Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים

1. Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים

2. Game Theory • What is it about? • Games are thought experiments to help us learn how to predictrational behavior in situations of conflict. • Rational: The players want to maximize their own expected utility. • Situation of conflict: Everybody's actions affect others. This is captured by the tabular game formalism. • Predict: We want to know whant happens in a game. Such predictions are called solution concepts (e.g., Nash equilibrium).

3. Game Theory • What is it about? • Games are thought experiments to help us learn how to predictrational behavior in situations of conflict. • Rational: The players want to maximize their own (expected)utility. • Situation of conflict: Everybody's actions affect others. This is captured by the tabular game formalism. • Predict: We want to know whant happens in a game. Such predictions are called solution concepts (e.g., Nash equilibrium).

4. Game Theory • What is it about? • Games are thought experiments to help us learn how to predictrational behavior in situations of conflict. • Rational: The players want to maximize their own expected utility. • Situation of conflict: Everybody's actions affect others. This is captured by the tabular game formalism. • Predict: We want to know whant happens in a game. Such predictions are called solution concepts (e.g., Nash equilibrium).

5. Game Theory • What is it about? • Games are thought experiments to help us learn how to predictrational behavior in situations of conflict. • Rational: The players want to maximize their own expected utility. • Situation of conflict: Everybody's actions affect others. This is captured by the tabular game formalism. • Predict: We want to know what happens in a game. Such predictions are called solution concepts (e.g., Nash equilibrium).

6. Game Theory • What is it about? • Games are thought experiments to help us learn how to predict rational behavior in situations of conflict. • Rational: The players want to maximize their own (expected)utility. • Situation of conflict: Everybody's actions affect others. This is captured by the tabular game formalism. • Predict: We want to know whant happens in a game. Such predictions are called solution concepts (e.g., Nash equilibrium).

7. דוגמאות למשחקים

8. אבן, נייר ומספריים 2 שחקנים: שחקן שורה ושחקן עמודה לכל שחקן יש 3 פעולות (actions) אפשריות לבחירה משחק סכום אפס

9. צ'יקן 2 שחקנים לכל שחקן 2 פעולות

10. דוגמא למשחק של 3 שחקנים, עם 2 פעולותלכל שחקן

11. דוגמא למשחק של n שחקנים, לכל שחקן יש אינסוף פעולות

12. פורמלית, משחק מוגדר על ידי , כאשר: • N = {1, 2, …, n} היא קבוצה של nשחקנים. • Ai היא קבוצת הפעולות האפשריות של שחקןi • התועלת של שחקן iמוגדרת ע"י הפונקציה • ui: A1 x A2 x A3 ···x An R • (ז"א התועלת של שחקן i תלויה בפעולות שנבחרו על ידי i וע"י שאר השחקנים) • משחק ייקרא משחק סופי אם N היא קבוצה סופית ואם Aiהיא קבוצה סופית לכל שחקן i.

13. בשבוע שעבר ...

14. אם שחקן העמודות בוחר עו"ד רגיל, אז כדאי לשחקן השורות לבחור עו"ד מומחה. אם שחקן העמודות בוחר עו"ד מומחה, אז כדאי לשחקן השורות לבחור עו"ד מומחה. ראינו שתחת הנחת ה"רציונליות" כל שחקן יבחר בעו"ד מומחה בלי קשר לבחירת השחקן האחר. התוצאה תהיה "0, 0". “R”‏ “E”‏ “R”‏ 4 , 4‏ -1 , 5‏ “E”‏ 5 , -1‏ 0 , 0‏

15. במשחק הצ'יקן, לא קיימת אסטרטגיה שהיא מועדפת בלי כל קשר לבחירת השחקן האחר. לדוגמא אם שחקן העמודות בחר לעצור אז לשחקן השורות כדאי יותר להאיץ, ואם שחקן העמודות בחר להאיץ אז כדאי לשחקן העמודות לעצור.

16. פתרון = תוצאת המשחק התוצאה "0, 0" שמתייחסת לזוג הפעולות E,E מהווה שיווי משקל: בהינתן שכל אחד מהשחקנים מתכוון לבחור את E, אף שחקן לא ירצה לשנות את דעתו באופן חד צדדי ולבחור את R. “R”‏ “E”‏ “R”‏ 4 , 4‏ -1 , 5‏ “E”‏ 5 , -1‏ 0 , 0‏

17. DSE ≈ "לא משנה איזה עו"ד בוחר השחקן האחר, לי כדאי לשכור עו"ד מומחה" PNE ≈ "אם השחקן האחר בוחר עו"ד מומחה, לי כדאי גם לשכור עו"ד מומחה" PNE DSE

18. E,E הוא שיווי משקל יחיד בדוגמא זו, קל לראות שכל זוג פעולות שאינו E,E אינו מהווה שיווי משקל, כלומר תמיד יהיה שחקן שיעדיף לסטות באופן חד צדדי: “R”‏ “E”‏ ‏ “R”‏ 4 , 4‏ -1 , 5‏ ‏ ‏ ‏ “E”‏ 5 , -1‏ 0 , 0‏

20. אסטרטגיה טהורה הגדרה:אסטרטגיה טהורה היא הפעולה שאותה בחר השחקן לשחק מתוך אוסף הפעולות האפשריות. לדוגמא, הראינו שזוג האסטרטגיות הטהורות E,E מהווה שיווי משקלכאשר השחקנים פועלים באופן רציונלי “R”‏ “E”‏ “R”‏ 4 , 4‏ -1 , 5‏ “E”‏ 5 , -1‏ 0 , 0‏

23. מלחמת המינים יש שני שיוויי משקל באסטרטגיות טהורות (שבכל אחד מהם לאף שחקן לא כדאי לסטות באופן חד צדדי)

25. מהו שיווי המשקל כאן?

