从经典中再创造

1. 从经典中再创造 数学说题 厦门市杏南中学 黄志鲲

2. 试题来源 2013年厦门市中考 数学试题第23题

3. 试题再现 如图，在正方形ABCD中，点G是边BC上的任意一点，DE⊥AG，垂足为E，延长DE交AB于点F.在线段AG上取点H，使得AG＝DE＋HG，连接BH. 求证：∠ABH＝∠CDE.

4. A D E F B B C C G 说试题背景 本题改编自《人教版数学教科书八年级下册》（2008.6第2版）第104页“拓广探索”第15题： 如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E， BF∥DE，且交AC于点F。 求证：AF-BF=EF

5. 说题目立意 • 考查知识与技能：正方形的性质、平行线的性质与判定、全等三角形的性质与判定 • 考查方法：线段与角的等量代换 • 考查能力：几何直观、合情推理与演绎推理能力 • 考查数学思想：类比思想、转化思想

6. A D D D E F B C C G A D D D E F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F H B B C C G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G 说题目解析 第一部分条件，“在正方形 ABCD中 ，DE⊥AG ”是学 生很熟悉的背景（依次做下 去就得到弦图的基本框架） 第二部分条件，“在线段AG上 取点H，使得AG＝DE＋HG ” 最后结论:证明两个角是等角

7. A D D D E F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F H B B C C G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G 从第二个条件很容易产生疑问： （1）新增的BH是否如往常一样垂直于AG？ （2）等式 AG＝DE＋HG中DE和另外两条线段不在同一直线上，怎么办？ 从结论来看，则产生疑问： （3） ∠ABH与∠CDE的关系是怎么来的？

8. 对于疑问（1），大部分同学还是能够根据常规经验猜想两者是相互垂直的，但证据不够。对于疑问（1），大部分同学还是能够根据常规经验猜想两者是相互垂直的，但证据不够。 对于疑问（2），最直接的办法就是找出在同一直线上的线段进行对比，这样就能得出某些线段的等量关系。 对于疑问（3），要证明两个角相等，思路就多了，可以通过直接证法，如构造全等或相似三角形证明对应角相等、构造平行四边形证明对角相等；也可以通过间接证法，如利用平行的等量传递（A=B,B=C,则A=C）、等角的余角相等、四边形内角和360°等。

9. A D D D E F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F H B B C C G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G 说题目解法 解法一： 由DE⊥AG得出∠BAH =∠ADE，由AG＝DE＋HG=AH+HG得出DE=AH，从而△ABH≌△DAE，得BH⊥AG，则BH∥DF， 所以∠ABH =∠AFD ，∠AFD =∠CDF， 则∠ABH = ∠CDF

10. A D D D E F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F H B B C C G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G 说题目解法 解法二：先证△ABG≌△DAF，得AF=BG，∠AFD =∠BGA， DF=AG， 由AG＝DE＋HG，DF=DE+EF，推出EF=HG，再证△ EAF ≌△HBG ，可得 （1）BH ⊥ AG，得DF∥BH，下同解法一 （2）∠HBG =∠EAF，进而 ∠HBG =∠ EAF = ∠ADE， 由等角的余角相等可得 ∠ABH = ∠CDF

11. A D G F C B E 说试题拓展 正方形ABCD的边长为a，点E在线段BC上，F、G在线段AE上。 （1）若∠ABF= ∠CDG ，且EF:FG:GA=1:2:3， 求线段EF的长 （2）若△ABF≌ △DAG，且G是线段AF中点， 求线段EF的长

12. A D A D D D E E F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F H B B C C G B B C C G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G 说反思 一、试题与原型题的对比 （1）在教科书的原型题中， “DE⊥AG”的条件没变，“BF∥DE”目的是推导“BF⊥AG”，而考题中将“BF∥DE”改成“AG＝DE＋HG”，实际上是把结论换成条件，增加题目的难度，让学生没那么容易就得到“BF⊥AG”，结果还真有学生不假思索直接“默认” “BF⊥AG”导致错误。

13. A D A D D D E E F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F H B B C C G B B C C G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G 说反思 （2）原型题中没有将线段DE延长，而试题中却延长，多一条线图形就会变得有点复杂，会对学生解题产生干扰。尽管不用延长也可以做出来，但是延长最主要的功能是给学生提供更多的解题方向，如可以用来证明三角形全等，可通过平行得到等角。

14. A D A D D D E E F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F H B B C C G B B C C G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G 说反思 （3）其实原型题的“原型”就是中国古代的“弦图”，它的精妙之处就在于等量的证明，试题改编后保留了证明的精华，而且巧妙地突破学生的思维定势，第二个垂直不再是“理所当然”，体现一个“变”字，考查学生的观察、分析和应变能力。

15. 二、对教学的指导作用 本试题特点是来源于经典，扎根于课标，在传统中巩固学生的基础知识和基本技能，在变化中考查学生的分析、应变能力，达到一举两得的效果。本试题难度适中，学生感觉入手不难，分析也不存在较大的困难，在解题中得到不小的收获。 对于教师而言，这是一个很好的学习机会，它能指导我们如何重视教材中的典型例题或习题，抓住课标精神，积极探索和创新，一样也能创造经典。