矩形面積公式教學的實驗研究

1. 矩形面積公式教學的實驗研究 師大數學系 測量概念研究小組

2. 量與實測 • 量與實測是數學的核心課程之一。日常生活中除了計數的應用之外，量的測量與估計也是學習的一環。 • 學生量的學習從連續量入口，可以與有理數的學習相互加強。 • 量的內容中，又以長度的教學最為關鍵：長度是學生保留概念最早成熟的量，也是最容易操作的量；長度的測量可以是分數與小數教學的自然入口，同時也是學習數線的典型模型。 • 經由長度及其實測，學生學習如何在數線上作比較與四則運算，由此將整數與有理數徹底整合，作為日後負數、實數、幾何、函數學習的基礎。

3. 量的學習 • 教學中的量包含長度、重量、容量、時間、角度、面積、體積等生活中常用的七種量。 • 時間以外六種量的學習，大致上要經歷下列五個階段： (1) 初步概念與直接比較； (2) 間接比較與個別單位； (3) 常用單位的約定； (4) 常用單位的換算(化聚)； (5) 公式化的概念(只有面積和體積有此階段)。

4. 矩形面積公式 • 矩形的面積為長乘以寬，這是眾人皆知的公式。 • 這個公式是如何得來的？多半的學生會回答是老師說的！如何導出的？大部分都是由整數邊得知。 • 我們何時推導出矩形面積公式。我們是如何推導出矩形面積公式呢？

5. 整數邊長：規律 已知長為1單位的正方形面積為1平方單位 試問 • 長為m單位、寬為1單位的矩形面積為多少平方單位? • 長為m單位、寬為n單位的矩形面積為多少平方單位?

6. 有理數邊長

7. 實數邊長 • 如何處理實數邊長的矩形的面積公式？我們幾乎未曾見過任何教本處理過這些問題。 • 為了數學的邏輯結構，數學教材的架構，以及學習理論的架構，我們有必要設計一個教學或學習活動，以彌補我們對矩形的面積概念的完整性的落差。

8. 困擾與解決 • 這個教學或學習的設計活動最大的困擾是證明面積公式與體積公式的動機何在？一個被視為理所當然的事實，花了一大堆複雜的過程去解說，是否有必要？ • 就認知結構來說從正整數、分數一下子越過實數的完備性，直接跳到面積公式與體積公式，對學生而言並不構成困擾。 • 對數學邏輯結構來說從分數到實數是條極大的鴻溝很不容易躍過，這條鴻溝上的獨木橋，就是幾何原本第五冊兩個比相等的定義。

9. 架構圖

10. 理論根據 • 有四個量，第一量比第二量與第三量比第四量有相同的比，若對第一量與第三量取任意相同的倍數，又對第三量與第四量取任意相同的倍數，而第一與第二倍量之間依序有大於、等於或小於的關係，便有第三與第四倍量之間的相應關係。 • 這兩個比值相等，所暗藏的根本原理是：兩個實數相等的充要條件就是此兩個實數間無任何有理數存在。 • 用另外一個角度來說就是：相異兩實數間必有一個理數

11. 兩個比相等(幾何原本第五冊) • 定義：兩個比相等（幾何原本第五冊）： • 有四個量，第一量比第二量與第三量比第四量有相同的比: 若對第一量與第三量取任意相同的倍數，又對第二量與第四量取任意相同的倍數，而第一與第二倍量之間依序有大於、等於或小於的關係，便有第三與第四倍量之間的相應關係。

12. 兩個比相等(幾何原本第五冊) • 定義：兩個比相等（幾何原本第五冊）： • 有四個量，第一量a比第二量b與第三量c比第四量d有相同的比: 若對第一量a與第三量c取任意相同的倍數m，又對第二量b與第四量d取任意相同的倍數n，而第一倍量ma與第二倍量nb之間依序有大於、等於或小於的關係，便有第三倍量mc與第四倍量nd之間的相應關係。

13. 兩個比相等(幾何原本第五冊) 兩個比a:b 與c:d相等的充要條件為 任意給定兩個正整數m,n恆有 • 若ma>nb，則mc>nd • 若ma=nb，則mc=nd • 若ma<nb，則mc<nd

