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3.4 多é‡é›†çš„排列. 设 S 是一个集åˆï¼Œå®ƒå«æœ‰ R i 个 x i ， i,j ï¼ 1, 2,…, m . 且对于ä¸åŒçš„ i ， j 有 x i ≠x j , 则称 S 是一个 多é‡é›† ，记为： S={ x i , x i , x i , x i , … , x j , x j , x j , ……} ={ k 1 · x 1 , k 2 · x 2 , k 3 · x 3 … , k m · x m } 例如 S= {2 · a , 1 · b , 3 · c }.
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3.4 多重集的排列 设S是一个集合，它含有 Ri个xi，i,j＝1, 2,…, m. 且对于不同的 i，j有xi≠xj, 则称S是一个多重集，记为： S={xi ,xi ,xi ,xi ,… , xj ,xj ,xj ,……} ={k1·x1 ,k2·x2 ,k3·x3… ,km·xm} 例如 S= {2·a,1·b,3·c}
当多重集S中的某个元素的个数为1时,则其 重复数可以省略。即 S= {2·a,1·b,3·c} = {2·a,b,3·c} 如果S是一个多重集，那么S的一个r-排列是S中r个元素的有序排放。如果S的元素总个数是n(包括重复元素)，那么S的n-排列也称为S的排列。对于 S= {2·a,1·b,3·c}
于是 a c b c c b c c 均是S的4-排列，而 a b c c c a 是S的一个6-排列（因为n = r＝6）。 注意b b, a b c c c a c均不是S的排列, S 中没有2b个和4个c。 同样， S中没有7-排列，因为S中所能选出的最多元素只能是6个。
定理3.4.1 令S是一个多重集，它有k个不同类 型的元素，每个元素在S中均有重复数并且是无限的。那么，S的r-排列的个数为kr。 证明:在S的一个r-排列中，每一种元素均有r个位置的k种选择，因此不同r-排序的个数为kr。 例如 用数码{0,1,2,…8,9}排8位的电话号码的个数是 10×10×…… ×10 =108
例如 最多4位数字的二进制的个数是 24=16 即：从多重集{·0, ·1}中或者是从多重集{4·0, 4·1}中选择4-排列的个数，由于只是4位数字，我们仅仅需要多重集{4·0, 4·1}就够选择了； 2×2×2 ×2 = 24 最多4位数字的三进制的个数是 34=81；即： 在{4·0, 4·1, 4·2}选择4-排列的个数：
定理3.4.2设S是一个多重集 ，有个k不同类型的 元素，各个元素的重复数分别是:n1,n2,….nk。设S的大小S= n = n1+n2+….+nk。则 S的所有排列数(n-排列)等于： 证明：我们注意到S的每个排列包含了S中的每一个元素,并且每个元素在排列中的出现次数必须等于它在S中的重复数。给n个元素的每一个指定位置来构造S的排列。
我们为第1类的n1个指定位置有C(n,n1)种方法。 指定之后，我们可以为第2类的n2个项指定位置，有C(n-n1,n2)种方法，等等。 根据乘法原理，排列元素的方法数为：
化简后得： 看的出重复排列的个数少于不重复元素的排列个数，这是因为重复排列中有相同的元素，相同元素之间交换位置，并不会产生新的排列，而在不同元素之间交换位置，肯定能构成新的排列。从排列数的多少上可以看出区别，同一类的相同元素自己的全排列数ni要除掉。
例 用下列字母可以组成多少个字符串？ M I S S I S S I P P I 因为字母允许重复，答案就不再是11！，而是小于11！的某个数,其中相同元素交换位置后的排列没有变化。 我们来考虑用字母来填充11个空的问题。 — — — — — — — — — — — 。 对2个字母P有C(11,2)种方法来选择位置。一旦P的位置选定,有C(9,4)种方法来为4个S选择位置。
一旦S的位置选定，有C(5,4)种方法选择位置来填一旦S的位置选定，有C(5,4)种方法选择位置来填 四个I。一旦这些位置选好，剩下一个位置来填M。根据乘法原理，排列字母的方法数为：
例 在3个学生中分8本不同的书,如果张三得到4本 书,而李四和王五每人2本书,有多少种分法? 将书以一定的顺序摆放，现在考虑4个B，2个S和2个M的序列。一个例子为 BBBSMBMS 每一种这样的序列决定了书的一种分配方法。如上例中的排序，张三得到第1，2，3和6本书,李四得到了第4，8本书，王五得到了第5
和第7本书。于是排列BBBBSSMM的方法数等 于分配书的方法数。 根据定理，此数为 。 如果多重集S ={n1·a1, n2·a2}，n1+n2=n只有两类型的元素a1和a2，它们对应的重复数分别是n1和n2，那么按照定理3.4.2,集合S的排列数为:
