机械控制理论

1. 机械控制理论

2. 第四章 控制系统的频域分析 4.1 频率特性概述 4.2 频率特性的极坐标图 4.3 频率特性的对数坐标图 4.4 频域性能指标与时域性能指标的关系

3. 4.1 频率特性概述 1) 在信号的频域描述中，任何信号均可分解为叠加的正弦信号：周期信号可利用傅里叶级数分解为离散频谱的正弦信号的叠加，非周期信号可利用傅里叶变换分解为连续频谱的正弦信号的叠加。因此，频域分析方法适用于任何信号，频率特性可以用于研究系统对任何输入信号的响应特点。可以通过频率特性分析系统的稳定性、响应的快速性和准确性。 2) 对于复杂的、无法用分析法建立数学模型（微分方程或传递函数）的系统，或者数学模型中的参数无法确定的系统，可以通过试验求得系统的频率特性，进而求出其传递函数，并对其参数进行确定和修正。 3) 频率特性可以采用图示方法进行表达和研究，其描述和分析手段十分方便和直观。Nyquist图直观形象，使实频特性、虚频特性、幅频特性和相频特性的变化规律一目了然；Bode图绘制方便，对于一般的复杂系统，其Bode图的近似曲线可手工绘制，且可在合适范围内以合适的精度表现幅频特性与相频特性随输入信号频率变化的规律。

4. 4.1 频率特性概述 • 应用频率特性研究线性系统的经典方法称为频域分析法。它不必直接求解系统的微分方程，而是间接地运用系统的开环频率特性分析闭环响应。 • 其也是一种图解法。 • 频域分析方法是经典控制理论中，对控制系统进行研究和分析的主要方法之一。将传递函数从复域引到频域，利用频率特性作为数学模型来进行研究，具有更明确的物理概念。同时，频域分析方法是一种极为有效的分析方法，与时域分析方法相比，它具有如下一些明显的优点 。

5. 瞬态响应 稳态响应 4.1 频率特性概述 1 频率特性的基本概念 举例： 传递函数为 对其取拉氏变换得 若

6. 4.1 频率特性概述 结论 由此看出，该系统在正弦输入信号作用下的稳态响应是 与输入信号同频率的正弦信号。但其幅值和相位不同， 输入的幅值为 ，响应的幅值为 ；输入的相 位为0，响应的相位为 思考： 这个结论具有一般性吗？对于任意的线性定常系统， 输入为正弦信号，输出信号的稳态响应也一定是同 频率的正弦信号吗？

7. 定义 4.1 频率特性概述 2 频率特性的定义 对于稳定的线性定常系统，在正弦信号的作用下，系统 输出的稳态分量是与输入同频率的正弦信号，其振幅与 输入正弦信号的振幅之比定义为幅频特性，记作 其相位与输入正弦信号的相位之差定义为相频特性， 记作 。 幅频特性和相频特性总称为系统的频率特性。系统的频率特性定义为 的复变函数，它以幅频特性 为幅值，以相频特性 为相位，记作

8. 4.1 频率特性概述 3.频率特性与传递函数的关系 设一个稳定的线性定常系统的传递函数为 设输入的正弦信号为 其拉氏变换为 ，则输出 为了进行拉氏反变换，不妨设系统无重复极点，

9. 4.1 频率特性概述 对上式进行拉氏反变换，可得系统的响应为 由于系统是稳定的，其极点均分布在复平面的左半平面，故第一 项 ，随着时间的推移，衰减为0，因而系统的稳态响应为 此结论对系统有重复极点时仍然有效。

10. 4.1 频率特性概述 可得系统的稳态响应为 结论：对于稳定的线性定常系统，在正弦信号的 作用下，系统稳态响应是与输入信号同频率的正 弦信号。

11. 4.1 频率特性概述 结合频率特性的定义和前面的推导可知，系统的幅频 特性为 ，相频特性为 则系统的频率特性为 将传递函数的自变量 变为 ，就是系统的频率特性。 所以频率特性也可直接记为 幅频特性也记为 相频特性也记为

12. 系统模型间的关系 4.1 频率特性概述

13. 1 3 2 求取时间响应 利用频率特性的定义。 通过试验求取 将传递函数的自变量 变为 求取。 4.1 频率特性概述 4 频率特性的求取方法

14. 4.1 频率特性概述 方法1:根据频率特性的定义 方法2:将传递函数的自变量 变为 方法3:用各种不同频率的正弦信号作为系统的输入，然后对其响应进行检测。可以将响应与输入信号的幅值之比记录下来，或根据其变化规律绘制成曲线，即为幅频特性的函数曲线；同样，将响应与输入信号的相位之差记录下来，或根据其变化规律绘制成曲线，即为相频特性的函数曲线。如果确定了幅频特性和相频特性，将二者结合起来，即可求得系统的频率特性。

