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制作人 : 香山中学 梁洁萍

多面体. 制作人 : 香山中学 梁洁萍. 由若干个平面多边形围成的空间图形叫多面体 , 自然界许多. 简单多面体. 棱柱与凌锥. 1 多面体. 物体都成多面体形状如图 (1-1). 图 1-1. 2. 棱柱与它的性质. 我们常见的一些物体 , 例如三棱镜 , 方转以及螺杆的头部等 , 都成棱柱的形状.

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Presentation Transcript

  1. 多面体 制作人:香山中学 梁洁萍

  2. 由若干个平面多边形围成的空间图形叫多面体,自然界许多由若干个平面多边形围成的空间图形叫多面体,自然界许多 简单多面体 棱柱与凌锥 1多面体 物体都成多面体形状如图(1-1) 图1-1

  3. 2.棱柱与它的性质 我们常见的一些物体,例如三棱镜,方转以及螺杆的头部等,都成棱柱的形状. 如果一个多面体有两个面互相平行,而其余每想邻两个面的交线互相平行,这样的多面体叫做棱柱,两个互相平行的面叫做棱柱的底面,简称为底;其余的各个面叫做棱柱的侧面;两侧面公共边叫做棱柱的侧棱;两底面所在的平面的公垂线段叫做棱柱的高(公垂线段的长度也简称高).

  4. 3.平行六面体与长方体 底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体.侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体.(图1-7(2)),底面是矩形的直六面体叫做长方体(图1-7(3)),棱长都相等的长方体叫做正方体(图1-7(4). （1） （2） （3） （4） 图1-7 定理:平行六面体的对角线交于一点,并且在交点处互相平行

  5. 围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,两个面的公共边叫做多面体的棱,棱和棱的公共点叫做多面体的顶点,连接不在同一面上的两个顶点的线段叫做多面体的体积.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,两个面的公共边叫做多面体的棱,棱和棱的公共点叫做多面体的顶点,连接不在同一面上的两个顶点的线段叫做多面体的体积. 定义 把一个多面体的任一个伸展成平面,如果其余的面都位于这个平面的同一侧,这样的多面体叫做凸多面体(图1-1左下图).但图9-80右下图中的多面体则不是凸多面体.一个多面体至少有四个面,多面体按它的面数分别叫做四面体,五面体,六面体等.

  6. 例1。已知正三棱柱ABC-A’B‘C’的各邻长是1（图1-6）M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC‘上的点，且CN=1/4CC’，求证：AB‘垂直MN。例1。已知正三棱柱ABC-A’B‘C’的各邻长是1（图1-6）M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC‘上的点，且CN=1/4CC’，求证：AB‘垂直MN。 证明：设 A‘ 则由已知条件和正三棱柱的性质 B’ C’ A B C

  7. 已知:平行六面体ABCD-A’B’C’D’(图1-8).求证:对角线AC’,BD’,CA’,DB’相交与一点O,且在O点处互相平分.已知:平行六面体ABCD-A’B’C’D’(图1-8).求证:对角线AC’,BD’,CA’,DB’相交与一点O,且在O点处互相平分. 证明:设点O是AC’的中点,则 设P,M,N分别是BD’,CA’,DB’的中点,同样可证 D’ C’ A’ B’ D C A B 由此可知O,P,M,N四点重合 定理:长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长平方和. 已知长方体AC’中,AC’是一条对角线(图1-9),求证: D’ C’ 证明: A’ D B’ C A B 所以即证知得

  8. 棱椎与其性质 思 考 如果一个多面体的一个面是多面形，其余各面是一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥。棱锥的底 面可以是三角形，四边形，五边形------我们把这样的凌锥分别叫做三凌锥（图1-9（1）），四凌锥（图1-9（2）），五凌锥（图1-9（3））------- 定理：如果凌锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面的面积的比 等于顶点到截面的距离与凌锥的高的平方比. 图1-9(1) (2) 已知：如图1-10，在棱锥S-AC中，SH是高，截面A‘B’C‘D‘E’平行于底面并与SH交于H‘。 S E’ 求证:截面A’B’C’D’E’∽底面ABCDE,且 A’ D’ C’ B’ E A D H’ C B

  9. 证明：因为截面平行与底面，所以A‘B’//AB，B‘C’//BC，C‘D’//CD，------证明：因为截面平行与底面，所以A‘B’//AB，B‘C’//BC，C‘D’//CD，------ 因而 S 又因为过SA，SH的平面与截面和底面分别相交于AH‘和AH。 E’ 所以A’H‘//AH，得 A’ D’ C’ B’ E D A 同理 H C B 如果一个凌锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的凌锥叫做正凌锥。

  10. 正棱锥有下面的一些性质: (1)正凌锥各侧棱相等,各侧棱都相等的等腰三角形,各等腰三角形底边上的高相等(它叫做正凌锥的斜高)(图1-11). (2)正凌锥的高,斜高和斜高在地面内的射影组成一个只三角形,正凌锥的高,侧棱,侧棱在地面上的摄影也组成一个直角三角形(图1-12) S S A’ C’ B’ E C A D O A B C B 例2.已知正三凌锥S-ABC的高SO=l,求经过SO的中点O’平行与底面的截面 的面积（图1-12）。 解：连接OM，OA，在直角

  11. 5直棱柱和正凌锥的的直观图的画法： 画法:（1）画轴，画x’轴，y’轴，z’轴，记坐标原点为O‘点，使 (2)画底面，按轴，轴画正六边形的直观图ABCDE。 （3）画侧棱，过A、B、C、D、E、F各点分别作轴的平行线，并且在这些平行线上截取AA’、BB‘、CC’、DD‘、EE’、FF‘，使它们都等于棱长。 （4）成图，顺次连接A’、B‘、C’、D‘、E’、F‘，并加以整理（去辅助线，将别遮挡的部分改为虚线），就得到正六棱柱的直观图。 E’ E’ D’ F’ F’ Y’ B’ C’ A’ D’ A’ C’ B’ Z’ E D F E F O D A C X’ A B C B

  12. 例3.划一个底面边长为5cm,高为11.5cm的正五棱锥的直观图比例尺是1/5.例3.划一个底面边长为5cm,高为11.5cm的正五棱锥的直观图比例尺是1/5. 画法:(1)画轴,x‘轴,y’轴,z’记坐标原点为o’,使 （图1-14(1)) （2）画底面，按x’轴，y’轴，画五正无边形的直观图ABCDE，按比例尺取边长等于5÷5=1(cm)，并且使正无边形的中心对应于o’点。 （3）画高线，在z’轴上取=11.5÷5=2.3(cm) (4)成图.连接SA,SB,SC,SD,DE,并加以整理,就得到所画的正无棱锥的正棱锥的直观图(图1-14(2)). Z’ S Y’ D D C E C E O’ X’ A B 图1-14(1) A (2) B

  13. 正多面体 每一个面都是相同边数的正多面形,每一个顶点都为端点,都有相同棱数的凸多面体,叫做正多面体. 正多面体只有四面体,正六面体,正八面体,正十二面体,正二十面体5种(图1-15),它们的展开图分别为:

  14. 练 习 1求证：直棱柱的侧棱与高相等，经过不相邻的两侧棱的截面都是矩形。 2已知以正方体的一个顶点为端点的三棱长a、b、c，求它的对角线（1）a=3,b=4,c=5 (2)a=7,,b=11,c=4 3画一个底面边长是3cm，高为4.5cm的正三凌锥的直观图（不写画法） 4已知直棱柱ABC-A‘B’C‘中， M是CC’的中点，求证： B‘ D’ C‘ M A D C

  15. 谢谢观看

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