因此，可以把 C( n, n1) 看作是n个元素集合 的n1 - 组合数，也可以看成是具有两种类型的元素并且它们的重复数分别是 n1和 n- n1的多重集的排列的个数，此时排列与组合类似。 例求8×8棋盘上的8个非攻击型车的不同放法数解：所谓两个车可以互相攻击，当且仅当二车位于棋盘的同一行或同一列上。因此，非攻击型车是指这些车占据着棋盘上的一些方格，
但任意两个车都没有位于同一行或同一列上。 如图所示 (a) 中的任意两个车均为非攻击型， (b)、(c) 中的两个车都属攻击型，因为(b)中的车位于同行， (c) 中的车位于同列，(a) 中的车既非同行， 又非同列。
若给8×8棋盘的每个方格指定一对坐标(i, j)，其 中i指明方格所在的行号，j指明方格所在的列号。由于棋盘有8行，要使8个车在棋盘上互不攻击，每行(或列)上有且只能有一个车。从而，8个车在棋盘上所占方格的坐标为序偶： (1, j1), (2, j2), …, (8, j8) 又因在每列均恰有一个车，这使得坐标中的j1, j2, …, j8中任意两个都不相等。换言之，
j1, j2, …, j8必须是{1,2,…, 8}的一个不重复的排列。 反过来，对{1, 2, …, 8}的每个排列对应着一组j1, j2, …, j8 ,把8个车按行排有8！个排列。再按列排又有8！个排列。分放在坐标为(1, j1), (2, j2), …, (8, j8)的8个方格上就得到棋盘上8个非攻击型车。事实上，8×8棋盘上的8个非攻击型车的放置方式与{1, 2, …, 8}的排列之间形成一双射函数,这里认为8个车是相同的。唯一的关键是确定哪些方格可被8个车占据。
现再设有1个红(R)车, 3个蓝(B)车，4个黄(Y)车， 并设同色车无区别。这时对某一放置,当从第1行到第8行观察这些车时， 可视为多重集{1·R, 3·B, 4·Y}的一个8-排列。由定理3.4.2 ，这个多重集的8排列数为8! / (1!3!4!)。 因此， 在8×8棋盘上放置1个红车， 3个蓝车， 4个黄车并使它们互不攻击(包括同色车)的放置方案数为:
定理3.4.3 有n个车共有k种颜色，第i种颜色的 车有ni个，i＝1,2,…，k。现将这n个车放在n×n的棋盘上，使得没有车能够互相攻击的摆放方法数等于: 并且若这n个车均有不同的颜色,则方法数为(n!)2若这n个车均属相同的颜色，则方法数为n！。
例 设S={3·a, 2·b, 4·c}，求S的8排列的个数。 解： S的8排列可分为以下三类： （1） {2·a, 2·b, 4·c}的8排列，数目为 （2） {3·a, 1·b, 4·c}的8排列，数目为
（3） {3·a, 2·b, 3·c}的8排列， 数目为 因此，S的全部8排列的个数为 420+280+560=1260 本题中重复次数3,2,4限制了排列的数量，如果重复数多的话，全部8排列的个数会很多。
例 求26个英文字母的排列中，任意两个元音字 母都不相邻的方案数。 解: 21个辅音字母的排列计有21!个，对其中的任一排列, (5个)元音添入的位置有22个，故共有P(22,5) = 种方式，由乘法原理， 26个英文字母的排列中，使得元音字母任意两个都不相邻的方案数为:
3.5 多重集的组合 下面我们考虑允许重复的无序选择的计算问题。 如果S是一个多重集，那么S的r-组合是S中r个元素的一个无序选择。因此，S的一个r-组合本身就是一个多重集——S的一个子多重集。 如果S有n个元素，那么S只有一个n -组合，既S自己。 如果S有k种不同类型的元素，那么S就有k个1-组合。
例：如果S={2·a, 1·b, 3·c}, 那么的3-组合有： 用穷举法{2·a, 1·b}, {2·a, 1·c}, {1·a, 1·b, 1·c}, {1·a, 2·c}, {1·b, 2·c}, {3·c}； 在容斥原理章节中我们还要专门讨论。 无限重复数多重集的r-组合数， 例：考虑三种书：计算机，物理，历史。假设图书馆中至少每种书有6本。我们选择六本书有多少种方法？假设每种书的数量是无限的。
问题是从集合{计算机书，物理书，历史书}中无问题是从集合{计算机书，物理书，历史书}中无 序选择的选择6本书，并且允许重复。一种选择方法是：由每一类书的已选数量唯一确定一种。 例如，我们列出一种： 计算机书 物理书 历史书 * * * * * * 计算机书 ×3，物理书×2，历史书×1
也可以是： 计算机书 ×0，物理书×4，历史书×2 计算机书 物理书 历史书 * * * * * * 六个“*”和两个“ ”的每种排序表示了一种选择。 于是我们的问题就变化成了：从8个可能的位置中为“”选择两个的方法数 C(8, 2) = 28 . 或者从8个可能的位置中为“* ”选择六个的方法数