14. 比相等的意義 • 整數倍：直接量 • 分數倍：切割 • 實數倍：累計

15. 比值相等的意義

16. 兩個實數相等的充要條件 • 這兩個比值相等，所暗藏的根本原理是：兩個實數相等的充要條件就是此兩個實數間無任何有理數存在 • 用另外一個角度來說就是： 相異兩實數間必有一個理數 • 給定兩個相異實數，如何在其間找到一個有理數出來，這又是另外一個難題。

17. 在數線上描出有理點 • 給定兩個相異實數，如何在其間找到一個有理數出來，這又是另外一個難題。 • 想要解決這個難題必需理解有理數就是分數，而分數的分子與分母有其特別的意義，追根究底就回到最原始的問題：如何在數線上描出有理點？

18. 相異實數間的有理點

19. 架構圖

20. 等高兩矩形面積之比等於底邊之比。 • 矩形面積等於長×寬的充要條件為等高兩矩形面積之比等於兩矩形底邊之比。 • 等高兩矩形面積之比等於兩矩形底邊之比就是要點出兩個比值相等的意義： 設甲乙兩個同寬的矩形，甲矩形的面積為U，長度為a；乙矩形的面積為V，長度為b。今任給定兩個正整數m,n， 將甲矩形放大為n倍，乙矩形放大為m倍，恆有 若 na>mb 則 nU>mV； 若 na<mb 則 nU<mV； 若 na=mb 則 nU=mV。

21. 幾何的直觀 • 上面描述兩個比值相等的意義所依據的就是幾何的直觀： 等寬兩個矩形，面積較大者長邊亦較長；長邊較長者面積亦較大。

22. 兩實數相等 • 為什麼任給定兩個正整數m,n， 將甲矩形放大為n倍，乙矩形放大為m倍，恆有 若 na>mb 則 nU>mV； 若 na<mb 則 nU<mV； 若 na=mb 則 nU=mV。 即能導出U：V＝a:b？ • 將上面的式子用分數改寫可得：

23. 數線上相異兩點間恆可找到有理點 • 最後剩下的問題是：兩個實數間如無任何有理數存在，則此二實數相等。因此只需說明如何在數線上相異兩點間恆可找到一個有理點。亦即，給定相異兩實數a<b，如何找出在a與b之間的分數呢？

24. 先備知識1：比值相等 • 有四個量，第一量比第二量與第三量比第四量有相同的比 • 若對第一量與第三量取任意相同的倍數，又對第三量與第四量取任意相同的倍數，而第一與第二倍量之間依序有大於、等於或小於的關係，便有第三與第四倍之間的相應關係。

25. 先備知識2：實數相等 • 兩個實數相等的充要條件為兩實數間無任何有理數 • 相異兩實數間必有有理數（分數） 分母如何找 分子如何找 • 如何刻畫兩實數間無任何有理數

26. 先備知識3： 關鍵性質 • 幾何原本第6冊命題一： 等寬的長方形，他們彼此相比如同他們的長的比。

27. 證明：矩形的面積是長×寬

28. 引理：底面積相等的兩個長方體，其體積的比等於對應高之比。引理：底面積相等的兩個長方體，其體積的比等於對應高之比。

29. 引理二：高度為1單位的長方體，其體積為長×寬×1引理二：高度為1單位的長方體，其體積為長×寬×1

30. 定理：設單位正方體的體積為1，長方體體積等於 長×寬×高 • 設AE＝1，因 • ，而長方體ABCD-EFGH之體積為AB×AD×1。 • 故知長方體ABCD-MOPN之體積為AB×AD×AM。 • 得證：長方體的體積為長×寬×高。

31. 教學或學習的活動設計評估 • 兩實數相等的定義是兩實數間找不到任何分數介於其間，也就是說，相異兩實數間必可找出一個有理數。 • 引自《幾何原本》第五冊兩個比相等的定義，與學生的認知有一段不小的差距。 • 關鍵引理：等寬兩矩形面積之比恰為長之比（參考《幾何原本》第六冊命題1）的內涵：等寬的兩個兩矩形，長度越長面積就越大，面積就越大長度就越長，對學生而言反而不是一個大障礙。 • 最後，我們利用利用面積之比恰為長之比的事實，導出面積公式的技巧，則應該尚在學生可理解的範圍內。

32. 量長度 • 給定數線上一點，如何讀出其長度？ • 給定一單位長，如何量出其長度？ 分割 累計

33. 找出有理點 • 數線上任意給定相異兩點， 試在其間找出一點此點所代表的數是一個有理數？ 十等分策略 分母的解讀 分子的解讀

34. 結語 Thank you!!!