Тема: Теорема о трех перпендикулярах.

1. Тема: Теорема о трех перпендикулярах.

2. Тема: Теорема о трех перпендикулярах. • Цели: изучение теоремы (доказательство теоремы разными способами); формирование навыков решения задач с использованием теоремы; развитие логической культуры учащихся. • Тип урока: получение новых знаний. • Оборудование:мультимедийная доска, ПК, карточки с заданиями, учебник.

3. Организационный момент. Формирование цели и задачи урока, мотивация учебной деятельности. На этом уроке учащиеся ознакомятся с важными теоретическими знаниями, которые они смогут применять для нахождения расстояния от точки до прямой в пространстве. А Как найти расстояние от точки А до прямой а? a α

4. В каких задачах используют теорему о трех перпендикулярах? На рисунках 1-4 МА перпендикулярна плоскости АВС. По рисункам обоснуйте расстояние от точки М до прямой ВС. M M B A C A D C D B ∟ADC=90

5. В каких задачах используют теорему о трех перпендикулярах? На рисунках 1-4 МА перпендикулярна плоскости АВС. По рисункам обоснуйте расстояние от точки М до прямой ВС. M M A C B A C D ВС – касательная к окружности ABCD - ромб

6. Актуализация опорных знаний. • Что называют перпендикуляром к плоскости? • Что называют наклонной к плоскости? • Что называют основанием перпендикуляра? • Что называют основанием наклонной? А A B C B C α a

7. Восприятие нового материала. • Теорема: если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной, то эта прямая перпендикулярна наклонной. • Доказательство теоремы проводится с использованием программы «УМК живая математика»

9. Первый шаг • От точки А отложим MA=AN. Соединим M и N с S и O. В этом случае AO одновременно медиана и высота. Следовательно MON – равнобедренный треугольник, где NO=OM.

10. Второй шаг • Прямоугольные треугольники SOM и SON равны по двум катетам ( NO=OM, SO –общая сторона).

11. Третий шаг • Из предыдущего шага следует, что NSM – равнобедренный треуогольник, а значитSA – одновременно медиана и высота. То есть AS перпендикулярна MN, что и требовалосьдоказать.

12. S B O C A l Доказательство 2 • Допустим, что SA не перпендикулярна прямой l. Проведем SB⊥ l , тогда SA>SB. Из прямоугольных треугольников SOA и SOB: OA2=SA2-SO2. OB2=SB2-SO2 • Получаем: OA>OB. • Между тем OA<OB, так какOA ⊥l по условию.

13. S B O C A m Доказательство 3 • На прямой m отметим произвольную точку B и соединим с точками O и S. • Из прямоугольных треугольников SOB, SOA, OAB: SB²=SO²+OB²; SA²=SO²+OA²; OB²=OA²=AB²;

14. Доказательство 3 • Вычтя почленно из первого равенства второе, получим: SB²=SA²=OB²=OA² • Приняв во внимание третье равенство, будем иметь: SB²=SA²=AB². SB²=SA²+AB². • Согласно обратной теореме Пифагора: SA ⊥ AB , т.е. m ⊥ SA.

15. Решение задач: • Учебник № 5.39, 5.40. D Дано: DA ⊥ (ABC), угол BAC=30°, угол ABC=60° Доказать: СВ ⊥ AC. B А C D Дано: DA ⊥ (ABC), угол BAC=40°, угол ACB=50° Доказать: СВ ⊥ BD. А B C

16. Математический диктант ABCD – прямоугольник, SA ⊥ (ABC). Вариант 1 – SA= см, AB = 1 см, AD = 3 см; Вариант 2 – SA= см, AB = 1 см, AD = 2см; Пользуясь изображением, найдите: • Длину отрезка SB; (2 балла) • Длину диагонали AC; (2 балла) • Длину отрезка SD;(2 балла) • Величину угла SBC;(2 балла) • Величину угла SDC;(2 балла) • Площадь треугольника SDC. (2 балла) S A B D С

17. Ответы • Вариант 1 • 2 см; • см; • см; • 90°; • 90°; • см • Вариант 2 • см; • см; • см; • 90°; • 90°; • см;

18. Домашнее задание: • § 5.3, теорема. • N 5.63 – учебник. • «Разноуровневые дидактические материалы» под редакцией А.П. Ершовой. С-10 по вариантам уровни: А N 1; 2. Б N 3

19. Подведение итогов урока • Вопросы к классу: • Сформулировать теорему о тех перпендикулярах. • Какие теоремы и определения использовали для доказательства этой теоремы? • Укажите взаимное расположение прямых a и b. ABCD – ромб, SB ⊥ (ABC) S ABCD – квадрат, SB ⊥ (ABC) S a b C b B B C a O A D A D

20. Спасибо за внимание!