מבוא

1. תפיסות של פרחי הוראה למתמטיקה את התפתחות הידע המתמטי שלהם במהלך התנסותם בסביבת למידה דינאמית ממוחשבת

2. מבוא • היכולת להעלות בעיות (Problem Posing) היא אחת המיומנויות החשובות שיש לפתח בקרב תלמידים הלומדים מתמטיקה (NCTM, 2000). • כדי שתהיה למורים יכולת לפתח מיומנות זו בקרב תלמידיהם, עליהם להתנסות בכך תחילה במהלך תקופת ההכשרה שלהם כפרחי-הוראה. התנסות זו תסייע להם לרכוש את הידע והביטחון הדרושים לצורך שילוב פעילויות מסוג זה בכיתותיהם Lavy & Shriki, 2010)).

3. המחקר • במחקר הנוכחי בחנו את התרומה של עיסוק בהעלאת בעיות ופתרונן בסביבה של לומדה דינאמית ללימוד גיאומטריה להתפתחות הידע המתמטי והדידקטי של פרחי-הוראה. • בהמשך נתמקד בתרומה של סביבת הלמידה להתפתחותו של הידע המתמטי של פרחי-ההוראה, כפי שנתפס על-ידם.

4. נבדקים • במחקר השתתפו 25 פרחי-הוראה למתמטיקה. • המשתתפים הינם סטודנטים הלומדים במכללה לחינוך בשנה השנייה (מתוך ארבע) לתואר ראשון במתמטיקה ולקראת קבלת תעודת הוראה לבתי-הספר העל-יסודיים.

5. סביבתהלמידה • הקורס בו נערך המחקר הוא הקורס הראשון בדידקטיקה של הוראת המתמטיקה שבו השתתפו פרחי-ההוראה. • קורס זה הינו שנתי, ועוסק בהיבטים מגוונים של הוראת מתמטיקה בחטיבת-הביניים. • המחקר נערך במהלך כל הסמסטר הראשון של הקורס. • בפני הסטודנטים הוצגו השלבים השונים של העלאת בעיות, תוך יישומם על משפט מורגן (Watanabe, Hanson & Nowosielski, 1996), ושימוש באסטרטגיה "מה אם לא?" (Brown & Walter,1993).

6. C D F B O1 E A הבעיה עליה התבסס תהליך החקר משולש ABC חסום במעגל O. נקודה D נעה על היקף המעגל. מהנקודה D משרטטים אנכים לצלעות AB ו- AC של המשולש. הנקודות E ו- F הן נקודות החיתוך של הניצבים עם הצלעות בהתאמה. היכן יש למקם את הנקודה D על היקף המעגל O, כך שאורך הקטע EF יהיה מקסימלי? Honsberger ,1985))

7. שלבי פעילות החקר • פתרון הבעיה הנתונה. • רישום כל המרכיבים של הבעיה. 1. מצולע; 2. למצולע שלוש צלעות; 3. המשולש (ABC) חסום; 4. המשולש חסום במעגל (O); 5. נקודה (D); 6. הנקודה על המעגל;7. מ- D בונים אנך לצלע AB; 8. מ- D בונים אנך לצלע AC...

8. שלבי פעילות החקר • פתרון הבעיה הנתונה. • רישום כל המרכיבים של הבעיה. • שלילת כל מרכיב והצעת חלופות אפשריות עבורו או עבור שילוב של כמה מרכיבים שנשללו. (1)1 פרבולה ; (1)2 מעגל... (2)1 למצולע 4 צלעות ; (2)2 למצולע n צלעות... (4)1 המשולש חסום במשולש ; (4)2 המשולש חסום בריבוע... • התמקדות באחת החלופות (או שילוב של כמה חלופות), העלאת בעיה חדשה, וחקירתה. • העלאת השערות בנוגע לבעיה החדשה שנוסחה, ואישושן או הפרכתן. • הכללת הממצאים שהתקבלו וניסוח מסקנות. • חזרה על השלבים 4-6 עד למיצוי התהליך.

