第二章导数与微分

第二章导数与微分

主要内容 §2.1 导数的概念 §2.2 导数的计算 §2.3* 高阶导数、偏导数 §2.4 函数图象的性状与作图 §2.5 导数应用举例 §2.6 微分及应用

§2.1 导数的概念 （导数定义，几何意义）

1.函数的变化率 例求物体沿直线运动的瞬时速度。物体的运动大都是非匀速运动，如何求非匀速运动的瞬时速度呢？

2.导数的定义 定义设函数y=f(x)在N(x0) （其中N(x0) = (x0-, x0+) 表示x0的邻域）内有定义，给 x0一个改变量x，使得 x0+ x N(x0) y=f(x0+x)-f(x0) 。函数y=f(x)相应地有改变量如果极限存在，那么就称此极限为函数f(x)在点x0的导数（或微商），记作

例求函数在点x=3处的导数。左导数与右导数统称为单侧导数。类似左、右极限的定义，左、右导数分别定义为

3.导数的几何意义 是函数y=f(x)在一点x0处的导数在几何上表示曲线y=f(x)在(x0, f(x0))的切线的斜率，从而：切线方程法线方程例求曲线 y = x2在点(3, 9)处的切线方程和法线方程。

4.可导与连续 定理如果函数y=f(x)在点x0处是可导的，那么 y=f(x) 点 x0处是连续的，反之不真。即可导连续, 连续可导 y y=|x| 例函数 x

注1当左右导数不相等，曲线y=f(x)上便出现一个角点(a, f(a)) 。 (a, f(a))

注2 一个函数f(x)的左导数和右导数可能同为无穷大，但差一符号，这时导数虽然不存在，切线还是唯一的，它和y轴平行，如下图所示。

注3 如下图左右导数同为+，但有切线存在，若将坐标旋转一个小于的角度，便可化为一般情况。

以上的注都是反应了函数在点(a, f(a))连续但不可导的例子。也归纳了一个结论：在点(a, f(a))处可导一定有切线，反之不成立，即有切线不一定可导。

§2.2 导数的计算 (基本公式，法则，简单计算）

1.基本公式 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)

2.运算法则 （常数法则） ① ② （加法法则） ③ （乘法法则）（除法法则） ④ 若y=f(u),u=(x),则y=f[(x)]即为复合函数，则 ⑤ （复合求导法则）

§2.3* 高阶导数、偏导数

1.高阶导数 二阶导数：记为： n阶导数：

例求幂函数y=xa的n阶导数。例求指数函数y=eax的n阶导数。例求对数函数y=ln x的n阶导数。例求正弦函数y=sin x的n阶导数。

2. 偏导数 z=f(x, y), (x, y)D 类似地

例求z=x2+3xy+y2在点(1, 2)处的偏导数。例求z=x2sin2y的偏导数。例设求证：

§2.4 函数图象的性状与作图 （单调性，凹凸性，极值，拐点）

前面介绍了导数的几何意义是切线的斜率，并且介绍了求切线、法线的方法，这本身是导数的应用之一，这里就不再重复了。前面介绍了导数的几何意义是切线的斜率，并且介绍了求切线、法线的方法，这本身是导数的应用之一，这里就不再重复了。本节我们将利用微分学理论，给出判定函数的单调性、凹凸性、极值、拐点以及描绘函数草图的方法，这些方法与初等数学方法相比，既简便又具有一般性的特点。

1. 函数单调性的判别法 定理设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可微，那么

2. 函数的凹凸性 定义设函数y=f(x)在区间[a, b]上连续，在(a, b)内可导，如果函数y=f(x)的图形位于每一点处切线之上方，则称曲线y=f(x)在[a, b]上是向上凹的，简称为凹的，如果函数y=f(x)的图形位于每一点处切线之下方，则称曲线y=f(x)在[a, b]上是向下凹的，简称为凸的。函数图象的凹凸的分界点称为拐点。

定理设函数f(x)在区间(a, b)内有二阶导数。 若，则f(x)在(a, b)内是凹的；若，则 f(x)在(a, b)内是凸的。例

3. 函数的极值 定义设函数f(x)在点x0的邻域 (x0-, x0+)，记为N(x0)内有定义，若对任何 x(x0-, x0+)，都有则称f(x0)为函数f(x)的极大值（极小值）,而点x0称为f(x)的极大值点（极小值点）。

