第三章多元正态分布

设随机向量， 独立同分布于，则的概率密度为第三章多元正态分布第一节多元正态分布的定义

的均值和协方差矩阵分别为 的分布称为均值为，协方差矩阵为的多元正态分布，记作

假设为 的一个非退化线性变换，其中是一个维非退化矩阵（即），则称维随机向量的分布为非退化的多元正态分布，记作，其中。的均值和协方差矩阵分别为

因为雅可比行列式 所以的概率密度函数为

设随机向量，为 维常数向量，是一个常数矩阵，则称的分布为多元正态分布，仍记作，其中。若（自然），则存在，的分布是一个非退化的元正态分布，其概率密度见上式。若，则不存在，的分布称为退化的元正态分布，不存在概率密度。

例如，设，其中 ，，则的分布就是退化的三元正态分布，即，其中

例（二元正态分布）设 ，这里由于故当时，，这时

由多元正态分布密度函数公式可得此时 的概率密度为当时，

另，和的边际密度函数分别是 故有即和相互独立，因此，对于二元正态分布来说，两个分量的不相关和独立性是等价的。当时，，即不存在，此时，的概率密度不存在，是一个退化的二元正态分布，并且和之间以概率存在着线性关系。

多元正态分布的特征函数 ，其中例上一节二元正态分布的特征函数为第二节多元正态分布的性质一、多元正态分布的特征函数

证明由标准正态变量的特征函数 又设相互独立，则的特征函数

所以，的特征函数 二、设是一个维随机向量，当且仅当它的任何线性函数（为维常数向量）均服从一元正态分布时，服从多元正态分布。

证明充分性 设对一切，都服从一元正态分布。记，，于是，从而，于是其特征函数可表示为

所以，的特征函数 该式对一切都是成立的，所以由多元正态分布的特征函数表达式知服从元正态分布。

必要性设服从 元正态分布，又由多元正态分布的定义知，存在维常数向量和常数矩阵，使得，其中，于是对任意的，有，因此再由多元正态分布的定义知，服从一元正态分布。

三、设，，其中 为常数矩阵，为维常数向量，则（多元正态变量的任何线性变换仍为多元正态变量。）

证明对任意， ，因为是多元正态变量，而是的一个线性函数，从而由上述性质二的必要性知，是一元正态变量，所以是一元正态变量；再由性质二的充分性知，是一个元正态变量。又由于故而

例设，为 维常数向量，则例设，这里

则服从一元正态分布，且即。

四、多元正态分布的任何边际分布仍为正态分 布。设，则的任何子向量也服从多元正态分布，其均值为的相应子向量，协方差矩阵为的相应子矩阵。证明不妨对的前个变量组成的子向量作出证明，将，，作如下的剖分：

令，则由 知例设，这里则每个的边际分布为，。

设相互独立，且 ，，则对任意个常数，有五、独立的多元正态变量（维数相同）的任意线性组合仍为多元正态变量。

证明令，对任意的 ，由于一元正态变量相互独立，从而由一元正态分布的性质知，其线性组合也服从一元正态分布，所以服从元正态分布。且故而

例设独立同分布于 ，则由知

六、设，，则 证明令，于是，即独立同分布于，所以由卡方分布的定义知

设，对 的剖分如下：则子向量和相互独立，当且仅当。七、对于多元正态变量而言，其子向量之间互不相关和相互独立是等价的。

证明必要性。 设和相互独立，则。充分性。设，于是从而

所以和相互独立。 八、设，，，其中当且仅当，则和相互独立。

证明令 则由知

必要性。设和相互独立， 则。充分性。设，于是从而，故由性质七知，和相互独立。

九、设，， ，其中，当且仅当，则和相互独立。

证明令，由 知，，于是从而由于，所以，由性质八知，当且仅当，即时，和相互独立。

十、设， ，作了如下剖分：则和相互独立，和也相互独立。

证明令， ，显然，，于是从而

所以，有性质九知，和相互独立。 同理可得，和也相互独立。该性质说明，从中扣除与线性相关的部分后便和相互独立。

十一、设， ，作如下剖分则给定时的条件分布为，其中

证明由可知，， ，，记令于是

故由性质十知，和相互独立，从而又由知，于是所以

故而，给定时的条件概率密度为

即给定时的条件分布为 。称为条件数学期望或条件均值，称为偏协方差矩阵或条件协方差矩阵，它的元素用表示，即该性质表明，对于多元正态向量，其子向量的条件分布仍是（多元）正态的。

可以表达为 这是一个对给定的的多元回归模型，因此称为对的回归系数矩阵。特别当时该式简化为对的线性回归函数形式，即

其中回归系数为的 个元素，。其回归的剩余方差是例设，其中

则对的线性回归函数为 其剩余方差是给定时的条件分布为

例设，其中 试求给定时的条件分布。解令，，于是

利用和可得给定时的条件均值和偏协方差矩阵分别为和

所以给定时和的偏相关系数定义为它度量了在值给定的条件下和间相关关系的强弱。

当中的元素不止一个时，直接用公式计算比较麻烦，这时可采用偏相关系数的递推公式计算：具体计算时，首先计算一阶偏相关系数

可见，一阶偏相关系数可直接由相关系数算得；可见，一阶偏相关系数可直接由相关系数算得；其次计算二阶偏相关系数

同样求得和 。如此按递推公式计算下去，直至计算出所需阶数的偏相关系数。与相关系数一样，偏相关系数也满足：

第三章 多元正态分布