15. 4.1 频率特性概述 3 频率特性分析法的特点 • 系统的频率特性是系统的单位脉冲响应函数的频谱（即傅里叶变换）。 • 时域分析方法主要分析线性系统的过渡过程，即瞬态响应，以获得的系统的动态特性；频域分析方法主要分析不同频率正弦输入时的稳态响应，以获得的系统的动态特性。 • 一般来说，对于单输入-单输出的线性系统进行分析研究时，频域分析方法比时域分析方法更加容易和方便。 • 4)若系统的数学模型无法通过分析法取得，或者系统阶次较 • 高，时域分析方法往往会变得非常困难，而频域分析方法则 • 提供了方便容易的分析途径。 • 5)根据频率特性可以选择系统工作的合适频率范围，或者根据 • 所需的工作频率范围，设计或选择合适频率特性的系统。

16. 4.2 频率特性的极坐标图(奈奎斯特图) 当 从 ，向量 的端点在复平面上的运动轨迹 即为 的幅相频率特性曲线。 极坐标图是在极坐标系上，以横向正半轴的射线为极轴； 对于图中的任意点，以从原点出发的矢量长度表示幅频 特性 ；以矢量与极轴间的夹角表示相频特性 从极轴出发，逆时针方向为正 1 极坐标图的基本概念 定义 也称奈氏图或幅相频率特性图

17. 4.2 频率特性的极坐标图(奈奎斯特图) Im[G(jω)] Re[G(jω)] 0 1

18. 4.2 频率特性的极坐标图 将极坐标转换为直角坐标系，则横坐标代表幅频特性在横坐标轴 上的投影，即实频特性；纵坐标代表幅频特性在纵坐标上的投影， 即虚频特性。

19. 传递函数： 频率特性： 幅频特性： 相频特性： 4.2 频率特性的极坐标图(奈奎斯特图) 2、典型环节的极坐标图 1）比例环节 • 由图可看出放大环节的幅频特性为常数K，相频特性等于零度，它们都与频率无关。理想的放大环节能够无失真和无滞后地复现输入信号。

20. 传递函数： 频率特性： 幅频特性： 相频特性： 4.2 频率特性的极坐标图(奈奎斯特图) 2）积分环节 表明积分环节对正弦输入信号有90°的滞后作用

21. 传递函数： 频率特性： 幅频特性： 相频特性： 4.2 频率特性的极坐标图(奈奎斯特图) 3）微分环节

22. 传递函数： 频率特性： 幅频特性： 相频特性： 实频特性： 虚频特性： 注意到： 即惯性环节的奈氏图为圆心在(1/2,0)处，半径为1/2的一个半圆 4.2 频率特性的极坐标图(奈奎斯特图) 4）惯性环节

23. 传递函数： 频率特性： 幅频特性： 相频特性： 4.2 频率特性的极坐标图(奈奎斯特图) 5）一阶微分环节

24. 幅频特性： 幅频特性： 4.2 频率特性的极坐标图(奈奎斯特图) 6）振荡环节 传递函数： 频率特性：

25. 4.2 频率特性的极坐标图(奈奎斯特图) 其图形规律： 当ξ较大时，曲线的幅值随w的增大单调减小。 当ξ较小时，曲线的幅值随w的增大而增大，出现一个最大值，然后逐渐减小至0，这个最大的幅值称为谐振峰值Mr。

26. 4.2 频率特性的极坐标图(奈奎斯特图) 谐振频率wr和谐振峰值Mr

27. 传递函数： 频率特性： 幅频特性： 相频特性： 4.2 频率特性的极坐标图(奈奎斯特图) 7）延迟环节

28. 4.2 频率特性的极坐标图(奈奎斯特图) 3 极坐标图的一般画法 第一种方法是对每一个 值计算幅值 和相角 然后将这些点连成光滑的曲线；第二种方法是对每一个 值计算 和 ，然后逐点描绘成光滑曲线。 两种求取方法都比较麻烦，但其具有一定的规律，依照 规律就可以画出简略的幅相曲线，注意关键点的处理。

29. 4.2 频率特性的极坐标图(奈奎斯特图) 设系统的传递函数的一般形式为 系统的频率特性为

30. 4.2 频率特性的极坐标图(奈奎斯特图) 1.起点 II型 III型 起点取决于传递函数中积分环节的个数 和系统增益。 0型 I型 0型系统，起始于实轴上的（K，j0）点。 I型系统，起始于相角为 的无穷远处 ，当 时， 曲线渐近于虚轴平行的直线 。 II型系统，起始于相角为 的无穷远处，当 时， 曲线渐近于负实轴。

31. 4.2 频率特性的极坐标图(奈奎斯特图) 2.终点 当 时，由于系统一般 即幅相曲线以 方向终止于坐标原点

32. 4.2 频率特性的极坐标图(奈奎斯特图) 3.与实轴的交点 令频率特性表达式的虚部为零 将求出的交点频率 代入频率特性中去， 求出实部 4. 变化范围（象限、单调性） 变化中， 如果频率特性中不含一阶微分环节，则当 相角将单调减小，曲线平滑地变化；若有，则一般不是以 同一方向单调变化，这时曲线会出现凹凸现象。

