, 曲线积分 与路径无关, 只与起止点有关. (3) 的全微分, 在 D 内是某一函数 即 (4) 在 D 内每一点都有 30
由定理2知: 积分与路径无关,可以取路径为平行于 坐标轴的折线,即 31
解 33
解 35
由定理2知: 由于积分与路径无关,可以取路径为平行于 坐标轴的折线,这样就可求出u(x,y)。 37
则 取定点 及动点 或 称全微分方程 38
是某个 例8 验证 函数的全微分, 并求出这个函数. 39
。 。 证:设 由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使 40
内容小结 1. 格林公式 2. 等价条件 设 P, Q在 D内具有一阶连续偏导数, 则有 在D内与路径无关. 对 D内任意闭曲线 L 有 在 D内有 在D内有 41
根据定理2 , 若在某区域内 则 1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径; 2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算, 若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线; 3) 可用积分法求 在域 D 内的原函数:
思考题 设 43
提示: 44