מציאת צורה של מבני Tensegrity

1. אוניברסיטת תל אביב הפקולטה להנדסה ע"ש איבי ואלדר פליישמן המחלקה למכניקה, חומרים ומערכות מציאת צורה של מבני Tensegrity מציג : אסף כץ הפרויקט בוצע בהנחיית ד"ר עופר שי

2. ראשי פרקים • מבוא • מהן מערכות Tensegrity ? • רקע, היסטוריה ויישומים • מציאת צורה (Form-Finding) של מבני Tensegrity: • שיטות גרפיות: • שיטת Guzman • טרנספורמציית Hennenberg • שיטות קינמטיות • שיטות סטטיות • מסקנות וכיווני מחקר אפשריים

3. מהן מערכות Tensegrity ? Tension + Integrity = Tensegrity Fuller, 1975 מבוא

4. הגדרות רציפות המתיחה : • Tensegrityהיא התוצאה המתקבלת כאשר לחיצה ומתיחה נמצאים באיזון מושלם (integrity). המתיחה הינה רציפה ומאוזנת ע"י לחיצה בלתי רציפה • מתיחה יוצרת מערכת מתכנסת (self-stress) • הלחיצה- גורם מקשר, מסתעף ולא יציב • מבני Tensegrity הם מבנים הנוצרים על ידי שילוב של אלמנטים קשיחים הנתונים ללחיצה (תומכנים/struts) ואלמנטים מחברים הנתונים למתיחה (כבלים)

5. הזזת כדור פינג-פונג קרונית נגררת, בעליה ובירידה. מבוא

6. מעט היסטוריה..... • מי הממציא ? • Loganson Karl1921 Study in balance? • Richard Buckminster Fuller (1895-1983)? • K.D. Snenlson (1927- ) ? מבוא

7. יישומים • ארכיטקטורה ועיצוב • תחום החלל • רובוטיקה • צבאי- מבנים נפרשים קלי משקל • רפואה מבוא

8. יישומים אפשריים מבוא

9. מבוא

10. מבוא

11. מבוא

12. (Form- Finding) מציאת צורה

13. מציאת צורה - Tensegrity • להלן יוצגו שיטות "גרפיות" כפתרון מהיר, אם כי לא שלם, ובהמשך יוצגו 7 שיטות של בדיקת יציבות מבנה Tensegrity בחלוקה לשתי משפחות: • שיטות קינמטיות • שיטות סטטיות

14. שיטות גרפיות • שיטות גרפיות- טכניקות פתרון המאפשרות להוסיף ולחסר יחידות בסיס של צמתים וקשתות מן הטופולוגיה, ללא שינוי אופיו של הייצוג הטופולוגי. כלומר :יציבות/ אי-יציבות המבנה לא תשתנה כתוצאה מביצוע פעולות אלה. • חוזקן של השיטות הוא במהירות התכנסותן ובפשטותן. • חסרון מרכזי הוא חוסר ודאות לגבי יציבות המבנה, והעדר מדד מדויק לאופטימיזציה במיקום הצמתים.

15. שיטת Guzman • מפתח השיטה: Miguel de Guzmanמאוניברסיטת מדריד (2004). • השיטה מאפשרת : • לבחון אם טופולוגיה נתונה יכולה לייצג מבנה Tensegrity בשיווי-משקל. • יישום מספר עקרונות בבנייה של מבנה Tensegrity על בסיס הטופולוגיה (בהכללה, קיימת יותר מאפשרות אחת עבור טופולוגיה נתונה). • תכנון טופולוגיות חדשות של מבני Tensegrity בשיווי-משקל. • בניה של מבנים חדשיםבשיווי-משקל. Guzman

16. F C D B A F E A C B B D C D E E A A F E F C B D F E D C B A A A B B עקרונות שיטת Guzman • טופולוגיה של מבנה Tensegrity ניתנת לביטוי כסכום (סופר-פוזיציה) של יחידות בסיס הנקראות "אטומים"(גרף מלא בן ארבעה צמתים- K4). • שני אלמנטים שונים, המחברים בין אותם הצמתים, ניתנים לאיחוד. הכוח באלמנט החדש יהיה סכום הכוחות בשני האלמנטים הללו. • שני מבני Tensegrity הנתונים למאמץ עצמי (self-stress) ניתנים לאיחוד (עם אילוצים מסוימים). המבנה המאוחד המתקבל יהיה אף הוא מבנה Tensegrity במאמץ עצמי. • השיטה איננה דנה ביציבות של המבנה אלא רק בסוגיית היותו בשיווי-משקל. (כדי לבחון את יציבות המבנה יש להשתמש בשיטות אחרות, דוגמת אלה שיוצגו בהמשך). + Guzman