33. 4.2 频率特性的极坐标图(奈奎斯特图) 例 ，画G(jw)极坐标图。 解 渐近线： 与实轴交点：

34. 例 4.2 频率特性的极坐标图(奈奎斯特图)

35. 4.2 频率特性的极坐标图(奈奎斯特图) 在频率特性的计算公式中，实部均包含 的偶数次方， 而虚部均包含 的奇数次方。故容易证明，对于实系数系统 与 是共轭复数。 即，取 时，频率特性所 经历的轨迹与取 时的曲线关于实轴对称，但随 的变化 是相反的。 实系数系统的完整幅相曲线图应为取 的幅相 曲线图关于实轴对称复制后的图形。

36. 4.3 频率特性的对数坐标图 1 对数坐标图的基本概念 设系统的频率特性为 定义 为对数幅频特性 为对数相频特性 对数坐标图又称波特（Bode)图，包括对数幅频特性图 和对数相频特性图。

37. 对数幅频特性图的横坐标是频率 ， 采用对数分度，单位是rad/s，其纵坐标 表示对数幅频特性的函数值，采用均匀分 度，其单位是dB(分贝)。 这种坐标系称为半对数坐标系。 4.3 频率特性的对数坐标图 对数相频特性图的横坐标与对数幅频 特性曲线的坐标一样，纵坐标是相频特 性的函数值，采用均匀分度。单位是度 或者弧度。

38. 4.3 频率特性的对数坐标图 注意 1.在横轴上，对应于频率每增大10倍的范围，称为十倍频程(dec)， 如1-10，5-50，而轴上所有十倍频程的长度都是相等的。 2.为了说明对数幅频特性的特点，引进斜率的概念，即横坐标每变 化十倍频程所对应的纵坐标分贝数的变化量。

39. 4.3 频率特性的对数坐标图 优点 ①幅频特性的乘除运算转变为加减运算。 ②对系统作近似分析时，只需画出对数幅频特性曲线的渐进线，大大简化了图形的绘制。 ③系统的对数坐标图可由各环节的对数坐标图叠加得到，可以看出各环节对系统频率特性的影响。 ④对数坐标拓宽了图形所能表示的频率范围。 ⑤两个系统或环节的频率特性互为倒数时，其对数幅频特性曲线关于零分贝线对称，相频特性曲线关于零度线对称。

40. 传递函数： 频率特性： 幅频特性： 相频特性： 实频特性： 虚频特性： 对数幅频特性： 对数幅频特性： 4.3 频率特性的对数坐标图 2 典型环节频率特性的对数坐标图 1）比例环节 当改变传递函数的K时，会导致传递函数的对数幅频曲线升高或降低一个相应的常值，但不影响相位角。

41. 传递函数： 频率特性： 幅频特性： 相频特性： 实频特性： 虚频特性： 对数幅频特性： 对数相频特性： 图 积分环节的Bode图 4.3 频率特性的对数坐标图 2）积分环节 积分环节的对数幅频图为一条直线，此直线的斜率为–20dB/dec，对数相频图为等于-90o的一条直线。

42. 2) 积分环节L(ω) 100 0.1 0.2 1 2 10 20 返回 L(ω) 40db [-20] 20db ω 0db -20db --40db

43. 传递函数： 频率特性： 幅频特性： 相频特性： 实频特性： 虚频特性： 对数幅频特性： 对数相频特性： 4.3 频率特性的对数坐标图 3）微分环节

44. 微分环节L(ω) 100 0.1 0.2 1 2 10 20 L(ω) 40db 20db [+20] ω 0db -20db --40db 返回

45. 传递函数： 渐近特性 频率特性： 精确特性 幅频特性： 相频特性： 图 惯性环节的Bode图 4.3 频率特性的对数坐标图 4）惯性环节 低频段可近似为0dB的水平线，称为低频渐近线。 高频段可近似为斜率为-20dB/dec 的直线，称为高频渐近线。 低频渐近线和高频渐近线的相交处的频率点ω＝1/T，称为转折频率

46. 惯性环节L(ω) 100 0.1 0.2 1 2 10 20 L(ω) 40db 20db [+20] 8db ω 0db -20db --40db 返回

47. 低频段 高频段 图 一阶微分环节的Bode图 4.3 频率特性的对数坐标图 5) 一阶微分环节 一阶微分环节频率特性为 其对数幅频特性是 对数相频特性为

48. 一阶微分L(ω) 100 0.1 0.2 1 2 10 20 L(ω) 40db 20db [+20] ω 0db -8db -20db --40db 返回

49. 传`递函数： 频率特性： 幅频特性： 相频特性： 4.3 频率特性的对数坐标图 6）振荡环节

50. 4.3 频率特性的对数坐标图 对数幅频特性： 低频段 高频段(ω>>ωn)