费尔马定理 可微函数的极值点必定是驻点。即若函数f(x)在点x0处可导，且在点x0的邻域 (x0-, x0+) 内有则也就是说，可微函数的极值点必定是驻点。

费尔马定理的几何意义 若函数f(x)在点x0 处达到极值，且f(x0) 存在，则曲线y=f(x) 在点M(x0, f(x0))处有水平切线（如右图）。

费尔马定理给出了可导函数取极值的必要条件，但其逆不真。也就是说，导数等于0的点（有水平切线的点）未必是极值点。例如x=0不是f(x)=x3的极值点，但f’(0)=0（有水平切线）。费尔马定理给出了可导函数取极值的必要条件，但其逆不真。也就是说，导数等于0的点（有水平切线的点）未必是极值点。例如x=0不是f(x)=x3的极值点，但f’(0)=0（有水平切线）。

4.函数的最值 定义设函数f(x)在区间[a, b]上连续， f(x0)称为函数f(x)的最大值（或最小值），是指点x0 [a, b]，且对所有的x[a, b]，都有例y=sinx在区间(-, + )的最大值为1，最小值为－1。

在实际应用中，通常遇到的函数大多是在某区间内只有一个极值点的连续且可导的函数，因而，实际问题中的最大值、最小值，此时就是函数的极大值、极小值。在实际应用中，通常遇到的函数大多是在某区间内只有一个极值点的连续且可导的函数，因而，实际问题中的最大值、最小值，此时就是函数的极大值、极小值。

示意图 • 极值点，驻点，尖点，非极值驻点，最大值点等

例据说古代迦太基人建造城镇时，允许居民占有一天犁出的一条沟所围成的土地，假定某人一天犁沟的长度为常数l，试问：（1）所围土地是怎样的矩形，其面积最大？（2）若所围土地是圆形，其面积是否要比矩形面积大？

例在高速公路上设有指示到下一个城市还有多远的路标，路标写在1米宽的横板上，而横板是架在5米高的立柱上（如右图）如果假定汽车司机的眼睛离地面的高度（平均而言）为1.5米，问司机离路标多远时，路标上的字看上去最清楚（亦即看上去字的上下宽度最大）？例在高速公路上设有指示到下一个城市还有多远的路标，路标写在1米宽的横板上，而横板是架在5米高的立柱上（如右图）如果假定汽车司机的眼睛离地面的高度（平均而言）为1.5米，问司机离路标多远时，路标上的字看上去最清楚（亦即看上去字的上下宽度最大）？

5. 函数作图 例

§2.5 导数应用举例 （最值应用，经济应用，边际分析）

1. 围栏问题 例某工厂制造一种供婴儿游戏的围栏，围栏的可变性结构允许其四边（每条边长为c，通常是正方形）联动，并可与墙壁连接，见下左图，当围栏被放置成这样时，所围面积为2c2，这样就使婴儿活动范围增加一倍（原来是正方形面积c2，垂直连墙以后，矩形面积为2c2），现在要问：是否能围出更大的面积来？（下右图，求出x）。 c c x c c x

例一个生产容器的公司希望生产一个容积为1000立方厘米的圆柱形容器，该容器的顶部和底部必须用每平方厘米0.05元的材料制成，该容器的侧面可用每平方厘米0.03元的材料制成，试求使该容器之总费用为最小的尺寸。

2.价格问题 例某公司规定：对于小于或等于150件的订购合同，每件售价为200元；对于多于150件的订购合同，每超过一件，则每件售价比原来减少1元，试问订购多少件的合同将会使公司的收益最大。

3.边际分析 经济学家常把一个函数的导数叫作作该函数的边际值，成本函数C(x)的导数称为边际成本；收益函数R(x)的导数称为边际收益；利润函数的导数P'(x)称为边际利润。基本原理：当边际收益等于边际成本时，利润才可能最大。

例某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系是问每年生产多少产品时，总利润最大？此时总利润是多少？

4.最优更新时间 设备拥有者经常会面临如下问题：什么时间是更新设备的最优时间？要决定最优更新时间，需考虑两个较重要的因素：第一是维护设备所需要的修理费；第二是设备的更新费。

5.最小存储费用问题 一商场每季度需购进45000件商品，估计每天销售475件，损坏25件，这些商品装入盒子里，每盒装10件，每次订货费用为0.45元，该商品每盒的平均存储费用为0.02元，为使存储费与订货费之和最小，问应订多少盒商品？应订多少次合同？

§2.6 微分及应用 （微分定义及应用）

1.微分概念 定义设函数y=f(x)在x0可导，x为自变量x的改变量，则称为函数y=f(x)在点x0的微分，记作并称f(x)在x0点可微。例求函数y=x3的微分。

（1）微分公式 2.微分计算

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