資料結構 第九章：雜湊法（ Hash ）

1. 資料結構第九章：雜湊法（Hash） 鄧姚文 ywdeng@mail.knu.edu.tw http://w3.im.knu.edu.tw/~joseph/

2. 雜湊法 • 認識雜湊法 • 常見的雜湊函數 • 碰撞問題

3. h(k) k:key r:index 鍵值 識別字 索引值 儲存位置 Hash function 雜湊函數 雜湊法（Hashing） • 理想狀況： • O(1) 搜尋 • 用途 • 加速搜尋速度 • 使用較小的陣列處理廣大人口的資料 • 加密 • 實際情形： • 碰撞（Collision）：兩個鍵值對應到同一個位置 • 最壞的情況：退化成 O(N) 搜尋

4. 雜湊法的定義 • Hash function h(x) • 將鍵值轉換成位址 • Hash table(雜湊表) • Bucket（桶） • 雜湊表之中的一個儲存位置 • Home bucket • 在 h(x) 位置的 Bucket • Slot（槽） • 在一個Bucket之中再切割出來的儲存格

5. Hashtable 0 1 2 3 4 5 slots buckets 專有名詞：雜湊表（Hash Table）

6. 雜湊法專有名詞 • Collision(碰撞) • h(x) = h(y)，兩個鍵值對應到同一個 Bucket • 同義字(Synonym) • Overflow(溢位) • Bucket 的儲存空間滿了 • 對同一個bucket的collision數量超過slot的數量時 • 載入密度(Loading Factor) • Loading Density 裝載密度 • =N/(SB) i.e.總資料量/（槽數*桶數） • 完美雜湊(perfect hashing) • No collision, no overflow

7. 雜湊法的優點及設計原則 • 使用雜湊法搜尋，資料不需事前經過排序。 • 在沒有碰撞或溢位的情況下，只需一次讀取資料即可找到想要找的資料，且搜尋速度與資料量的大小無關。O(1)。 • 保密性高，若不知道 h(x)，就無法取得資料。 • 可做資料壓縮，節省空間。

8. 雜湊函數的設計 • 設計一函數y=f(x), x,y為正整數 • 通常令x>y • 一個好的雜湊函數必須： • 避免碰撞 • 但是：除非事先知道key的分佈狀況，否則碰撞在所難免 • 均勻分佈 • 將鍵值均勻地散佈在 Hash Table 之中 • 容易計算 • Hash Function 的計算時間必須為O(1)

9. 常見的雜湊函數 • 常見的雜湊法有 • 除法（Division） • 中間平方法（Mid-Square） • 折疊法（Folding） • 數位分析法（Digit Analysis）

10. 除法The Division Hash Function • 最簡單的雜湊函數 • 將資料除以某一個常數後，取餘數來當索引。 • 例如在一個有13個位置的陣列中，只使用到7個位址，值分別是12,65,70,99,33,67,51。那我們就可以把陣列內的值除以13，並以其餘數來當索引，我們可以用下例這個式子來表示： h(key) = key % M • 在這個例子中，我們所使用的M=13。

11. 除法 • 優點 • 計算容易 • M 值可以視執行時的情況調整 • 缺點 • 連續的key值必轉換至連續的bucket

12. 除法 public class DivisionMethod { static int M = 1031; //質數 public static int h(int x) { return Math.abs(x) % M; } } M 值以大於 20 的質數為佳！

13. 原始資料：8864, 100, 2, 77, 729 h(x) = x % 11 Hash Table 77 100 2 729 8864 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 除法

14. 中間平方法Middle-Square Method • 它是把資料乘以自己，之後再取中間的某段數字做索引。 • 避免使用除法 • 整數除法的計算通常比整數乘法慢 • 事實上所有的整數計算都被迫除以W取餘數，W=2w（w為word size）

15. public class MiddleSquareMethod { static int k = 10; // M==1024 static int w = 32; public static int h(int x) { return (x * x) >>> (w - k); } } 相當於將接近LSB的 (w-k)個位元除去 >>> 為 arithmetic shift-right 0 中間平方法

16. 5 1 0 3 2 4 X 2 6 0 4 3 0 5 8 4 9 7 6 X2 超過容量，自動遺失 0 0 0 0 5 8 h(X) >>>右移4位 中間平方法

17. 中間平方法 • 優點 • 將連續的key分散投射（Scatter） • 缺點 • 如果鍵值最左邊或最右邊有很多個 0，則效果很差 • 10000, 20000,30000,40000,50000 • Middle-square method only consider a subset of the bits in the middle