9. דוגמא • פתרון הבעיה הנתונה. • רישום כל המרכיבים של הבעיה. • שלילת כל מרכיב והצעת חלופות אפשריות עבורו או עבור שילוב של כמה מרכיבים שנשללו. • התמקדות באחת החלופות, העלאת בעיה חדשה, וחקירתה. משולש ABC חסום במעגל O. נקודה D נעה על היקף המעגל. מהנקודה D משרטטים אנכים לצלעות AB,AC, ו-BC של המשולש (או המשכיהן). הנקודות E, G ו- F הן נקודות החיתוך של הניצבים עם הצלעות בהתאמה. יש להוכיח שהנקודות E, G ו- F נמצאות על ישר אחד. שלילת התכונה: שני אנכים שלילת השאלה

10. כלים לאיסוף הנתונים ולניתוחם • יומני למידה- פרחי-ההוראה ניהלו יומני למידה רפלקטיביים במהלך ביצוע הפעילות. • צילומי וידאו- בכל אחד משלבי התהליך הציגו פרחי-ההוראה את העבודות שלהם במליאה, ובעקבות ההצגות התנהלו דיונים כיתתיים הנוגעים למשמעות של פעילות החקר ותרומתה להתפתחות הידע המתמטי והדידקטי. • הנתונים שנאספו מתוך היומנים ומתוך צילומי המליאה נותחו באמצעות ניתוח אינדוקטיבי (Taylor & Bogdan, 1998; Goetz & LeCompte, 1984).

11. תוצאות ודיון להלן נתמקד בכמה ממצאים הנוגעים לתרומת השימוש בלומדה להתפתחות הידע המתמטי והמטא-מתמטי

12. מאפייני הלומדה ותרומתם ללמידה מאפיינים כלליים מהירות וקלות העבודה אינטראקטיביות פיתוח מיומנות חקר רצף חשיבה עקבי היעדר שיפוטיות בקרה עצמית מאפיינים ייחודיים ייצוגים שונים דינאמיות ויזואליות תנאי קיום של בעיה "הוכחה מול העיניים" קישוריות בתוך המתמטיקה (גיאומטריה ואלגברה) קשר בין עצמים מתמטיים "לראות את הכללי בפרטי" המשמעות של הוכחה גשר בין concept image לבין concept definition

13. דינאמיות  תנאי קיום של בעיה • האפשרות של גרירת העצמים המתמטיים הובילה להכרה שבמקרים מסוימים נוצרות סיטואציות שמובילות לבעיה מתמטית לא תקיפה. • עובדה זו סייעה לפרחי-ההוראה להבין שבחירה של נתונים, שביחד אמורים ליצור בעיה מתמטית, איננה שרירותית. כלומר, קיבוץ נתונים לבעיה אחת צריך "לציית" לחוקים מתמטיים ולקשרים לוגיים מוגדרים, על-מנת שהבעיה תהיה תקיפה מבחינה מתמטית. השלכות:כדי להצליח בניסוח בעיה תקיפה, היה על פרחי-ההוראה לבצע אינטגרציה מחודשת של הידע המתמטי שלהם בנוגע להגדרות של מושגים והקשרים ההיררכיים ביניהם.

14. מאפייני הלומדה ותרומתם ללמידה מאפיינים כלליים מהירות וקלות העבודה אינטראקטיביות פיתוח מיומנות חקר רצף חשיבה עקבי היעדר שיפוטיות בקרה עצמית מאפיינים ייחודיים ייצוגים שונים דינאמיות ויזואליות תנאי קיום של בעיה "הוכחה מול העיניים" קישוריות בתוך המתמטיקה (גיאומטריה ואלגברה) קשר בין עצמים מתמטיים "לראות את הכללי בפרטי" המשמעות של הוכחה גשר בין concept image לבין concept definition

15. דינאמיות  המשמעות של הוכחה מתמטית השאלה המרכזית שעלתה לדיון: "האם הלומדה יכולה לספק הוכחה לקיומה של תופעה?" כן (8): "אנחנו בעצם בודקים אינסוף מקרים בעזרת גרירה, ולכן אם זה מתקיים, אין צורך בהוכחה". "הלומדה ממש מאפשרת לך לראות את ההוכחה מול העיניים. גוררים ומודדים, ורואים שזה נכון או לא נכון". לא (17): "הלומדה עוזרת לקבוע בקלות איזו השערה נכונה ואיזו השערה אינה נכונה, אך ברור שעדיין צריך להוכיח את ההשערה באופן פורמלי, כי אולי בכל זאת לא בדקתי את כל האפשרויות בעזרת הלומדה". "תמיד אמרו לנו שאי אפשר להוכיח על סמך מראה עיניים, ושצריך להשתמש בכלים לוגיים. הלומדה חוסכת לי זמן, כי אני לא צריך לנסות להוכיח משהו שהוא לא נכון. אני פשוט גורר ובודק. אבל היא בטח לא במקום הוכחה פורמלית".