17. + - Pi + הגדרות • מאמץ ω על מסגרת הינו אוסף של סקלרים ωij (מתיחויות) בקשתות. • ωij= ωjiכיוון שהם מתייחסים לאותה הקשת. • מאמץ זה יכונה מאמץ עצמי (self-stress) אם בנוסף יתקיים התנאי הבא: כלומר לכל צומת pi, סכום הוקטורים הוא אפס. • ובצורה אחרת, קיימים שני תנאים לקיום של מבנה Tensegrity: • הסכום של הווקטורים בכל צומת שווה לאפס. • הסכום של שני הווקטורים שרשומים בקצותיו של כל אלמנט שווה לאפס. Guzman

18. הגדרות מבנה Tensegrity,T(P), הוא מסגרת במאמץ עצמי שבו הקשתות ij שבהן ωij>0הוחלפו בכבל לא מתיח (קצותיו מאולצים כך שלא יוכלו להתרחק זה מזה), והקשתות שבהן ωij<0הוחלפובתומכנים שלא ניתנים לכיווץ. קשתות בהן ωij=0הוסרו. Guzman

19. יחידות Tensegrity בסיסיות- אטומים • 4 סוגים של אטומים דו-מימדיים. • דואליות • רציפות המתיחה Guzman

20. פרוק ובניה של מבנה Tensegrity תאוריה 1 : פירוק • כל מבנה Tensegrity ניתן לפירוק למספר סופי של אטומים.הפירוק של המבנה לאטומים אינו יחיד. • הוכחה : למבנה Tensegrity נתון, נוסיף שרשרת של אטומים במאמצים עצמיים, כך שבכל שלב צומת נוסף הופך לצומת שכל הקשתות המתחברות אליו מקבלות מתיחות אפס. בסופו של התהליך תתקבל מסגרת במאמץ עצמי, שבה יש רק d+2 צמתים שאינם מתאפסים- כלומר אטום. נראה גם שהמבנה המקורי, הוא סכום של אטום זה והאטומים ההפוכים לזה שהשתתפו בתהליך. Guzman

21. D D A B C A B C D D B A C A B C A B C C D A B + → E E E + → D פרוק ובניה של מבנה Tensegrity המשך : • בכל שלב יש רק שני מצבים אפשריים : • בדיוק שלוש קשתות נפגשות בצומת A לאטום K שצמתיו הם A,B,C,D מאמץ עצמי ייחודי (עדי כדי הכפלה בקבוע). נבחר כך שהוא יהיה הפוך למתיחות בקשת AB ( ). בגלל שיווי משקל בצומת A גם המתיחויות AC, AD יהיו הפוכות. ייתכן שיתווספו קשתות חדשות, אך הן אינן משפיעות על צומת A • למעלה משלוש קשתות עם מתיחויות שונות מאפס "תת-שלב" שתכליתו להביא למצב של מפגש שלוש קשתות בלבד בצומת A Guzman

22. פרוק ובניה של מבנה Tensegrity המשך : • כיון שהסכום של מאמצים עצמיים, אף הוא מאמץ עצמי, ובכל שלב צומת נוסף הופך להיות "צומת אפס" אז לאחר מספר שלבים סופי נקבל מסגרת במאמץ עצמי בעלת ארבעה צמתים בלבד. ובכך סיימנו את תהליך הפירוק. Guzman

23. פרוק ובניה של מבנה Tensegrity תאוריה 2 : הרכבה • אם נתון צירוף של נקודות, שאין שלוש מהן על קו ישר, אזי אפשרי לבנות, שלב אחר שלב, מבנה Tensegrity אשר נקודות אלו הן צמתיו. כל האלמנטים והווקטורים מחושבים שלב אחר שלב. • הוכחה : • N נקודות במישור יסומנו: A1,A2,A3,…..,AN. • אקראית יבחרו A1,A2,A3,A4 וירכיבו אטום. • נקודה חדשה,A5, תורכב לאטום נוסף שצמתיו הם A1,A2,A3,A5. • האטום החדש יתוסף לקודמו. ניתן להמשיך בצורה זו ולהוסיף עוד ועוד צמתים. Guzman

