rneklem Dagilimlari

1. Örneklem Dagilimlari Merkezi limit teoremi Binom Dagiliminin Normal Dagilima Yaklasimi Poisson Dagiliminin Normal Dagilima Yaklasimi Örneklem hatasi X’in örneklem ortalamasinin örneklem dagilimi

2. Merkezi Limit Teoremi Merkezi limit teoremi, kitleye ait dagilim bilinmediginde ya da kitlenin dagilimi normal dagilim olmadiginda, normal dagilimdan yararlanarak olasilik hesaplamak için kullanilan bir teoremdir.

3. Teorem: X raslanti degiskeni ortalamasi ?, varyansi ?2 olan herhangi bir dagilima sahip olsun. Bu kitleden örneklem büyüklügü n olan örneklemler çekilsin. n arttikça, bu örneklemlerin ortalamalarinin dagilimi, ortalamasi ?, varyansi ?2/n olan bir normal dagilima yakinsar. Baska bir gösterim ile dir (Genelde, n?30 olmasi ’nin dagiliminin normal kabul edilmesi için yeterlidir).

4. Binom Dagiliminin Normal Dagilima Yaklasimi X raslanti degiskeni binom dagilimi gösteriyor ise, daha önce de belirtildigi gibi dagiliminin ortalamasi E(X)=np ve varyansi V(X)=npq’dir. Örnek 1:Belli bir üretim sürecinde üretilen mallarin %12’sinin kusurlu oldugu bilinmektedir. Bir günde üretilen 750 ürünün a-Örneklem oraninin ortalama ve varyansini bulunuz.

5. E(X)=np=750* 0,12=90 V(X)=npq=750*0,12*(1-0,12)=79,2 olur. Örnek 2: Bir tekstil fabrikasinda aktif çalisan makinelerin belli bir ayda onarim gerektirme olasiligi 0,2 olarak belirlenmistir. Fabrikada bu tür makinelerden 900 tane vardir. Bu fabrikada çalisan makinalarin belli bir ayda ortalama onarinmi ve varyansi nedir. E(X)=np=900?0,2=180 V(X)=npq=900?0,2?0,8=144

6. Binom Dagiliminin Normal Dagilima Yakinsamasi: Örneklem büyüklügü n?30 oldugunda, merkezi limit teoremine göre, olur. Yani binom dagilimi ortalamasi 0, varyansi 1 olan standart normal dagilima yakinsar. Bu yaklasim, P(a?X?b) olasiligini bulmak için yararlidir. Bu olasilik için; esitligi yazilabilir.

7. Sürekliligin Saglanmasi: X kesikli bir degiskendir, sürekli olan normal dagilimla olasiligin yaklasik degerini hesaplayabilmek için; a ve b yerine sirasiyla (a-0,5) ve (b+0,5) düzeltme terimleri kullanilir ve bu durumda P(a?X ?b) olasiligi, olur, böylece hesaplanan olasilik degeri Binom dagilimdan hesaplanacak olasilik degerine çok yakin olur.

8. Örnek Bir tekstil fabrikasinda aktif çalisan makinelerin belli bir ayda onarim gerektirme olasiligi 0,2 olarak belirlenmistir. Fabrikada bu tür makinelerden 900 tane vardir. Belli bir ayda 200’den çok makinenin onarim gerektirmesi olasiligi nedir? E(X)=np=900?0,2=180 V(X)=npq=900?0,2?0,8=144 P(X>200)=P( > ) P(Z>1,67)=0,5-0,4525=0,0475

9. verilen problemde süreklilik düzeltmesi yapilar ise: P(X>200)= =P(Z>1,63)=0,5-0,4484=0,0516

10. Örnek: Bir hastane, hastalarinin %25’inin borçlarini en az bir ay gecikme ile ödediklerini saptamistir. Rasgele 45 ödeme seçilmistir. a- En az bir ay gecikmeli ödemelerin örneklemde 10’dan az olma olasiligi nedir? (Süreklilik düzeltmesi ile) Çözüm: E(X)=45?0,25=11,25 V(X)=45?0,25?0,75=8,4375