C( 8,6 ) = C( 8,2 ) = 28 本题中用的方法可以 用来得到一个通用的结果。 定理3.5.1设S为具有k种类型元素的一个多重集，每种元素均有无限的重复数。则S的r-组合的个数等于 ： 证明： 令S={·a1, ·a2 … ·ak},考虑由r个“*”和k-1个“ ”构成的r+k-1个位置和r+k -1符号。
把这些符号放到那些位置中的每一种方法决定 了一个选择方式。从“*”到第一个“”的数目代表选择了m1个a1。在第一个“”和第二个“”之间的数目m2代表了选择了m2个a2，等等。 因为选择“”的位置有: 种方法，因此有: 种选择方式，
它也等于选择“*”的位置的方法数: 因此，从S中允许重复的选择r元素无序r-组合数为: 证毕
例 假设有红，兰，绿三堆球，每一堆至少包含 8个球。 (a) 选择8个球有多少种方法？ (b) 如果每一种颜色至少有一个球，那么选择8个球有多少种方法？ 解：(a) 根据上定理，选择8个球的方法数为
(b) 如果我们首先为每一种颜色选择一个球，余 下的5个球则也可以用上定理来解决问题。要完成选择我们必须另选择五个球。因此就有 ： 种方法。 例：一家面包房生产8种面包。如果盒装面包内有一打(12个)面包，那么您能够买到多少种不同的盒装面包？
解：由题意面包房里生产的面包很多（每个品 种都在12个以上），假设盒里的面包摆放顺序与买卖它无关，这是一个组合问题。不同盒装的数量等于每种元素都可以提供无限多个数的8种类型元素的多重集的12-组合数。由定理，这个数等于：
例：由1,2,3,4,…..k中重复取出r个数组成非减序 列的个数是多少？ 解：我们可以把被取数的集合看成多重集： S={·1, ·2, ·3, ….. ·k} 所取每组r个数够成的序列就是从S中取一个r-组合，由于规定了非减排序，其组合数为： ( 如果不要求递增排序，结果 会不一样，需用重复排列来求）
定理：多重集S={·a1,·a2, …·ak},则S中不同 元素至少出现一次的r-组合数为: 证明: “每个元素至少出现一次”，则每个组合中已经固定了k个元素a1,a2, …ak。 这时再从余下k类元素中选择r-k个来组合的(r-k)-组合数应是： 前面选择三种球的例题已经用了这个结论。
对多重集S={·a1,·a2, …·ak}而言，它的 任意一个r-组合均呈{x1·a1,x2·a2, …xk·ak}的形式，其中x1,x2, …xk皆为非负整数，并且x1+x2+ …+xk = r.反之,满足方程x1+x2+ …+xk = r的每个非负整数解x1,x2, …xk对应S的一个r-组合 故：方程x1+x2+ …+xk = r 的解的个数就是S的r-组合数。我们同样可以利用对多重集S的r-组合数的求法来求多元方程的非负整数解的个数。
我们用“*”表示r-组合里的元素，用“”表示间我们用“*”表示r-组合里的元素，用“”表示间 隔r-组合里各类型元素的分隔符，那么就可以构造新的多重集T={r·* , (k-1)·}, 它只有两种元素，它的排列数就等于S的r-组合数。由P41关于两类型元素的排列数的求法得：
例：令S是由四种元素a,b,c,d构成的多重集： S={ ·a,·b, ·c, ·d }。S的使得4种元素每种都至少出现一次的10-组合的数目是多少？ 解：本题中 r = 10, k = 4 ,由定理直接得： 例：继续考虑面包装盒问题，如果要求每盒中各种面包至少有一个，这种盒装面包应该有多少种？解：题中 r = 12, k = 8, 有题意套用公式得：
例：方程 x1+x2+x3+x4 = 20 , 其中x1≥3, x2≥1, x3≥0, x4≥5。求该方程的整数解？ 解：根据定理的要求xi≥0, 我们 引入新的变量： y1= x1 –3, y2= x2–1, y3= x3 –0, y4= x4–5这样保证了 yi≥0,方程变为:y1+ y2+ y3+ y4=11整数解的个数为:：
总 结 本次课我们介绍了多重集的r-排列和r-组合的原理，以及排列数和组合数的求法等知识。 多重集的r-排列和r-组合是在基本排列和组合知识上的推广，也可以称为广义的排列组合。
本次授课到此结束 作业如下:P47 16，19, 26, 28, 34 16. 6个没有区别的车放在6×6棋盘上，使没有两个车能够互相攻击的放置方法有多少？如果是2个红车4个蓝车，那么放置方法又是多少？
19. 确定{0,1,2,...,9}的循环排列的个数，其中0和9不在对面。（提示：计算0和9在对面的循环排列的个数） 26.确定多重集 S={3·a, 4·b, 5·c} 的10-排列的个数 28.列出多重集 S={2·a, 1·b, 3·c} 的所有3-组合和4-组合。
34. 在三个孩子之间分发12个完全相同的苹 果和1个橘子，使每个孩子至少得到一个水 果，有多少种分发方法？ 下次上课内容：4.1 生成排列 4.2 排列中的逆序
