Pirmās kārtas diferenciālvienādojumu elementārās atrisināšanas metodes

1. Pirmās kārtas diferenciālvienādojumu elementārās atrisināšanas metodes

2. Secinājumi: Katrai Košī problēmai vienādojumam eksistē viens vienīgs atrisinājums visā tmaiņas intervālāI; izoklīnas ir taisnes, paralēlas tasij un visas integrāllīnijas ir dabūjamas no jebkuras vienas, izdarot pārbīdi pa xasi.

4. A)

5. B) Eksistē kuram Vienādojumam ir atrisinājums Secinājumi. Vienādojuma izoklīnas ir taisnes ar vienādojumiem x=k un, ja integrāllīnijas atšķiras tikai ar pārbīdi pa t asi. Ja taisne ir vienlaikus izoklīna un integrāllīnija. var iet vairākas Caur punktiem, kuros integrāllīnijas.

6. Piemēri. 1)

8. 2) .

9. Taisnes x=0 punktos atrisinājuma unitāte nepastāv

10. 3) Atšķirīgs atrisinājuma eksistences intervāls http://math.bu.edu/DYSYS/ode-bif/node2.html

11. Vienādojumi ar atdalāmiem mainīgajiem Integrē katru pusi atsevišķi!

12. Substitūcijas metode1)

13. Piemērs.

15. Piezīme: zaļā izoklīna norāda integrāllīniju ekstrēmu punktus.

16. 2) Homogēni vienādojumi Substitūcija Atdalot mainīgos un integrējot:

17. Piemērs. x=ut

18. vienlaikus ir integrāllīnijas un izoklīnas. apmierina atrisinājumi

19. Piemērs.

20. > with(DEtools): > DEplot([diff(t(s),s)=t(s),diff(x(s),s)=x(s)+sqrt((t(s))^2-(x(s))^2)] ,[t(s),x(s)],s=0..4,t=-3..3,x=-3..3,[[t(2)=-2,x(2)=1],[t(2)=1,x(2)=1],[t(2)=1,x(2)=-1],[t(1)=-2,x(1)=-1],[t(1.2)=-2,x(1.2)=0],[t(2)=-1,x(2)=1],[t(2)=-1,x(2)=-1],[t(0.5)=2,x(0.5)=-1.5],[t(1.2)=2,x(1.2)=0],[t(1.5)=2,x(1.5)=1]],arrows=small,stepsize=0.01,color=black,linecolor=blue);

21. Lineāri pirmās kārtas vienādojumi Lineārs nehomogēns vienādojums Lineārs homogēns vienādojums

22. Definē Lineārā homogēnā vienādojuma vispārīgais atrisinājums ir partikulārā atrisinājuma reizinājums ar patvaļīgu konstanti Lineārā nehomogēnā vienādojuma atrisināšanai substitūcija (konstantes variācijas metode):

23. Katrai Košī problēmai ir viens pats atrisinājums, kurš eksistē visā koeficientu nepārtrauktības intervālā. Vienādojuma vispārīgais atrisinājums ir summa, kuras pirmais saskaitāmais ir lineārā homogēnā vienādojuma vispārīgais atrisinājums, bet otrs lineārā nehomogēnā vienādojuma partikulārs atrisinājums

24. Piemērs. Substitūcija x=ut http://www.math.duke.edu/education/ccp/materials/diffeq/sprints/sprints1.html

25. sol1=DSolve[{y'[x]==-y[x]+Sin[3*x],y[0]==-2},y[x],x] sol2=DSolve[{y'[x]==-y[x]+Sin[3*x],y[0]==0},y[x],x] sol3=DSolve[{y'[x]==-y[x]+Sin[3*x],y[0]==2},y[x],x] plot1=Plot[Evaluate[y[x]/.sol1],{x,-1,6}] sol3 sol2

26. Show[Out[9],Out[10],Out[13]] To pašu var atrast arī citādi: Plot[Evaluate[y[x]/.{sol1,sol2,sol3}],{x,-1,6}] Vispārīgo atrisinājumu atrod: gensol=DSolve[y'[x]==-y[x]+Sin[3*x],y[x],x] toplot=Table[C[1]*Exp[-x]-0.3*Cos[3*x]+0.1*Sin[3*x] /. C[1]->2*i,{i,-1,1}]; Plot[Evaluate[toplot],{x,-1,6}]

28. Maple • de:= diff(x(t),t)=-x(t)+t^2; • xq:=dsolve(de,x(t)); • xq := x(t) = t^2-2*t+2+exp(-t)*_C1 x1:=dsolve((de,x(0)=2),x(t));

29. with(DEtools):DEplot(diff(x(t),t)=-x(t)+t^2 ,x(t),t=-3..3,x=-4..4,{[0,-1],[0,0],[0,1],[0,2],[0,-2],[0,3],[1,2.2],[1.5,-1]},arrows=none,stepsize=0.1,linecolor=blue);

30. Bernulli vienādojums R, 0, 1 x0 Substitūcija Lineārs vienādojums

31. Eksakts vienādojums , ja Nepieciešamais un pietiekamais nosacījums, lai vienādojums būtu eksakts

32. Piemērs

33. Piemērs zīmējumam ar Mathematica <<Graphics`PlotField` p1=PlotVectorField[{x*Sin[y]+Sin[x]-1,Cos[y]-y*Cos[x]},{x,0,4*Pi},{y,0,4*Pi}]

34. toplot=-x*Cos[y[x]]-y[x]+Sin[x]*y[x] /. y[x]->y cp1=ContourPlot[toplot,{x,0,4*Pi},{y,0,4*Pi},ContourShading->False,PlotPoints->100]

35. Show[cp1,p1]

38. Zīmējuma piemērs sol2[i_]=NDSolve[{y'[x]==Sin[2*x-y[x]],y[0]==i},y[x],{x,-5,5}]; inits=Table[0.5*i,{i,1,10}]; interpfunctions2=Map[sol2,inits]; Plot[Evaluate[y[x] /.interpfunctions2],{x,-5,5}]

39. http://math.stcc.mass.edu/DiffEq/DiffEQ.html http:// http://www.sosmath.com/diffeq/diffeq/ http://legacy.ncsu.edu/classes-a/maple_info/www/Ma341Maple.html http://www.math.udel.edu:80/teaching/course_materials/M302/monk/notes/book.html