11. b- En az bir ay gecikme ile 12 ile 15 arasinda olma olasiligi nedir? (Süreklilik düzeltmesi ile)

12. Poisson Dagiliminin Normal Dagilima Yaklasimi X raslanti degiskeni poisson dagilimi gösteriyor ise, daha önce de belirtildigi gibi dagilimin ortalamasi E(X)=? ve varyansi V(X)= ?’dir. ?’nin büyük degerleri için merkezi limit teoremine göre ;

13. P(a?X?b) olasiligi; Süreklilik düzelltmesi yapilmadan Süreklilik düzeltmesi yapilarak ayni olasilik; olur.

14. Örnek: Bir bankanin belli bir bölgedeki bankamatigi ögleden önceki bir saat içinde ortalama 45 kez kullanilmaktadir. a- Ögleden önceki bir saat içinde bu bankamatigin 70’den çok kullanilma olasiligi nedir?

15. Çözüm: a- Ögleden önceki bir saat içinde bu bankamatigin 70’den çok kullanilma olasiligi nedir? Bu bir saat içinde bu bankamatigin 50’den az kullanilma olasiligi nedir? Bu bir saat içinde kullanilma sayisinin 50 ile 70 arasinda olma olasiligi nedir?

20. Örneklem hatasi ile ilgili kisa bilgiler Örneklem hatasi pozitif ya da negatif olabilir. Farkli örneklemlerde örneklem hatalari farkli deger alir. Örneklem büyüklügü artica örneklem hatasinin küçülmesi beklenir.

21. Örneklem Dagilimlari . Kitleye ait bilgi (ortalama, varyans gibi) sabit bir deger olup, genellikle bilinemez. Örneklem bilgisi ise, seçilen örneklemden örnekleme degisir. Öyleyse bu bilgilerin bir dagilimi olacaktir ki bu dagilima örneklem dagilimi denilmektedir.

26. Elde edilen dagilimin özet bilgileri

29. Merkezi Limit Teoremi (Hatirlatma) X raslanti degiskeni ortalamasi ?, varyansi ?2 olan herhangi bir dagilima sahip olsun. Bu kitleden örneklem büyüklügü n olan örneklemler çekilsin. n arttikça, bu örneklemlerin ortalamalarinin dagilimi, ortalamasi ?, varyansi ?2/n olan bir normal dagilima uyar.

31. Kitleden örneklem seçimi, yerine iade etmeden yapiliyor ise n örneklem büyüklügü, N kitle büyüklügüne göre büyük ise, sonlu bir kitle söz konusu olacaktir. Burada kitleden bireylerin seçimi birbirlerinden bagimsiz olamaz. Bu durumda ’nin örneklem dagiliminin varyansi,

32. Burada varyansa ait sonlu kitle düzeltme katsayisidir. Eger n örneklem büyüklügü, N kitle büyüklügüne göre çok küçükse, sonlu kitle düzeltme katsayisi bire yaklasir ve etkisiz olur.

33. Normal dagilimla ilgili olasilik hesaplamalari için standart normal dagilim kullanilmaktadir. ’leri standartlastirmak için, Kullanilir.

34. Örnek

35. Yerine iade etmeden yapilan örneklemelerde örneklem ortalamasinin dagilimi Kitleden yapilan örnekleme yerine iade etmeden yapiliyor ise

36. Yeterli örneklem büyüklügü ne olmali? Genellikle n>30 olmasi lerin örneklem dagilimlarinin normal olmasi için yeterlidir. Dagilim simetriye yakin ise n>15 alinabilir. Normal dagilimlarda örneklem ortalmalarina ait dagilimlar daima normal dagilim özelligi gösterirler