26. איך משחקים צ'יקן? משחק באסטרטגיות טהורות בנוסח הוליווד http://www.youtube.com/watch?v=YDSj6ptcwbw&feature=related 22:40

28. בעיה:במשחק זוג או פרט לא קיים שיווי משקל נאש באסטרטגיות טהורות ‏ ‏ ‏ ‏

30. אסטרטגיה מעורבת - דוגמא דוגמא לאסטרטגיה מעורבת לשחקן השורות: הגרל כל פעולה בהסתברות ½ דוגמא לאסטרטגיה מעורבת לשחקן העמודות:הגרל כל פעולה בהסתברות ½ נשים לב: כעת תהיה לנו התפלגות אחידה על התוצאות האפשריות: לדוגמא התוצאה (1, 1-)תיבחר בהסתברות ¼. בנוסף: נגדיר את תועלת השחקן להיות תוחלת התועלת (ביחס להתפלגות על התוצאות). ui: A1 x A2 ··· x An RלעומתUi: (A1) x (A2) ··· x (An) R

31. אסטרטגיה מעורבת - דוגמא דוגמא לאסטרטגיה מעורבת לשחקן השורות: הגרל כל פעולה בהסתברות ½ דוגמא לאסטרטגיה מעורבת לשחקן העמודות:הגרל כל פעולה בהסתברות ½ נשים לב: כעת תהיה לנו התפלגות אחידה על התוצאות האפשריות: לדוגמא התוצאה (T, H)תיבחר בהסתברות ¼. בנוסף: נגדיר את תועלת השחקן להיות תוחלת התועלת (ביחס להתפלגות על התוצאות). ui: A1 x A2 ··· x An RלעומתUi: (A1) x (A2) ··· x (An) R

32. u1(H, T) = 1, u1(T, H) = 1, u1(H, H) = -1, u1(T, T) = -1 u2(H, T) = -1, … לעומת U1 ((1/2, 1/2), (1/2, 1/2)) = = ? ¼ u1 (H, H) + ¼ u1 (H, T) + ¼ u1 (T, H) + ¼ u1 (T, T) ובאופן דומה נגדיר את הפונקציה U2

33. אם כל שחקן יגריל כל פעולה בהסתברות ½ נקבל שיווי משקל נאש באסטרטגיות מעורבות במשחק זוג או פרט

34. NE PNE DSE

35. Dominant Strategy Equilibrium: (a1, a2, …, an)  A1 x A2 ··· x An is a DSEif ui(ai, b-i) >ui(a’i, b-i) for every b-i and every a’i Ai Pure Nash Equilibrium: (a1, a2, …, an)  A1 x A2 ··· x An is a PNE if ui(ai, a-i) >ui(a’i, a-i) for every a’i Ai

36. Nash Equilibrium: (p1, p2, …, pn)   (A1)x  (A2)··· x  (An)is a NEif Ui(pi, p-i) >Ui(p’i, p-i) for every p’i  (Ai)

37. נ ראינו ששיווי משקל באסטרטגיות טהורות PNE לא תמיד קיים במשחקים סופיים (למשל, זוג או פרט)מה לגבי NE?

38. משפט ((John Nash, 1951:לכל משחק סופי קיים שיווי משקל NE

39. ג'ון נאש זכה בפרס נובל בשנת 1994 על תרומתו לתורת המשחקים

41. נראה את הוכחת משפט נאש, בשלבים ...

42. נתחיל בחידה:נזיר יצא בשמונה בבוקר לצעוד על שביל המוביל ממורד ההר לפסגת ההר, מדי פעם הוא נח והתפלל, ולבסוף הגיע לפסגת ההר בשמונה בערב. למחרת, צעד הנזיר במהירות קבועה וללא עצירה במורד השביל החל משמונה בבוקר עד שמונה בערב. הוכיחו שיש נקודה על השביל שבה ביקר הנזיר בדיוק באותה שעה, יום אחרי יום.

43. חידה:נזיר יצא בשמונה בבוקר לצעוד על שביל המוביל ממורד ההר לפסגת ההר, מדי פעם הוא נח והתפלל, ולבסוף הגיע לפסגת ההר בשמונה בערב. למחרת, צעד הנזיר במהירות קבועה וללא עצירה במורד השביל החל משמונה בבוקר עד שמונה בערב. הוכיחו שיש נקודה על השביל שבה ביקר הנזיר בדיוק באותה שעה, יום אחרי יוםפתרון: נדמיין שתי נזירות שמתחילות לצעוד בשמונה בבוקר על השביל בכיוונים מנוגדים: הנזירה הראשונה "מסמלצת" את מסלול הנזיר ביום הראשון, והשנייה את מסלול הנזיר ביום השני. שתי הנזירות בהכרח ייפגשו.

46. ?‏

47. הערה חשובה: משפט נקודת השבת של בראואר הוא משפט קיום