16. דינאמיות  המשמעות של הוכחה מתמטית הדיונים במליאה העמיקו את הידע בנוגע ל: - המשמעות של הוכחה - מקור הצורך בהוכחה פורמלית - הבדל בין "הוכחה פורמלית" לבין "הוכחה ויזואלית" - המקרים בהם הוכחה ויזואלית תקיפה והמקרים בהם אינה תקיפה

17. מאפייני הלומדה ותרומתם ללמידה מאפיינים כלליים מהירות וקלות העבודה אינטראקטיביות פיתוח מיומנות חקר רצף חשיבה עקבי היעדר שיפוטיות בקרה עצמית מאפיינים ייחודיים ייצוגים שונים דינאמיות ויזואליות תנאי קיום של בעיה "הוכחה מול העיניים" קישוריות בתוך המתמטיקה (גיאומטריה ואלגברה) קשר בין עצמים מתמטיים "לראות את הכללי בפרטי" המשמעות של הוכחה גשר בין concept image לבין concept definition

18. ויזואליות  קשר בין עצמים מתמטיים "תוך כדי הגרירה של המשולש, הבנתי שבעצם אפשר לשנות לא רק את סוג המשולש, כפי שקורה בגרירה. זה חידד לי את ההבנה שמשולש הוא מקרה פרטי של מצולע, ולכן אפשר להפוך אותו בקלות למצולע אחר, על-ידי הוספת צלעות". "בכל פעם ששללתי צורה גיאומטרית או נתון מספרי בבעיה, שאלתי את עצמי מה אפשר לשרטט במקומם. הסתבר לי שהתשובה לא כל כך פשוטה, כי כדי להיות בטוח שאלטרנטיבה מסוימת מתאימה, הייתי צריך לעבור בראש על כל התכונות של הצורות, על המקרים הפרטיים שלהן, ועל הקשרים ביניהן...זו הייתה חזרה מצוינת על כל המשפחות של הצורות הגיאומטריות"

19. סיכום והשלכות להכשרת פרחי-הוראה מאפייני הלומדה: • מאפשרים גילוי משפטים מתמטיים חדשים • תורמים להעלאת הביטחון העצמי בנוגע ליכולת של כל אחד לגלות משפטים מתמטיים והכללות • מספקים מקור חדש ליצירת הנאה ממתמטיקה • מאפשרים הרחבה והעמקה של הידע המתמטי • מאפשרים פיתוח בטחון עצמי בנוגע ליכולת ליישם גישה של העלאת בעיות בכיתה.

20. סיכום והשלכות להכשרת פרחי-הוראה • התנסות בפעילות מסוג זה מעלה את הסיכוי שפרחי ההוראה יישמו אותה בכיתותיהם בעתיד - "אני לא חושב שהייתי עושה פעילות כזו עם התלמידים שלי מבלי שקודם הייתי מתנסה בכך". • הלומדה ומאפייניה היוו מסגרת "תומכת" עבור פרחי ההוראה, במיוחד לאור העובדה שזו הפעם הראשונה בה התנסו בפעילות מסוג זה. • ולסיום- חשיפה לבעיות שהועלו על-ידי העמיתים: -העלתה את הביטחון של פרחי ההוראה ביכולתם לחקור ולגלות; -העלתה לדיון את העיסוק בשאלה: מהי בעיה מתמטית מעניינת?

21. תודה על ההקשבה!

22. דוגמאות נוספות לבעיות חקר שהועלו במקרה של שלילת התכונה "משולש", הוצעה החלופה מחומש משוכלל. החקר נעשה על-ידי הוספת הקודקודים על היקף המעגל, כדי לקבל מחומש משוכלל וגרירת הנקודה H על היקף המעגל. השאלה עצמה לא השתנתה(היכן יש למקם את הנקודה H על היקף המעגל O, כך שאורך הקטע IJ יהיה מקסימלי?)

23. דוגמאות נוספות לבעיות חקר שהועלו ג. שלילת תכונת הקטעים (הגבהים): יצירת קטעים שניתן להזיזם באופן דינמי, כך שלא יהוו בהכרח גובה.השאלות החדשות שהעלו עסקו:-ביחסים בהם מחלקים הקטעים את הצלעות, -בתכונות של קטעים מיוחדים שנוצרו (תיכון/אנך אמצעי/חוצה זווית). הלומדה מאפשרת חקר באמצעות ייצוג המידע המשתנה באופן גרפי