1.7 定积分的简单应用

1.7 定积分的简单应用 1.7.1 定积分在几何中的应用

问题提出 1.定积分的含义及其几何意义分别是什么 y y＝f(x) a O b x

如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数， 并且，则 . 2.微积分基本定理是什么？

3.用定积分可以表示曲边梯形的面积，微积分基本定理为定积分的计算提供了一种有效的方法，二者强强联合，可以解决平面几何中曲边图形的面积问题.

定积分在几 何中的应用

探究（一）：曲线y2＝x与y＝x2所围成图 形的面积 y y＝x2 y2＝x 1 O 1 x 思考1：曲线y2＝x与y＝x2所围成的图形是什么？其交点坐标是什么？ (1,1) (0,0)

y y＝x2 y2＝x 1 B C D A O 1 x 思考2：如何将该图形的面积转化为曲边梯形的面积？ S＝S曲边梯形OABC－S曲边梯形OADC.

y y＝x2 y2＝x 1 B C D A O 1 x 思考3：该图形的面积用定积分怎样表示？

y y＝x2 y2＝x 1 B C D A O 1 x 思考4：利用微积分基本定理计算，该图形的面积等于多少？

探究（二）：直线y＝x－4与曲线 及x轴所围成图形的面积思考1：直线y＝x－4与曲线及 x轴所围成的图形是什么？各顶点的坐标是什么？ y y＝x－4 4 O 8 x (8,4) (0,0) 4 (4,0)

y y＝x－4 4 B C A O D 4 x 8 思考2：如何将该图形的面积转化为曲边梯形的面积？ S＝S曲边梯形OABC－S三角形ABD.

y y＝x－4 4 B C A O D 4 x 8 思考3：该图形的面积用定积分怎样表示？

y y＝x－4 4 B C A O D 4 x 8 思考4：利用微积分基本定理计算，该图形的面积等于多少？

理论迁移 y y＝2－x B 1 2 3 1 x O －1 A 例1 计算由直线y＝2－x，和曲线所围成的平面图形的面积.

y y＝x－x2 y＝kx 1 x O 1－k 例2 如图，直线y＝kx将抛物线 y＝x－x2与x轴所围成的平面图形分成面积相等的两部分，求实数k的值.

小结作业 1.定积分在几何中的应用，主要用于求平面曲边图形的面积.解题时，一般先要画出草图，再根据图形确定被积函数以及积分的上、下限. 2.定积分只能用于求曲边梯形的面积，对于非规则曲边梯形，一般要将其分割或补形为规则曲边梯形，再利用定积分的和与差求面积.对于分割或补形中的多边形的面积，可直接利用相关面积公式求解.

y y＝|f(x)| a x O b y＝f(x) 3.位于x轴下方的曲边梯形的面积，等于相应定积分的相反数.一般地，设由直线x＝a，x＝b(a＜b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积为S，则.

作业： P58练习：（1），（2）. P60习题1.7B组：1，2，3.

1.7 定积分的简单应用

1.7 定积分的简单应用

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