18. 折疊法 • 折疊法是將資料轉換成一串數字後，先將這串數字先拆成數個部份，最後再把它們加起來，就可以計算出這個鍵值的Bucket Address。

19. 折疊法的分類 • 移動折疊法 • 直接將每一部份相加所得的值作為其bucket address • 邊界折疊法 • 將每一部份的數字中的奇數位段或偶數位段反轉，再行相加來取得其bucket address

20. 移動折疊法 K A I N A N 原始資料： 75 65 73 78 65 78 ASCII Code： 75 65 73 78 65 78 15 21 2 Bucket Address: 1521

21. 邊界折疊法 1 75 65 2 87 37 偶數位段反轉 3 65 78 28 80 2 Bucket Address: 2880 1 56 57 奇數位段反轉 73 78 2 3 87 56 奇數位段反轉 17 91 2 Bucket Address: 1791

22. 數位分析法 • 數位分析法適用於資料不會更改，且為數字型態的靜態表。 • 在決定雜湊函數時先逐一檢查資料的相對位置及分佈情形，將重複性高的部份刪除。

23. 電話 Bucket Address 電話 07-772-2234 234 07-772-2234 07-772-4525 525 07-772-4525 07-772-2604 604 07-772-2604 07-772-4651 651 07-772-4651 07-772-2285 285 07-772-2285 07-772-2101 101 07-772-2101 07-772-2699 699 07-772-2699 07-772-2694 694 07-772-2694 數位分析法

24. 碰撞問題 • 雜湊函數都是 Many-to-One Mapping • 碰撞必然會發生 • Overflow 怎麼辦？

25. 常見的溢位處理方法 • Linear probing線性探測法 • 往下找一個空位（到底繞回頭） • Rehashing 再雜湊 • 準備多組雜湊函數h1(x),h2(x),h3(x),…,hm(x)，用h1(x)發生溢位，則改用h2(x)，若再發生溢位則改用h3(x)，… • Quadratic probing 平方探測法 • 當 h(x) 溢位，下一次改用 ( h(x) + i2 ) % b 與 ( h(x) – i2 ) % b, 1 i  (b-1)/2 • Chaining 鏈結串列 • 用 Linked-List 解決固定大小的陣列發生溢位的問題 • Slot 的數目可動態調整

26. 線性探測法 • Linear open addressing 線性開放位址 • 往後找尋一個空的儲存位置 • 把雜湊的位置視為環狀結構 • 類似的鍵值經會聚集在一起 • Clustering problem • 搜尋時間變長 • 資料刪除時怎麼處理？

27. 原始資料：88, 108, 48, 58, 228, 888 h(x) = x % 10 Hash Table 48 58 228 888 88 108 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Clustering Problem

28. Linear Probing 線性探測 • 搜尋： • Start from its home bucket • If it is not in its home bucket, Looking forward (circular) until • Found! • An empty bucket is reached=>element does not exist! • Return to the home bucket=>element does not exist!

29. 平方探測法 • 以平方探測法改善 Clustering Problem • 在平方探測中，當溢位發生時，下一次搜尋的位址是 • (f(x)+i2) % B • (f(x)-i2) % B • 讓資料值加或減 i2

30. 平方探測法尋找過程 • 例如資料值key，雜湊函數f： • 第一次尋找：f(key) • 第二次尋找：(f(key)+12)%B • 第三次尋找：(f(key)-12)%B • 第四次尋找：(f(key)+22)%B • 第五次尋找：(f(key)-22)%B • 第n次尋找：(f(key)±((B-1)/2)2)%B • 其中，B必須為4j+3型的質數，且1≦i≦(B-1)/2

31. 再雜湊 • 再雜湊就是一開始就先設置一系列的雜湊函數，如果使用第一種雜湊函數出現溢位時就改用第二種，如果第二種也出現溢位則改用第三種，一直到沒有發生溢位為止。 • 例如h1為key%8，h2為key*key，h3為key*key%8，h4……。

32. Rehashing再雜湊 • Use 2 distinct hash functions • h: K{0,1,…,M-1} • h’:K{1,2,…,M-1} • hi(x)=(h(x)+i*h’(x)) mod M

33. Chaining鏈結串列 • 將雜湊表的所有空間建立n個串列，最初的預設值只有n個串列首。 • 發生溢位時把相同位址之鍵值鍵結在串列首的後面，形成一個鍵結串列，直到所有的可用空間全部用完為止。

34. 0 10 20 NULL 1 NULL 2 32 NULL 3 NULL 4 24 NULL 5 NULL 6 NULL 7 NULL 8 48 NULL 9 NULL Chaining鏈結串列