24. דוגמא :פרוק ובניה בשיטת Guzman דוגמא דו- מימדית: • נתונה טופולוגיה המייצגת מבנה מישורי • יש לבדוק אם טופולוגיה זו יכולה לייצג מבנה Tensegrity בשיווי-משקל. • אם ניתן, יש למקם את הצמתים במישור ולאפיין את הקשתות ככבלים או מותחנים. Guzman

25. דוגמא :פרוק ובניה בשיטת Guzman Guzman

26. דוגמא :פרוק ובניה בשיטת Guzman התקבל אטום K4 !!! לפיכך הטופולוגיה הנתונה בתרגיל מתאימה לייצוג מבנה Tensegrity ניתן לבנות את הטופולוגיה המקורית חזרה באמצעות הוספת שני האטומים שהשתתפו בפירוק Guzman

27. דוגמא :פרוק ובניה בשיטת Guzman A כעת בניה מעשית: C B B נגדיר טופולוגיה זו כאטום דו מימדי BCEF שבו הצמתים ימוקמו שרירותית במישור (אסור למקם שלושה צמתים על אותו הישר). התומכנים מודגשים. D E D E F F להשלמת תהליך הבניה נוסיף אטום ABCF. מיקום צומת A יבוצע באופן שבו הקשתות המיותרות BF, CF יעלמו כתוצאה מהחיבור בתהליך הפוך לתהליך הפירוק : נוסיף אטום BDEF שיצרף חזרה את צומת D . כדי להיפטר מהקשת BE שנוספה בפירוק, נקבע A תמוקם : • על השקול של הכוחות באלמנטים BF,CF • על ישר העובר דרך F • לא על ישר המחבר שני צמתים קיימים איך נדע את אופיו של BF ? Guzman

28. דוגמא :פרוק ובניה בשיטת Guzman A A C B C B D E F F איך נדע את אופיו של BC ? A תמוקם : • על השקול של הכוחות באלמנטים BF,CF • על ישר העובר דרך F • לא על ישר המחבר שני צמתים קיימים Guzman

29. סיכום ביניים Guzman • עקרונות בסיסיים: • סכום הווקטורים בכל צומת שווה לאפס. • סכום הווקטורים הרשומים בקצותיו של כל אלמנט שווה לאפס. • השיטה מאפשרת לבצע בדיקה מהירה לגבי היכולת של טופולוגיה מסוימת לייצג מבנה Tensegrity, וכן לבנות טופולוגיות חדשות למבני Tensegrity תוך שימוש במספר כלים פשוטים. • השיטה מאפשרת לממש טופולוגיה נתונה של מבנה Tensegrity ולבנות ממנה מבנה ממשי, כלומר למקם את הצמתים ולקבוע את האופי של כל אלמנט ככבל או תומכן. • מן התיאוריה של Guzman מתקבל מבנה בשיווי משקל אך נדרשת הרחבה כדי להוכיח את יציבות מבנה. Guzman

30. G(p) i i i k k j j j טרנספורמציית Hennenberg • G(p) היא מסגרת נתונה ב d},i,j{היא קשת של G כך ש Pi≠Pj. • נמחק את הקשת מתוך G, ונחליף אותה ב d+1 קשתות אחרות (3 קשתות במקרה הדו-מימדי), כולן מחוברות לצומת חדש pk אשר ממוקם על ישר המחבר את piל pj (אך לא מתלכד איתם). • 2 קשתות יחברו את pk ל piול pj • d-1 קשתות יחברו לצמתים אחרים של G. • צומת pk יוסט ממקומו לנקודת שיווי-משקל. Hennenberg

31. טרנספורמציית Hennenberg • הנחה: כל גרף G קשיח בעל n-2 קשתות (n- מס' הצמתים), שדרגתו הנמוכה ביותר היא 3, יכול להתקבל מביצוע של טרנספורמציות Hennenberg והכנסת צמתים, כאשר מתחילים מגרף K4. • הנחה הופכית: ניתן לפעול על גרף G בעל n-2 קשתות ולקבל בצורה הפוכה גרף K4. יש חשיבות לבחירת הצמתים אותם מפחיתים מגרף G. Hennenberg

32. סיכום שיטות גרפיות • תנאי הכרחי לשיטתHennenberg הינו קיום היחס eH≥2n-2. תנאי מינימלי לבחינה בשיטת Guzman הינו eG≥3n/2. היחס כאשר n>4. כלומר טרנספורמציית Hennenberg מחייבת שיהיה צומת אחד לפחות שדרגתו בתחילת הפירוק הינה 4 (או יותר). • בפירוק Hennenberg יש חשיבות לסדר הפירוק. פירוק לא נכון עלול להביא לכישלון. בשיטת Guzman אין חשיבות לסדר הפירוק (למעט שיקולי מהירות ההתכנסות). • טרנספורמציית Hennenberg שומרת על הקשר e=2n-2 לאורך כל שלבי הפירוק. שיטת Guzman, לעומתה אינה מקיימת בהכרח קשר זה ולעיתים e≥2n-2 • טרנספורמציית Hennenberg פחות אינטואיטיבית ביחס לשיטת Guzman. יתרונה הוא במהירות התכנסותה אך היא עדין לא הוכחה מתמטית למבני Tensegrity , ויש סכנה של פירוק לא נכון שיוביל למסקנה שגויה.

33. שיטות קינמטיות • אורך הכבלים נשמר קבוע ואילו אורך התומכנים גדל למקסימום. או לחילופין • אורך התומכנים נשמר ומקצרים את הכבלים למינימום. גישה זו מבטאת את האופן שבו מבצעים את הבניה בפועל מציאת צורה

34. שיטות קינמטיות שלוש שיטות קינמטיות: • שיטה אנליטית. • שיטת אופטימיזציה לא ליניארית. • שיטה איטרטיבית – הרפיה דינמית. מציאת צורה

35. 1. שיטה אנליטית • ניתן לפתור בצורה אנליטית רק מבנים פשוטים ביותר. למשל מבני Tensegrity פריזמתיים בהם קיימת סימטריה וניתן להגיע לשיווי משקל ע"י סיבוב יחסי של המצולע העליון ביחס לתחתון. • למקרים שאינם סימטריים הפתרון הופך להיות לא מעשי בגלל ריבוי הנעלמים. • יבחן מבנה פשוט שבו הכבלים מסודרים לאורך קשתות של פריזמה. • מספר תומכנים מחברים את V הצמתים בבסיס התחתון לצמתים המתאימים בבסיס העליון. • כתלות במספר הצמתים והמרחקים , ישנה זוית θ בין המצולע העליון והתחתון שבה מתקבל מבנה Tensegrity יציב. במצב ההתחלתי הכבל 12 ניצב והזווית בין קצוות התומכן היא .2j/v j הוא שלם קטן מ V. מן הגיאומטריה מתקבל : לכבל באורך נתון, lc , האורך של התומכן, ls , יגיע לערך מכסימלי כאשר :

36. 2. שיטת אופטימיזציה לא ליניארית • שיטה זו הופכת את בעיית מציאת הצורה של כל מבנה Tensegrity לבעיית מינימום מאולצת. • מתחילים ממערכת שבה נתונה הטופולוגיה ומיקומי הצמתים. • מאריכים תומכן אחד או יותר, תוך שמירה על יחס אורכים קבוע עד שמגיעים לקונפיגורציה שבה אורכיהם מקסימליים. • בעיית המינימום המאולצת היא מהצורה הבאה: • Minimize f(x,y,z) • Subject to gi(x,y,z)=0 for i=1,….,n • פונקצית המטרה יכולה להיות,לדוגמה, האורך השלילי של אחד התומכנים מציאת צורה

37. 2. שיטת אופטימיזציה לא ליניארית • נבחן את הדוגמא הבאה (Pellegrino) : • פריזמה משולשת: • יש תשעה כבלים באורך יחידה lc=1 ושלושה תומכנים. • אחד הבסיסים מקובע ולכן שלושה צמתים ידועים מתוך השישה. • בעיית המינימום המאולצת תהיה מהצורה: • כאשר c1, c2,….,c6 הם שישה הכבלים הנותרים שאינם ידועים s1,s2,s3 הם התומכנים מציאת צורה

38. 2. שיטת אופטימיזציה לא ליניארית יתרונות : • מאפשר שימוש בתוכנות פשוטות (דוגמת Matlab). • מאפשרת למצוא גיאומטריות חדשות עבור טופולוגיה נתונה, על ידי הגדרת יחסים חדשים בין האורכים של התומכנים. חסרונות: • מספר האילוצים הולך וגדל עם כל אלמנט שנוסף למערכת (בעייתי במערכות גדולות). • אין דרך ישירה לשלוט בכוחות המתפתחים באלמנטים השונים.

39. 3. שיטה איטרטיבית- הרפיה דינמית • למבנה בקונפיגורציה ראשונית נתונה, עליו פועלים כוחות חיצוניים נתונים, משוואת שיווי-המשקל ניתנת לחישוב ע"י אינטגרציה של המשוואה הדינאמית כאשר : K מטריצת הקשיחות M מטריצת המסה D מטריצת השיכוך (damping) f וקטור הכוחות החיצוניים הם וקטורי התזוזה, המהירות והתאוצה בהתאמה ביחס לקונפיגורציה ההתחלתית. מציאת צורה

40. 3. שיטה איטרטיבית- הרפיה דינמית יתרונות : • לשיטה יכולת התכנסות טובה למבנים בהם מספר צמתים מועט. חסרונות: • מאבדת מהאפקטיביות שלה כאשר מספר הצמתים גדל. • נוצר סרבול כאשר דרושים מספר יחסים שונים בין הכבלים לתומכנים, דבר אשר מגביל את השיטה למבנים סימטריים ולא מורכבים מדי. מציאת צורה

41. שיטות סטטיות • בשיטות אלו מוצאים את הקשר שבין קונפיגורציה בטופולוגיה ידועה והכוחות הפועלים על האלמנטים שלה. • קשר זה מנותח באמצעות אחת מהשיטות הבאות: • שיטה אנליטית • שיטת צפיפות הכוח (force density) • שיטת מינימום אנרגיה • שיטת הקואורדינטות המופחתות מציאת צורה

42. 1. שיטה אנליטית נביט שוב בדוגמא הבאה: כדי ליצור מערכת משוואות לינאריות בשיווי משקל מוגדר פרמטר חדש : qij – צפיפות כוח = כוח מחולק באורך. לפיכך משוואת שיווי המשקל בצומת 1 בכיוון z ו y תהיה : הפתרון היחיד של שתי משוואות אלה עבורו כל הכבלים במתיחה הוא : באופן לא מפתיע זהו גם הפתרון שהתקבל בשיטה הקינמטית

43. 2. שיטת צפיפות הכוח נחזור ונדון ב"טריק" המתמטי הפשוט שנועד להפוך מערכת משוואות לא ליניאריות בצמתים, למערכת של משוואות לינאריות. לדוגמא, משוואת שיווי-המשקל בכיוון x בצומת כלשהו, i, היא: כאשר: t – הכוח באלמנט l – אורך האלמנט f – וקטור הכוחות החיצוניים • lij הוא פונקציה של הקואורדינטות ולכן המשוואה איננה ליניארית. • נגדיר לפיכך פרמטר חדש : qij=tij/lij • q נקרא צפיפות הכוח וערכו צריך להיות ידוע בתחילת תהליך מציאת הצורה. למבנה ובו b אלמנטים ו n צמתים, משוואות שיווי-המשקל בכיוון x ניתנות לכתיבה באופן הבא: כאשר: Cs : מטריצת הפגישות [bxn] Q : מטריצה אלכסונית המכילה את צפיפויות הכוח. xs : וקטור הכולל את קואורדינטות x. fx : וקטור הכוחות החיצוניים הפועלים על הצמתיםבכיוון x. מציאת צורה

44. D 2. שיטת צפיפות הכוח כיוון שמדובר במבנה בעומס עצמי (self-stress) אז לרוב אין צמתים שמיקומם מאולץ ואין כוחות חיצוניים. ניתן לפיכך לרשום : למבנה ובו b אלמנטים ו n צמתים, משוואות שיווי-המשקל בכיוון x ניתנות לכתיבה באופן הבא: כאשר: Cs : מטריצת הפגישות [bxn] Q : מטריצה אלכסונית המכילה את צפיפויות הכוח. xs : וקטור הכולל את קואורדינטות x. fx : וקטור הכוחות החיצוניים הפועלים על הצמתיםבכיוון x. ביטויים דומים יופיעו בכיוונים y ו z. Dהינה מטריצת צפיפות הכוח וניתן לחשבה ישירות ללא מעבר דרך Q ו Cs בצורה הבאה:

45. 3. שיטת מינימום אנרגיה ראינו קודם לכן שבמאמץ עצמי: כאשר: ωij>0 לכבלים ωij<0 לתומכנים אם נשווה ביטוי זה לביטוי שקיבלנו זה עתה לגבי צפיפות הכוח : ברור הוא שהמאמצים העצמיים ωijזהים לצפיפויות הכוח qij קיום המשוואה לעיל הינו תנאי הכרחי אך אינו מספיק לקיומו של מבנה Tensegrity, יש תנאי נוסף שיש להתחשב בו.... מציאת צורה

46. 3. שיטת מינימום אנרגיה נגדיר ביטוי לאנרגיה המקושר למצב המאמצים ω : כאשר הקצוות של האלמנט זזים, האנרגיה נבנית כפונקציה ריבועית של ההתארכות. משוואה זו תקבל ערך מינימום כתלות ישירה בהתארכותו של האלמנט. הוא וקטור באורך dn המכיל את קואורדינטות ה-x,y,z של p. יתקבל לפיכך : כאשר :

47. 4. שיטת הקואורדינטות המופחתות מבנה Tensegrity מספר האלמנטים = b o תומכנים (התייחסות כאל אילוצים דו-צדדיים לכבלים) m כבלים b=m+o נגדיר סט קואורדינטות מוכללות בלתי תלויות המגדירות את המיקום והאוריינטציה של התומכנים g=[g1,g2,….,gN]T. בדו-מימד:N=3xO(x,y,θ) בתלת מימד: N=5xO(x,y,z,θ,φ) מציאת צורה

48. 4. שיטת הקואורדינטות המופחתות במצב מאמצים עצמיים (self stress) הכוחות בכבלים t=[t1,t2,…,tM]T בשיווי-משקל עם התומכנים המתאימים ואין כוחות חיצוניים. מערכת של משוואות שיווי-משקל תוך שימוש בעיקרון של עבודה מדומה תביא למציאת כל הכוחות הפועלים במערכת. נניח תזוזה מדומה של המבנה בגודל δg, אך ללא התארכות של התומכנים. השינוי באורך של כבל j הוא : ועבור כל הכבלים : כאשר A [NXM] : מציאת צורה

49. 4. שיטת הקואורדינטות המופחתות העבודה המתקבלת היא זו של הכבלים (התומכנים לא משנים את אורכם) ולכן : tTδl=(At)Tδg בשיווי משקל ביטוי זה שווה לאפס לכל תזוזה מדומה δg. לפיכך At=0 ניתן לקבל סט של תנאים מתוך שתי הדרישות הבאות : • לפתרון לא טרוויאלי נדרש: rank A<M • רק פתרונות חיוביים הינם בעלי עניין : tj>0 for j=1,2,….,M מציאת צורה

50. סיכום ומסקנות שיטות מציאת הצורה בחלקה השני של העבודה הוצגו 7 שיטות המחולקות לשתי משפחות : 1. שיטות קינמטיות מגדירות קונפיגורציה עם אורך מכסימלי של התומכנים או אורך מינימלי של הכבלים, כאשר הסוג השני נשמר קבוע ואינו משתנה. 2. שיטות סטטיות שיטה אנליטית – מקרים פשוטים או סימטריים השיטות לא ניתנות ליישום בקונפיגורציה שאינה מוגדרת היטב שתי השיטות שימשו בהצלחה לקביעת פרטים של קונפיגורציה ידועה. שיטת אופטימיזציה לא ליניארית שיטה איטרטיבית – הרפיה דינמית מחפשות קונפיגורציות בשיווי-משקל המאפשרות מצב של עומסים פנימיים במבנה. שיטה אנליטית –מקרים פשוטים או סימטריים טובה למציאת קונפיגורציות חדשות. קושי בשליטה על אורכי האלמנטים עם השינוי במתיחויות. שיטת צפיפות הכוח (force density) שיטת מינימום אנרגיה שיטת הקואורדינטות המופחתות שיטות אקוויולנטיות שליטה טובה על הצורה של המבנה . ריבוי מניפולציות סימבוליות